2022版高考数学一轮复习练案59第八章解析几何第九讲第3课时定点定值探索性问题含解析新人教版

1、第三课时定点、定值、探索性问题a组基础巩固一、单选题1(2021北京延庆统测)设抛物线y24x的焦点为f，准线为l.p是抛物线上的一点，过p作pqx轴于q，若|pf|3，则线段pq的长为(c)ab2c2d3解析抛物线的准线方程为x1，由于|pf|3，根据抛物线的定义可知xp2，将xp2代入抛物线方程得y8，yp2，所以|pq|2.故选 c2(2021云南文山州质检)已知双曲线y21(a0)上关于原点对称的两个点p，q，右顶点为a，线段ap的中点为e，直线qe交x轴于m(1,0)，则双曲线的离心率为(d)abcd解析由已知得m为apq的重心，a3|om|3，又b1，c，即e，故选d.3(2021

2、湖北宜昌部分示范高中协作体联考)椭圆1(ab0)的离心率，则双曲线1的离心率为(d)a2bcd解析椭圆离心率e1，e1，即，双曲线的离心率e.故选d.4已知椭圆和双曲线有共同的焦点f1，f2，p是它们的一个交点，且f1pf2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则(a)a4b2c2d3解析设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设点p在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义，得|pf1|pf2|2a1，|pf1|pf2|2a2，所以|pf1|a1a2，|pf2|a1a2.又|f1f2|2c，f1pf2，所以在f1pf2中，|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|co

3、sf1pf2，即4c2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos，化简得3aa4c2，两边同除以c2，得4.故选a.5直线l与抛物线c：y22x交于a，b两点，o为坐标原点，若直线oa，ob的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2，则直线l过定点(a)a(3,0)b(0，3)c(3,0)d(0,3)解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，因为k1k2，所以.又y2x1，y2x2，所以y1y26.将直线l：xmyb代入抛物线c：y22x得y22my2b0，所以y1y22b6，得b3，即直线l的方程为xmy3，所以直线l过定点(3,0)6(2021安徽皖江名校联考)已知双曲线c：

4、1(a0，b0)的右顶点为p，任意一条平行于x轴的直线交c于a，b两点，总有papb，则双曲线c的离心率为(a)abcd解析设a(x0，y0)，b(x0，y0)，则yb2，又p(a,0)，(x0a，y0)，(x0a，y0)，由已知papb，则xa2y0，即(a2b2)0，对于x0a或x0a恒成立，故a2b2，即ab，所以e.故选a.7(2021河南洛阳期中)已知f1f2是双曲线c：y21的两个焦点，过点f1且垂直于x轴的直线与c相交于a，b两点，则abf2的内切圆的半径为(b)abcd解析由题意知f1(，0)，f2(，0)，当x时，y，|ab|，|af|bf|，labf6，sabf，所求内切圆

5、半径r.故选b.8(2020安徽1号卷a10联盟联考)已知椭圆c：1(ab0)上存在两点m、n关于直线2x3y10对称，且线段mn中点的纵坐标为，则椭圆c的离心率是(b)abcd解析设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则1，1，两式相减可得0，即.线段mn中点的纵坐标为，2x310，解得x，于是，解得，椭圆c的离心率e，故选b.(或直接利用性质kmnkop，其中p为线段mn的中点)9(2021福建莆田质检)已知直线l过抛物线c：x26y的焦点f，交c于a，b两点，交c的准线于点p，若，则|ab|(a)a8b9c11d16解析过a作准线的垂线，垂足为h，则|af|ah|，又，|ah|ap|，k

6、ap，又f，ab的方程为yx，由，得y25y0，yayb5，|ab|yaybp538，故选a.二、多选题10已知斜率为的直线l经过抛物线c：y22px(p0)的焦点f，与抛物线c交于点a，b两点(点a在第一象限)，与抛物线的准线交于点d，若|ab|8，则以下结论正确的是(bcd)a1b|af|6c|bd|2|bf|df为ad的中点解析由题意知直线l的方程为y(x)，由得3x25px0，x1x2，|ab|p8，p3.4x220x90解得xa，xb，|af|xa6，|bf|2，a错，b正确；作bh垂直准线于h，则hbd60，|bd|2|bh|2|bf|，c正确；又xd，则xf，f为ad的中点，d正

7、确；故选bcd.11(2021山东青岛调研)在平面直角坐标系xoy中，动点p与两个定点f1(，0)和f2(，0)连线的斜率之积等于，记点p的轨迹为曲线e，直线l：yk(x2)与e交于a，b两点，则(ac)ae的方程为y21(x)be的离心率为ce的渐近线与圆(x2)2y21相切d满足|ab|2的直线l仅有1条解析设点p(x，y)，由已知得，整理得y21，所以点p的轨迹为曲线e的方程为y21(x)，故a正确；又离心率e，故b不正确；圆(x2)2y21的圆心(2,0)到曲线e的渐近线为yx的距离为d1，又圆(x2)2y21的半径为1，故c正确；(2,0)为双曲线y21的右焦点，且x2时，y，过右焦

8、点的双曲线最短的弦(通径)为，又两顶点间距离为2，满足|ab|2的直线有3条，故d错选ac三、填空题12(2021山西重点中学联考)已知双曲线1(a0，b0)的离心率e2，过双曲线上一点m作直线ma，mb交双曲线于a，b两点，且斜率分别为k1，k2，若直线ab过原点，则k1k2的值为 3 .解析由题意知，e2b23a2，则双曲线方程可化为3x2y23a2，设a(m，n)，m(x，y)(xm)，则b(m，n)，k1k23.13(2021河北石家庄模拟)已知双曲线1(a0，b0)的左、右顶点分别为a，b，点p是双曲线上一点，若pab为等腰三角形，pab120，则双曲线的离心率为.解析如图所示：过点

