2022版高中数学一轮复习课时作业梯级练四十四直线平面平行的判定及其性质课时作业理含解析新人教A版

1、课时作业梯级练课时作业梯级练四十四四十四 直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2019全国卷)设 , 为两个平面,则 的充要条件是 ( ) a. 内有无数条直线与 平行 b. 内有两条相交直线与 平行 c., 平行于同一条直线 d., 垂直于同一平面 【解析】 选 b.当 内有无数条直线与 平行,也可能两平面相交,故 a 错.同样当 , 平行于同一条直线或 , 垂直于同一平面时,两平面也可能相交,故 c,d 错.由面面平行的判定定理可得 b 正确. 2若平面 平面 ，直线 a平面 ，点 b，则在平面 内且过 点的所有直线中

2、( ) a不一定存在与 a 平行的直线 b只有两条与 a 平行的直线 c存在无数条与 a 平行的直线 d存在唯一与 a 平行的直线 【解析】选 a.当直线 a 在平面 内且过 b 点时，不存在与 a 平行的直线 3若平面 截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面平行的棱有( ) a0 条 b1 条 c2 条 d1 条或 2 条 【解析】选 c.如图所示，四边形 efgh 为平行四边形，则 efgh. 因为ef平面bcd，gh 平面bcd， 所以ef平面bcd. 因为ef 平面acd，平面bcd平面acdcd，所以efcd，所以cd平面efgh.同理ab平面efgh. 4如图所示，在空间

3、四边形 abcd 中，e，f 分别为边 ab，ad 上的点，且 aeebaffd14，又 h，g 分别为 bc，cd 的中点，则( ) abd平面 efgh，且四边形 efgh 是矩形 bef平面 bcd，且四边形 efgh 是梯形 chg平面 abd，且四边形 efgh 是菱形 d.eh平面 adc，且四边形 efgh 是平行四边形 【解析】选 b.由 aeebaffd14 知 efbd，且 ef15 bd，又 ef平面 bdc，所以 ef平面 bcd. 又 h，g 分别为 bc，cd 的中点， 所以 hgbd，且 hg12 bd， 所以 efhg 且 efhg. 所以四边形 efgh 是梯

4、形 5 在正方体 abcd- a1b1c1d1中， 棱长为 a， m， n 分别为 a1b 和 ac 上的点， 若 a1man2a3 ，则 mn 与平面 bb1c1c 的位置关系是( ) a相交 b平行 c垂直 d不能确定 【解析】选 b.如图，连接 cd1，在 cd1上取点 p， 使 d1p2a3 ，连接 mp，np，bc1，ad1， 所以 mpbc，pnad1. 因为 ad1bc1，所以 pnbc1. 所以 mp平面 bb1c1c，pn平面 bb1c1c. 因为 mppnp， 所以平面 mnp平面 bb1c1c， 又因为mn 平面mnp， 所以 mn平面 bb1c1c. 二、填空题(每小题

5、 5 分，共 10 分) 6在四面体 a- bcd 中，m，n 分别是acd，bcd 的重心，则四面体的四个面中与 mn 平行的是_ 【解析】如图，取 cd 的中点 e，连接 ae，be， 则 emma12，enbn12，所以 mnab，所以 mn平面 abd，mn平面 abc. 答案：平面 abd 与平面 abc 7已知平面 ，p且 p，过点 p 的直线 m 与 ，分别交于点 a，c，过点 p 的直线n 与 ，分别交于点 b，d，且 pa6，ac9，pd8，则 bd 的长为_ 【解析】如图 1，因为 acbdp， 所以经过直线 ac 与 bd 可确定平面 pcd. 因为 ，平面 pcdab，

6、平面 pcdcd， 所以 abcd. 所以paac pbbd ，即69 8bdbd ， 所以 bd245 . 如图 2，同理可证 abcd. 所以papc pbpd ，即63 bd88 ， 所以 bd24. 综上所述，bd245 或 24. 答案：245 或 24 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 8(一题多解)如图，在四棱锥 p- abcd 中，平面 pad平面 abcd，底面 abcd 为梯形，abcd，ab2dc2 3 ，且pad 与abd 均为正三角形，e 为 ad 的中点，g 为pad 的重心，f 为 ac 与 bd 的交点 (1)求证：gf平面 pdc； (2)求三棱锥

