2022版高中数学一轮复习课时作业梯级练四十六空间直角坐标系空间向量及其运算课时作业理含解析新人教A版

1、课时作业梯级练四十六空间直角坐标系、空间向量及其运算 一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知空间任意一点o和不共线的三点a,b,c,若 =x +y +z (x,y,zr),则“x=2,y=-3,z=2”是“p,a,b,c四点共面”的()a.必要不充分条件b.充分不必要条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选b.当x=2,y=-3,z=2时,即 =2 -3 +2 .则 - =2 -3( - )+2( - ),即 =-3 +2 ,根据共面向量定理知,p,a,b,c四点共面;反之,当p,a,b,c四点共面时,根据共面向量定理,设 =m +n (m,nr),即 - =m( - )+n(

2、- ),即 =(1-m-n) +m +n ,即x=1-m-n,y=m,z=n,这组数显然不止2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“p,a,b,c四点共面”的充分不必要条件.2.已知点p是平行四边形abcd所在的平面外一点,如果 =(2,-1,-4), =(4,2,0), =(-1,2,-1).下列结论错误的是()a.apabb.apadc. 是平面abcd的一个法向量d. 【解析】选d.对于a, =2(-1)+(-1)2+(-4)(-1)=0,所以 ,即apab,a正确,不符合题意;对于b, =(-1)4+22+(-1)0=0,所以 ,即apad,b正确,不符合题意;对于c,由 ,且

3、 ,得出 是平面abcd的一个法向量,c正确,不符合题意;对于d,由 是平面abcd的法向量,得出 ,则d错误,符合题意.【加练备选拔高】结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体),其中白点 代表钠原子,黑点 代表氯原子.建立空间直角坐标系o-xyz后,图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是()a. , ,1 b.(0,0,1)c. 1, ,1 d. 1, , 【解析】选a.设图中最上层中间的钠原子所在位置为b点,以o,b为相对顶点,作出长方体abcd-efgo,如图所示. 因为平面bfgc经过点b与x轴垂直,所以点b在x轴上的射影为g点,

4、结合g ,0,0 得b的横坐标为 ;同理可得,点b在y轴上的射影为e点,结合e 0, ,0 得b的纵坐标为 ;点b在z轴上的射影为d点,结合d(0,0,1)得b的竖坐标为1.由此可得点b的坐标为 , ,1 .3.如图,在abc中,点d,e是线段bc上两个动点,且 + =x +y ,则 + 的最小值为() a. b.2c. d. 【解析】选d.设 =m +n , = + ,其中m,n,为实数.因为b,d,e,c共线,所以m+n=1,+=1.因为 + =x +y =(m+) +(n+) ,则x+y=m+n+=2,易知x0,y0,所以 + = + (x+y)= 5+ + 5+2 = .当且仅当x=

5、,y= 时,等号成立.4.已知空间向量a,b满足|a|=|b|=1,且a,b的夹角为 ,o为空间直角坐标系的原点,点a,b满足 =2a+b, =3a-b,则oab的面积为()a. b. c. d. 【解析】选b.| |= = = ,同理| |= ,则cosaob= = = ,从而有sinaob= ,所以oab的面积s= = .5.在长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=1,bc=2,aa1=3,点m是bc的中点,点pac1,qmd,则pq长度的最小值为()a.1b. c. d.2【解析】选c.根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,设p(x0,2x0,3-3x0),q(x1,2-x1,3),

6、x00,1,x10,1,所以pq= = ,当且仅当x0= ,x1= 时,pq取得最小值,即pqmin= = . 二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),ab,bc,则c=.【解析】因为ab,所以 = = ,解得x=2,y=-4,此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),又因为bc,所以bc=0,即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).答案:(3,-2,2)7.在空间直角坐标系中,已知a(1,2,3),b(-2,-1,6),c(3,2,1),d(4,3,0),则直线ab与cd的位置关系是.【解析】由题意

7、得, =(-3,-3,3), =(1,1,-1),所以 =-3 ,所以 与 共线,又ab与cd没有公共点,所以abcd.答案:平行8.如图所示,已知二面角-l-的平面角为 0, ,abbc,bccd,ab在平面内,bc在l上,cd在平面内,若ab=bc=cd=1,则ad的长为.【解析】 = + + ,所以 = + + +2 +2 +2 =1+1+1+2cos(-)=3-2cos ,所以| |= ,即ad的长为 .答案: 1.(5分)已知球o的半径为1,a,b是球面上的两点,且ab= ,若点p是球面上任意一点,则 的取值范围是()a. - , b. - , c. 0, d. 0, 【解析】选b.

8、由球o的半径为1,a,b是球面上的两点,且ab= ,可得aob= , =11 - =- ,| + |=1, =( - )( - )= -( + ) + = -| + | |cos = -cos - , (其中指 + 与 的夹角).2.(5分)已知pa垂直于正方形abcd所在的平面,m,n分别是cd,pc的中点,并且pa=ad=1.在如图所示的空间直角坐标系中,mn=.【解析】连接pd(图略),因为m,n分别为cd,pc的中点,所以mn= pd,又p(0,0,1),d(0,1,0),所以pd= = ,所以mn= .答案: 3.(5分)已知o点为空间直角坐标系的原点,向量 =(1,2,3), =(

9、2,1,2), =(1,1,2),且点q在直线op上运动,当 取得最小值时, 的坐标是.【解析】因为点q在直线op上,所以设点q(,2),则 =(1-,2-,3-2), =(2-,1-,2-2), =(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=6 - 2- .即当= 时, 取得最小值- .此时 = , , .答案: , , 4.(10分)如图,已知斜三棱柱abc- a1b1c1中bac=90,baa1=120,caa1=60,ab=ac=1,aa1=2,点o是b1c与bc1的交点.(1)用向量 , , 表示向量 ;(2)求异面直线ao与bc所成角的余弦值;(3)判定平面abc与平面b1bcc1的位置关系.【解析】(1) = + = + ( + )= + ( - + )= ( + + ).(2)设 =a, =b, =c,则| |2= (a+b+c) 2= (a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac)= (1+1+4+0+212cos 60+212cos 120)= ,所以| |= .又 =b-a,所以 = (a+b+c)(b-a)=1,| |= ,所以cos = = ,所以异面直线ao与bc所成角的余弦值