9、p作pdx轴，垂足为d.因为pab为等腰三角形，所以|pa|ab|2a，又因为pab120，所以pad60.|pd|pa|sin 60a，|ad|pa|cos 60a，故p(2a，a)因为点p(2a，a)在双曲线1上，所以1，即1.e.故答案为：四、解答题14(2021河北唐山质检)已知椭圆e：1(ab0)的离心率为，直线l：xty1交e于a，b两点；当t0时，|ab|.(1)求e的方程；(2)设a在直线x3上的射影为d，证明：直线bd过定点，并求定点坐标解析(1)由题意得e2，整理得a23b2，由t0时，|ab|得1，因此a，b1.故e的方程是y21.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2

10、)，则d(3，y1)，将xty1代入y21得(t23)y22ty20，y1y2，y1y2，从而ty1y2y1y2.直线bd：y(x3)y1，设直线bd与x轴的交点为(x0,0)，则(x03)y10，所以x0333，将式代入上式可得x02，故直线bd过定点(2,0)15(2021山西运城调研)已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，f1、f2分别是椭圆的左、右焦点，p是椭圆上一点，且pf1f2的周长是6.(1)求椭圆c的方程；(2)设直线l经过椭圆的右焦点f2且与c交于不同的两点m，n，试问：在x轴上是否存在点q，使得直线qm与直线qn的斜率的和为定值？若存在，请求出点q的坐标；若不存在，请说明理由

11、解析(1)设椭圆c的焦距为2c(c0)，由椭圆的定义知pf1f2的周长为2a2c，所以2a2c6，又因为椭圆c：1(ab0)的离心率e，所以a2c，联立解得a2，c1，所以b，所求椭圆c的方程为1.(2)若存在满足条件的点q(t,0)当直线l的斜率k存在时，设yk(x1)，联立1，消y得(34k2)x28k2x4k2120，设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则x1x2，x1x2，kqmkqnkk要使对任意实数k，kqmkqn为定值，则只有t4，此时，kqmkqn0.当直线l与x轴垂直时，若t4，也有kqmkqn0.故在x轴上存在点q(4,0)，使得直线qm与直线qn的斜率的和为定值0.b组

12、能力提升1(2021吉林长春模拟)双曲线e：1(a0，b0)被斜率为4的直线截得的弦ab的中点为(2,1)，则双曲线e的离心率为(b)abc2d解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)代入双曲线方程作差有，有2，所以3，e，故选b.2.如图所示，椭圆中心在坐标原点，f为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于(a)abc1d1解析椭圆中“和”对应双曲线中“差”，故选a.事实上，设“黄金双曲线”方程为1，则b(0，b)，f(c,0)，a(a,0)在“黄金双曲线”中，因为，所以0.又(c，b)，(a，b)所以b2ac.而b2c2a2

13、，所以c2a2ac.在等号两边同除以a2，解得e.3(2021陕西省渭南市模拟)抛物线y24x的焦点为f，点p(x，y)为该抛物线上的动点，又点a(1,0)，则的最小值是(b)abcd解析由题意可知，抛物线的准线方程为x1，a(1,0)，过p作pn垂直直线x1于n，由抛物线的定义可知pfpn，连接pa，最小nap最小paf最大pa与抛物线y24x相切设pa的方程为：yk(x1)，所以，解得：k2x2(2k24)xk20，所以(2k24)24k40，解得k1，所以npa45，cosnpa，故选b.4(2021河南中原名校联考)直线l与抛物线y24x交于两不同点a，b，其中a(x1，y1)，b(x

14、2，y2)，若y1y236，则直线l恒过点的坐标是 (9,0) .解析设直线l的方程为xmyn，则由得y24my4n0，又y1y236，4n36，n9，直线l方程为xmy9，恒过(9,0)5(2021山东质检)已知椭圆c：1(ab0)过点p(2,1)，且该椭圆的一个短轴端点与两焦点f1，f2为等腰直角三角形的三个顶点(1)求椭圆c的方程；(2)设直线l不经过p点且与椭圆c相交于a，b两点若直线pa与直线pb的斜率之积为1，证明：直线l过定点解析(1)由题意1，bc，结合a2b2c2，解得a，b，椭圆方程为1.(2)证明：当直线l斜率不存在时，设直线l：xm，a(m，ym)，b(m，ym)，kp

15、akpb1，解得m2(舍)或m6(舍)，故不满足当直线l斜率存在时，设l：ykxt，a(x1，y1)，b(x2，y2)，联立，整理得(2k21)x24ktx2t260.8(6k2t23)0，x1x2，x1x2.则kpakpb1，(k21)x1x2(tkk2)(x1x2)t22t30，将代入上式可得12k28ktt22t30，(2kt1)(6kt3)0，若2kt10，t12k，直线l经过p点与已知矛盾，若6kt30，t36k，48(5k26k1)存在k使得0成立直线l的方程为yk(x6)3，故直线l过定点(6，3)6(2021广东汕头模拟)在平面直角坐标系xoy中，o为坐标原点，f(0,1)，n(t，1)(tr)，已知mfn是以fn为底边，且边mn平行于y轴的等腰三角形(1)求动点m的轨迹c的方程；(2)已知直线l交x轴于点p，且与曲线c相切于点a，点b在曲线c上，且直线pby轴，点p关于点b的对称点为点q，试判断点a、q、o三点是否共线，并说明理由解析(1)设动点m(x，y)，因为mny轴，所以mn与直线y1垂直，则|mn|y1|，mfn是以fn为底边的等腰直角三角形，故|mn|mf|，即|y1|，即x2