7、 g- pcd 的体积 【解析】(1)方法一：连接 ag 并延长交 pd 于点 h，连接 ch. 由梯形 abcd 中 abcd 且 ab2dc 知， affc 21 . 又 g 为pad 的重心，所以aggh 21 . 在ahc 中，aggh affc 21 ，故 gfhc. 又hc 平面pdc，gf平面pdc， 所以gf平面pdc. 方法二：过 g 作 gnad 交 pd 于 n， 过 f 作 fmad 交 cd 于 m，连接 mn， 因为 g 为pad 的重心，gnad， 所以gned pgpe 23 ， 所以 gn23 ed2 33 . 又 abcd 为梯形，abcd，cdab 12

8、， 所以cfaf 12 ， 所以mfad 13 ， 所以 mf2 33 ，所以 gnfm. 又由所作 gnad，fmad，得 gnfm， 所以四边形 gnmf 为平行四边形 所以gfmn， 又因为gf平面pdc，mn 平面pdc， 所以gf平面pdc. 方法三：过g作gkpd交ad于k，连接kf， 由pad 为正三角形，e 为 ad 的中点，g 为pad 的重心，得 dk23 de， 所以 dk13 ad， 又由梯形 abcd 中 abcd，且 ab2dc，知affc 21 ，即 fc13 ac， 所以在adc 中，kfcd， 又因为 gkkfk，pdcdd， 所以平面gkf平面pdc， 又g

9、f 平面gkf，所以gf平面pdc. (2)方法一：由平面pad平面abcd，pad与abd均为正三角形，e为ad的中点，知pead，bead， 又因为平面pad平面abcdad，pe 平面pad， 所以 pe平面 abcd，且 pe3， 由(1)知 gf平面 pdc， 所以 v三棱锥g- pcdv三棱锥f- pcdv三棱锥p- cdf13 pescdf. 又由梯形 abcd 中 abcd，且 ab2dc2 3 ，知 df13 bd2 33 ， 又由abd 为正三角形，得cdfabd60， 所以 scdf12 cddfsin bdc32 ， 得 v三棱锥p- cdf13 pescdf32 ，

10、所以三棱锥 g- pcd 的体积为32 . 方法二： 由平面pad平面abcd， pad与abd均为正三角形， e为ad的中点， 知pead，bead， 又因为平面pad平面abcdad，pe 平面pad， 所以pe平面abcd，且pe3，连接ce， 因为 pg23 pe， 所以 v三棱锥g- pcd23 v三棱锥e- pcd23 v三棱锥p- cde23 13 pescde， 又由abd 为正三角形，得edc120， 故 scde12 cddesin edc3 34 . 所以 v三棱锥g- pcd23 13 pescde23 13 33 34 32 ， 所以三棱锥 g- pcd 的体积为32

11、 . 9 如图所示， 四棱锥 p- abcd 的底面 abcd 是直角梯形， bcad， abad， abbc12 ad，pa底面 abcd，过 bc 的平面交 pd 于 m，交 pa 于 n(m 与 d 不重合). (1)求证：mnbc； (2)若 bmac，求vpbcmnvpabcd 的值 【解析】(1)在梯形abcd中，bcad，bc平面pad，ad 平面pad， 所以bc平面pad. 又bc 平面bcmn，平面bcmn平面padmn，所以mnbc. (2)过m作mkpa交ad于k，连接bk. 因为pa底面abcd，所以mk底面abcd. 所以mkac. 又因为bmac，bmmkm， 所

12、以ac平面bmk，所以acbk. 所以在平面abcd中可得四边形bcdk是平行四边形 所以bcabdkak， 所以k是ad中点，所以m为pd中点， 设abbc12 adx， 则vpbcmnvpabcd 2vpbcnvpabcd 2vcbpnvpabcd vcabpvpabcd vpabcvpabcd sabcs梯形abcd x23x2 13 . 1如图，四边形 abcd 是边长为 1 的正方形，md平面 abcd，nb平面 abcd，且 mdnb1，g 为 mc 的中点则下列结论中不正确的是( ) amcan bgb平面 amn c平面 cmn平面 amn d平面 dcm平面 abn 【解析】

