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文档简介

1、课时作业梯级练四十六空间直角坐标系、空间向量及其运算 一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知空间任意一点o和不共线的三点a,b,c,若 =x +y +z (x,y,zr),则“x=2,y=-3,z=2”是“p,a,b,c四点共面”的()a.必要不充分条件b.充分不必要条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选b.当x=2,y=-3,z=2时,即 =2 -3 +2 .则 - =2 -3( - )+2( - ),即 =-3 +2 ,根据共面向量定理知,p,a,b,c四点共面;反之,当p,a,b,c四点共面时,根据共面向量定理,设 =m +n (m,nr),即 - =m( - )+n(

2、- ),即 =(1-m-n) +m +n ,即x=1-m-n,y=m,z=n,这组数显然不止2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“p,a,b,c四点共面”的充分不必要条件.2.已知点p是平行四边形abcd所在的平面外一点,如果 =(2,-1,-4), =(4,2,0), =(-1,2,-1).下列结论错误的是()a.apabb.apadc. 是平面abcd的一个法向量d. 【解析】选d.对于a, =2(-1)+(-1)2+(-4)(-1)=0,所以 ,即apab,a正确,不符合题意;对于b, =(-1)4+22+(-1)0=0,所以 ,即apad,b正确,不符合题意;对于c,由 ,且

3、 ,得出 是平面abcd的一个法向量,c正确,不符合题意;对于d,由 是平面abcd的法向量,得出 ,则d错误,符合题意.【加练备选拔高】结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体),其中白点 代表钠原子,黑点 代表氯原子.建立空间直角坐标系o-xyz后,图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是()a. , ,1 b.(0,0,1)c. 1, ,1 d. 1, , 【解析】选a.设图中最上层中间的钠原子所在位置为b点,以o,b为相对顶点,作出长方体abcd-efgo,如图所示. 因为平面bfgc经过点b与x轴垂直,所以点b在x轴上的射影为g点,

4、结合g ,0,0 得b的横坐标为 ;同理可得,点b在y轴上的射影为e点,结合e 0, ,0 得b的纵坐标为 ;点b在z轴上的射影为d点,结合d(0,0,1)得b的竖坐标为1.由此可得点b的坐标为 , ,1 .3.如图,在abc中,点d,e是线段bc上两个动点,且 + =x +y ,则 + 的最小值为() a. b.2c. d. 【解析】选d.设 =m +n , = + ,其中m,n,为实数.因为b,d,e,c共线,所以m+n=1,+=1.因为 + =x +y =(m+) +(n+) ,则x+y=m+n+=2,易知x0,y0,所以 + = + (x+y)= 5+ + 5+2 = .当且仅当x=

5、,y= 时,等号成立.4.已知空间向量a,b满足|a|=|b|=1,且a,b的夹角为 ,o为空间直角坐标系的原点,点a,b满足 =2a+b, =3a-b,则oab的面积为()a. b. c. d. 【解析】选b.| |= = = ,同理| |= ,则cosaob= = = ,从而有sinaob= ,所以oab的面积s= = .5.在长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=1,bc=2,aa1=3,点m是bc的中点,点pac1,qmd,则pq长度的最小值为()a.1b. c. d.2【解析】选c.根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,设p(x0,2x0,3-3x0),q(x1,2-x1,3),

6、x00,1,x10,1,所以pq= = ,当且仅当x0= ,x1= 时,pq取得最小值,即pqmin= = . 二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),ab,bc,则c=.【解析】因为ab,所以 = = ,解得x=2,y=-4,此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),又因为bc,所以bc=0,即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).答案:(3,-2,2)7.在空间直角坐标系中,已知a(1,2,3),b(-2,-1,6),c(3,2,1),d(4,3,0),则直线ab与cd的位置关系是.【解析】由题意

7、得, =(-3,-3,3), =(1,1,-1),所以 =-3 ,所以 与 共线,又ab与cd没有公共点,所以abcd.答案:平行8.如图所示,已知二面角-l-的平面角为 0, ,abbc,bccd,ab在平面内,bc在l上,cd在平面内,若ab=bc=cd=1,则ad的长为.【解析】 = + + ,所以 = + + +2 +2 +2 =1+1+1+2cos(-)=3-2cos ,所以| |= ,即ad的长为 .答案: 1.(5分)已知球o的半径为1,a,b是球面上的两点,且ab= ,若点p是球面上任意一点,则 的取值范围是()a. - , b. - , c. 0, d. 0, 【解析】选b.

8、由球o的半径为1,a,b是球面上的两点,且ab= ,可得aob= , =11 - =- ,| + |=1, =( - )( - )= -( + ) + = -| + | |cos = -cos - , (其中指 + 与 的夹角).2.(5分)已知pa垂直于正方形abcd所在的平面,m,n分别是cd,pc的中点,并且pa=ad=1.在如图所示的空间直角坐标系中,mn=.【解析】连接pd(图略),因为m,n分别为cd,pc的中点,所以mn= pd,又p(0,0,1),d(0,1,0),所以pd= = ,所以mn= .答案: 3.(5分)已知o点为空间直角坐标系的原点,向量 =(1,2,3), =(

9、2,1,2), =(1,1,2),且点q在直线op上运动,当 取得最小值时, 的坐标是.【解析】因为点q在直线op上,所以设点q(,2),则 =(1-,2-,3-2), =(2-,1-,2-2), =(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=6 - 2- .即当= 时, 取得最小值- .此时 = , , .答案: , , 4.(10分)如图,已知斜三棱柱abc- a1b1c1中bac=90,baa1=120,caa1=60,ab=ac=1,aa1=2,点o是b1c与bc1的交点.(1)用向量 , , 表示向量 ;(2)求异面直线ao与bc所成角的余弦值;(3)判定平面abc与平面b1bcc1的位置关系.【解析】(1) = + = + ( + )= + ( - + )= ( + + ).(2)设 =a, =b, =c,则| |2= (a+b+c) 2= (a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac)= (1+1+4+0+212cos 60+212cos 120)= ,所以| |= .又 =b-a,所以 = (a+b+c)(b-a)=1,| |= ,所以cos = = ,所以异面直线ao与bc所成角的余弦值

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