2022版高中数学一轮复习课时作业梯级练十七导数与函数的零点课时作业理含解析新人教A版

1、课时作业梯级练十七导数与函数的零点 一、选择题(每小题5分,共35分)1.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是()a.(-,-1)b.(1,+)c. d. 【解析】选c.因为f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).当x0,当-1x1时,f(x)1时,f(x)0,所以当x=-1时,f(x)有极大值,当x=1时,f(x)有极小值.要使f(x)有3个不同的零点,只需 解得-2a2.2.(2021郑州模拟)设函数f 是函数f 的导函数,当x0时,f + 0,则函数g =f - 的零点个数为()a.3b.2c.1d.0【解析】选d.设f =x3f -1,则f =x3

2、f +3x2f =x3 .当x0时,f + 0时,x30,故f 0,所以,函数y=f 在 上单调递减;当x0时,x30,所以,函数y=f 在 上单调递增.所以f =f(0)=-10得x ,由g(x)0得0x .所以g(x)在 上单调递减,在 上单调递增,且g(x)min=g( )=- ,由图可知- a0,其中f(x)为f(x)的导函数,则不等式f(sin x)-cos 2x0的解集为()a. ,kzb. ,kzc. ,kzd. ,kz【解析】选d.设g(x)=f(x)+2x2-1,所以g(x)=f(x)+4x0在r上恒成立,所以g(x)在r上单调递增,不等式f(sin x)-cos 2x=f(

3、sin x)+2sin2x-1,且g =0,不等式f(sin x)-cos 2x0,所以g(sin x)g ,sin x ,所以 +2kxx +2k,kz.5.(2020吉安模拟)已知定义在r上的奇函数f(x)满足x0时,f(x)= x-ln x+ln ,则函数g(x)=f(x)-sin x(e为自然对数的底数)的零点个数是()a.1b.2c.3d.5【解析】选c.根据题意,函数g(x)=f(x)-sin x的零点即函数y=f(x)与y=sin x的交点,设h(x)=sin x,函数f(x)为r上的奇函数,则f(0)=0,又由h(0)=sin 0=0.则函数y=f(x)与y=sin x存在交点

4、(0,0),当x0时,f(x)= x-ln x+ln ,其导数f(x)= - ,分析可得在区间 上,f(x)0,f(x)为增函数,则f(x)在区间(0,+)上存在最小值,且其最小值为f = -ln +ln =1,又由h =sin =1,则函数y=f(x)与y=sin x存在交点 ,又由y=f(x)与y=sin x都是奇函数,则函数y=f(x)与y=sin x存在交点 .综合可得,函数y=f(x)与y=sin x有3个交点,则函数g(x)=f(x)-sin x有3个零点.6.(2021石嘴山模拟)若函数f(x)=x2ex-a恰有3个零点,则实数a的取值范围是()a. b. c.(0,4e2)d.

5、(0,+)【解析】选b.函数f(x)=x2ex-a的导数为f(x)=2xex+x2ex=xex(x+2),令f(x)=0,则x=0或-2,函数在(-2,0)上单调递减,在(-,-2),(0,+)上单调递增,所以0或-2是函数f(x)的极值点,函数的极值为:f(0)=0-a=-a,f(-2)=4e-2-a= -a,函数f(x)=x2ex-a恰有三个零点,则实数a的取值范围是 .7.设函数f(x)= 则函数f(x)=xf(x)-1的零点的个数为()a.4b.5c.6d.7【解析】选c.xf(x)=1,转化为f(x)= ,如图,画出函数y=f(x)和g(x)= 的图象,当x0时,f(1)=1,g(1

6、)=1,此时f(1)=g(1)=1,x=1是函数的一个零点,f(3)= f(1)= ,g(3)= ,满足f(3)g(3),所以在(2,4)有两个交点,同理f(5)g(5),所以在(4,6)有两个交点,f(7)7时,恒有f(x)0在(0,+)上恒成立,则f(x)在(0,+)上单调递增,又f(0)=1,所以此时f(x)在(0,+)内无零点,不满足题意.当a0时,由f(x)0得x ,由f(x)0得0x0,f(x)单调递增,当x(0,1)时,f(x)0,所以函数在(0,+)上为增函数且f =-1- 0,所以当m0时,与g(x)= 有一个公共点,当m0)有唯一实数解,求实数m的值.【解析】(1)由题意,

7、得函数f(x)的定义域为(0,+),则导数为f(x)= -ax-b,由f(1)=0,得b=1-a,所以f(x)= -ax+a-1= ,若a0,由f(x)=0,得x=1.当0x0,此时f(x)单调递增;当x1时,f(x)0,此时f(x)单调递减.所以x=1是f(x)的极大值点.若a1,解得-1a-1.(2)因为当a=0,b=-1时,方程2mf(x)=x2有唯一实数解,所以x2-2mln x-2mx=0有唯一实数解,设g(x)=x2-2mln x-2mx,则g(x)= ,令g(x)=0,即x2-mx-m=0.因为m0,x0,所以x1= 0(舍去),x2= ,当x(0,x2)时,g(x)0,g(x)

