2022版高中数学一轮复习课时作业梯级练七十古典概型几何概型课时作业理含解析新人教A版

1、课时作业梯级练课时作业梯级练七十七十古典概型、几何概型古典概型、几何概型一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1.甲、乙两人有三个不同的学习小组 a,b,c 可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组,则两人参加同一个小组的概率为()a.b.c.d.【解析】选 a.甲、乙两人参加三个不同的学习小组共包含 9 个基本事件,其中两人参加同一个小组包含 3 个基本事件(a,a),(b,b),(c,c),则所求概率为 p= = .2.现有 2 个正方体,3 个三棱柱,4 个球和 1 个圆台,从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为()a.b.c.d.【解析】选 c.共有 10 个几何体

2、,其中旋转体有 5 个,所以从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为= .3.在一个球内有一棱长为 1 的内接正方体,一动点在球内运动,则此点落在正方体内部的概率为()a.b. c.d.【解析】选 d.由题意可知这是一个几何概型,棱长为 1 的正方体的体积 v1=1,球的直径是正方体的体对角线长,故球的半径 r=,球的体积 v2= =,则此点落在正方体内部的概率 p=.4.若任取 x、y,则点 p(x,y)满足 yx 的概率为()a.b.c.d.【解析】选 c.根据几何概型的概率计算公式可知 p= .5.在区间上随机地选择一个数 p,则方程 x2-px+3p-8=0 有两个正根的概率为

3、()a.b.c.d.【解析】选 a.因为方程 x2-px+3p-8=0 有两个正根,所以,所以 p8 或 p4,又因为 p,所以所求概率为 p= .二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.七巧板是中国古代劳动人民的发明,其历史至少可以追溯到公元前一世纪,清陆以湉冷庐杂识卷一中写道“近又有七巧图,其式五,其数七,其变化之式多至千余.”在 18 世纪,七巧板流传到了国外,被誉为“东方魔板”,至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部七巧新谱.完整图案为一正方形(如图):五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形,如果在此正方形中随机取一点,那么此点取自阴影部分的概率是.【解析】设大正方形边长

4、为 1,大正方形面积为 s=1,阴影部分是两个等腰直角三角形和一个正方形,由图可知阴影部分正方形的边长为,阴影部分大的等腰直角三角形的直角边长为,小的等腰直角三角形的直角边长为,阴影部分的面积为 s=+ + =,所以所求概率为 p= =.答案:7(2021怀化模拟)甲、乙两人随意住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是_【解析】由题意符合古典概型，甲，乙两人随意入住两间空房，每人有两种住法，故两人有 4种住法，甲乙两人各住一间房的住法种数有 2 种，所以甲、乙两人各住一间房的概率为 p240.5.答案：0.58(2020汕头模拟)如图是一种圆内接六边形 abcdef，其中 bccddeeff

5、a 且abbc.则在圆内随机取一点，则此点取自六边形 abcdef 内的概率是_.【解析】因为 bccddeeffa 且 abbc.所以该图形是该圆的内接正八边形 amnbcdef 的一部分(如图).易知， 以 o 为顶点， 正八边形的各边为底边的八个等腰三角形全等且它们的腰长为圆的半径 r，顶角为360845.故每个小等腰三角形的面积为 s12r2sin 4524r2.内接六边形 abcdef 的面积为 soafsofesoedsodcsocbsoab，由正八边形的性质知：四边形 abcf 是矩形，且 soabsoaf，所以 s六边形abcdef6soaf6s624r23 2r22.又 s圆

6、or2，故所求概率为：p3 2r22r23 22.答案：3 22三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6所学校对学生进行视力调查(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目(2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析，列出所有可能的抽取结果；求抽取的 2 所学校均为小学的概率【解析】(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为 621211473；从中学中抽取的学校数目为 614211472；从大学中抽取的学校数目为 67211471.故从小学、中学、大学中分别抽取

7、的学校数目为 3，2，1.(2)在抽取的 6 所学校中，3 所小学分别记为 a1，a2，a3，2 所中学分别记为 a4，a5，大学记为 a6，则抽取 2 所学校的所有可能结果为a1，a2，a1，a3，a1，a4，a1，a5，a1，a6，a2，a3，a2，a4，a2，a5，a2，a6，a3，a4，a3，a5，a3，a6，a4，a5，a4，a6，a5，a6，共 15 种从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 b)的所有可能结果为a1，a2，a1，a3，a2，a3，共 3 种，所以 p(b)31515.10已知向量 a(2，1)，b(x，y).(1)若 x，y 分别表示将一枚质地均匀的