13、选 c.显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)，取an的中点h，连接hb，mh，则mchb，又hban，所以mcan，所以 a正确；由题意易得gbmh，又gb平面amn，mh 平面amn，所以gb平面amn，所以 b 正确；取mn的中点p，连接ap，cp，ac，由题意知apc90，所以平面cmn与平面amn不垂直，所以 c 错误；因为abcd，dmbn，且abbnb，cddmd，所以平面dcm平面abn，所以 d 正确 2(2021 开封模拟)在棱长为 1 的正方体 abcd- a1b1c1d1中，点 e，f 分别是棱 c1d1，b1c1的中点， p

14、 是上底面 a1b1c1d1内一点， 若 ap平面 bdef， 则线段 ap 长度的取值范围是( ) a52， 2 b3 24，52 c3 28，62 d62， 2 【解析】选 b.如图所示，分别取棱 a1b1，a1d1的中点 m，n，连接 mn，连接 b1d1. 因为 m，n，e，f 为所在棱的中点， 所以mnb1d1，efb1d1，所以mnef， 又mn平面bdef，ef 平面bdef，所以mn平面bdef. 连接nf，由nfa1b1，nfa1b1，a1b1ab，a1b1ab，可得nfab，nfab，则四边形anfb为平行四边形，所以anfb，而an平面bdef，fb 平面bdef，所以a

15、n平面bdef. 又 annmn，所以平面 amn平面 bdef. 又 p 是上底面 a1b1c1d1内一点，且 ap平面 bdef，所以 p 点在线段 mn 上 在 rtaa1m 中， amaa21 a1m2 114 52 ， 同理在 rtaa1n 中求得 an52 ，则amn 为等腰三角形 当 p 在 mn 的中点时， ap 最小为12242 3 24 ， 当 p 与 m 或 n 重合时， ap 最大为12122 52 . 所以线段 ap 长度的取值范围是3 24，52 . 3设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若m，n，则mn； 若，m，则m； 若n，mn，m

16、，则m； 若m，n，mn，则. 其中是真命题的是_(填上正确命题的序号). 【解析】mn或m，n异面，故错误；易知正确；m或m，故错误；或与相交，故错误 答案： 4已知四棱锥pabcd的底面abcd是平行四边形，侧面pab平面abcd，e是棱pa的中点 (1)求证：pc平面bde； (2)平面bde分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比 【解析】(1)在平行四边形abcd中，连接ac，设ac，bd的交点为o，则o是ac的中点 又e是pa的中点，连接eo，则eo是pac的中位线，所以pceo， 又eo 平面ebd，pc平面ebd， 所以pc平面ebd. (2)设三棱锥e-abd的体积为v1，高为h

17、，四棱锥p-abcd的体积为v， 则三棱锥e-abd的体积v113 sabdh， 因为e是pa的中点，所以四棱锥p-abcd的高为 2h， 所以四棱锥p-abcd的体积v13 s四边形abcd2h413 sabdh4v1， 所以(vv1)v131， 所以平面bde分此棱锥得到的两部分的体积比为 31 或 13. 5如图，在四棱锥 p- abcd 中，abcd，ab2cd，e 为 pb 的中点 (1)求证：ce平面 pad； (2)在线段 ab 上是否存在一点 f，使得平面 pad平面 cef？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由 【解析】(1)取 pa 的中点 h，连接 eh，dh，如图

18、所示， 因为e为pb的中点，所以ehab，eh12 ab， 又abcd，cd12 ab， 所以ehcd，ehcd，因此四边形dceh是平行四边形，所以cedh， 又dh 平面pad，ce平面pad， 因此ce平面pad. (2)存在点f为ab的中点，使平面pad平面cef， 证明如下：取ab的中点f，连接cf，ef， 所以af12 ab，又cd12 ab，所以afcd， 又afcd，所以四边形afcd为平行四边形， 因此cfad，又ad 平面pad，cf平面pad，所以cf平面pad， 由(1)可知ce平面pad， 又cecfc， 故平面cef平面pad， 故存在ab的中点f满足要求 如图， 已知正方形 abcd 的边长为 6， 点 e， f 分别在边 ab， ad 上， aeaf4， 现将aef沿