8、在(x2,+)上单调递增,当x=x2时,g(x)=0,g(x)取最小值g(x2),则 即 所以2mln x2+mx2-m=0,因为m0,所以2ln x2+x2-1=0,(*)设函数h(x)=2ln x+x-1,因为当x0时,h(x)是增函数,所以h(x)=0至多有一解,因为h(1)=0,所以方程(*)的解为x2=1,即 =1,解得m= . 1.(5分)已知f(x)=1- ,过点(k,0)与f(x)相切的直线有且仅有3条,则k的取值范围是()a.(-,2-e2) b.(-,2-e2c.(-,4-e2) d.(-,4-e2【解析】选c.设切点为 ,f(x)= ,则切线为y-1+ = (x-x0),

9、代入点(k,0)得k=x0+ - ,令g(x)=x+ - ,则g(x)= ,当x0,g(x)单调递增,注意到x1,故g(x)的递增区间为(-,1),(1,2),当x2时,g(x)单调递减,要使g(x)=k有三个根,由图象可得,k0时,令f(x)=0,可得x3-x2-a=0,设g(x)=x3-x2,则g(x)=x(3x-2),当0x 时,g(x) 时,g(x)0,g(x)min=g = - .当x0时,令f(x)=0,可得x2+2x-a=0,设h(x)=x2+2x,h(x)min=-1,所以函数f(x)= 恰有2个零点,则a的取值范围为 .3.(5分)已知函数f(x)= + 与g(x)=6x+a

10、的图象有3个不同的交点,则a的取值范围是.【解析】原问题等价于函数h(x)= + -6x与函数y=a的图象有3个不同的交点,由h(x)=x2+x-6=(x-2)(x+3)=0,得x=2或x=-3,当x(-,-3)时,h(x)0,h(x)单调递增;当x(-3,2)时,h(x)0,h(x)单调递增.且h(-3)= ,h(2)=- ,数形结合可得a的取值范围是 .答案: 4.(10分)(2019全国卷)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f(x)为f(x)的导数.证明:(1)f(x)在区间 存在唯一极大值点;(2)f(x)有且仅有2个零点.【证明】(1)设g(x)=f(x),则g(x)=c

11、os x- ,g(x)=-sin x+ .当x 时,g(x)单调递减,而g(0)0,g( )0;当x 时,g(x)0.所以g(x)在(-1,)单调递增,在 单调递减,故g(x)在 存在唯一极大值点,即f(x)在 存在唯一极大值点.(2)f(x)的定义域为(-1,+).当x(-1,0时,由(1)知,f(x)在(-1,0)单调递增,而f(0)=0,所以当x(-1,0)时,f(x)0,故f(x)在(-1,0)单调递减,又f(0)=0,从而x=0是f(x)在(-1,0的唯一零点.当x 时,由(1)知,f(x)在(0,)单调递增,在 单调递减,而f(0)=0,f 0;当x 时,f(x)0,所以当x 时,

12、f(x)0.从而,f(x)在 没有零点.当x 时,f(x)0,f()1,所以f(x)0,从而f(x)在(,+)没有零点.综上,f(x)有且仅有2个零点.5.(10分)设函数f(x)=ln x+ax2-a+1,g(x)= .(1)若g(x1)=g(x2)=t(其中x1x2).求实数t的取值范围;(一题多解)证明:2x1x20时,g(x)0,所以0t1.方法一:由不妨令0x11x2,所以 1.要证2x1x2x1+x2成立,只需证x1 .因为g(x)在(-,1)上单调递增,故只需证g(x2)=g(x1)0.令u=2x2-11,只需证 -u0(u1),即证ln u- 1).令(u)=ln u- (u1

13、),因为(u)= 0,所以(u)(1)=0,故2x1x2x1+x2.方法二:由不妨令0x111),因为(u)= 0,所以(u)1,得ln - ,即 =1,所以0x1x22 2,所以2x1x2-(x1+x2)0,故2x1x20),因为h(1)=0,且h(x)0在(0,+)上恒成立,则x=1是极小值点,所以h(1)=0,可得a=- ,事实上,当a=- 时,h(x)= -ln x+ x2- ,所以h(x)= ,易知exex, 1x+1(x0),所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,h(x)min=h(1)=0.所以h(x)0在(0,+)上恒成立,即f(x)g(x)在(0,+)上恒成立,且f(x)=g(x)在(0,+)内有唯一解.方法二:事实上,h(x)0在(0,+)上恒成立,也可以由下式说明:h(x)= -ln x+ x2- =e1-x+ln x-ln x+ x2- (1-x+ln x)+1-ln x+ x2- = (x-1)20.【加练备选拔高】设函数f(x)=ln x+x.(1)令f(x)=f(x)+ -x(00,所以=m2+4m0,又x0,所以x1= 0(舍去),x2= .