8、正方体骰子(六个面的点数分别为 1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足 ab1 的概率；(2)若 x，y 在连续区间1，6上取值，求满足 ab0 的概率【解析】 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次， 所包含的基本事件总数为 6636，由 ab1，得2xy1，所以满足 ab1 的基本事件为(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3 个故满足 ab1 的概率为336112.(2)若 x，y 在连续区间1，6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6，1y6满足 ab0 的基本事件的结果为 a(x，y)|1x6，1y6 且2xy0画出图象如图所示，矩形的

9、面积为 s矩形25，阴影部分的面积为 s阴影25122421，故满足 ab0 的概率为2125.1 （5 分）如图所示，设 m 是半径为 r 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点 n，连接 mn，则弦 mn 的长超过2 r 的概率为()a15b14c13d12【解析】选 d.如图，在圆上过圆心 o 作与 om垂直的直径 cd，则 mdmc 2 r，当点 n 不在半圆弧cmd上时，mn 2 r，故所求的概率 p(a)r2r12.2 （5 分） (2021榆林模拟)勒洛三角形是由德国机械工程专家、 机构运动学家勒洛(18291905)首先发现的，所以以他的名字命名，其作法如下：以等边三角形每

10、个顶点为圆心，以边长为半径，在另外两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形若在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形外部的概率为()a3 32（ 3）b23 32（ 3）c23 32 3d232 3【解析】选 b.如图，设 bc2，以 b 为圆心的扇形面积是：22623，abc 的面积是：122232 3 ，所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积， 即23 32 3 22 3 ，所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率是：1322 323 32（ 3）.3 （5 分）连续投骰子两次得到的点数分别为 m，n，作向量 a(m，n)，则 a 与

11、 b(1，1)的夹角成为直角三角形内角的概率是_【解析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数为 66，因为 m0，n0，所以 a(m，n)与 b(1，1)不可能同向所以夹角0.因为0，2，ab0，所以 mn0，即 mn.当 m6 时，n6，5，4，3，2，1；当 m5 时，n5，4，3，2，1；当 m4 时，n4，3，2，1；当 m3 时，n3，2，1；当 m2 时，n2，1；当 m1 时，n1.所以满足条件的事件数为 654321，所以概率 p65432166712.答案：7124 （10 分）甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有 5 个不同题目，选择题 3 个，判断题 2 个，

12、甲、乙两人各抽一题(1)求甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少；(2)求甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少【解析】5 个不同题目，甲、乙两人各抽一题，共有 20 种情况，把 3 个选择题记为 x1，x2，x3，2 个判断题记为 p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共 6 种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共 6 种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：

13、(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共 6 种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共 2 种(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620310， “甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为31031035.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为 1110910.5 （10 分）已知函数 f(x)ax1x.(1)从区间(2，2)内任取一个实数 a，设事件 a 表示“函数 y

14、f(x)2 在区间(0，)上有两个不同的零点”，求事件 a 发生的概率；(2)若连续掷两次一枚均匀的骰子(骰子六个面上标注的点数分别为 1，2，3，4，5，6)得到的点数分别为 a 和 b， 记事件 b 表示“f(x)b 在 x(0， )上恒成立”， 求事件 b 发生的概率【解析】(1)因为函数 yf(x)2 在区间(0，)上有两个不同的零点，所以 f(x)20，即 ax22x10 有两个不同的正根 x1和 x2，所以a0 x1x22a0 x1x21a044a0，解得 0a1，所以 p(a)102（2）14.(2)由已知 a0，x0，所以 f(x)b，即 ax2bx10 在 x(0，)上恒成立

15、，故b24a0(*).当 a1 时，b1 适合(*)；当 a2 时，b1，2 适合(*)；当 a3，4 时，b1，2，3 均适合(*)；当 a5，6 时，b1，2，3，4 均适合(*).所以满足(*)的基本事件个数为 m126817.而基本事件总数为 n6636，所以事件 b 发生的概率 p(b)mn1736.1用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中 6 个格子，每个格子染一种颜色，则有_个不同的染色方法，出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的概率为_【解析】用黑白两种颜色随机地染表格中 6 个格子，每个格子染一种颜色，则有：2664 个不同的染色方法，出现从左至右数，不

16、管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子，包含的基本事件有：全染黑色，有 1 种方法，第一个格子染黑色，另外五个格子中有 1 个格染白色，剩余的都染黑色，有 5 种方法，第一个格子染黑色，另外五个格子中有 2 个格染白色，剩余的都染黑色，有 9 种方法，第一个格子染黑色，另外五个格子中有 3 个格染白色，剩余的都染黑色，有 5 种方法，所以出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子，包含的基本事件有：159520(种)，所以出现从左至右数， 不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的概率为：p2064516.答案：645162在四面体 sabc 中，sa平面 abc，bac120，saacab2，若动点在该四面体的外接球内运动，求此点落在四面体 sabc 内部的概率【解析】因为 acab2