2022版高中数学一轮复习高考大题强化练一函数与导数综合问题理含解析新人教A版

1、高考大题强化练(一)函数与导数综合问题1.已知f(x)=xln x- ax3+(a-1)x2,g(x)=x2- x+1.(1)当a=1时,求f(x)在(1,f(1)处的切线方程;(2)当a0(x-1) 0,当a(-,-1时,h(x)在x(1,2)上单调递增,所以h(1)= -1-2,h(2)=ln 2-2-1,解得a-2,-1.当a 时,h(x)在x 上单调递减,在x 上单调递增,因为h(1)= -1-1,h(2)=ln 2-2-1恒成立,下证h =-ln(-a)+ -1-2恒成立.令p(a)=-ln(-a)+ -1,p(a)=- - 0a-2恒成立,所以a .当a 时,h(x)在x(1,2)

2、上单调递减,所以h(1)= -1-1,h(2)=ln 2-2-2,解得a .综上所述:a-2,0).2.已知函数f(x)=ex ,g(x)=ax,az,其中e是自然对数的底数.(1)求函数f(x)在x=1处的切线方程;(2)当x0时,f(x)g(x)恒成立,求a的最大值.【解析】(1)因为f(x)=ex(xln x+ln x+ +1),所以f(1)=e+2,因为f(1)=2,所以所求切线方程为 y-2=(e+2)(x-1),即 (e+2)x-y-e=0.(2)由 f(1)g(1)得 ax,即证xln x+ ,令m(x)=xln x+ ,h(x)= (x0),因为m(x)=ln x+1,所以当0

3、x 时,m(x) 时,m(x)0,m(x)单调递增,所以m(x)min=m = ,因为h(x)= ,所以当0x0,h(x) 单调递增,当x1时,h(x) ,即ex x成立,综上,amax=1.3.已知函数f(x)=2ln x+ +1的图象在(2,f(2)处切线与直线3x-4y+2=0平行.(1)求实数a的值,并判断f(x)的单调性;(2)若函数g(x)=f(x)-2m-1有两个零点x1,x2,且x11.【解析】(1)f(x)= - ,所以f(2)=1- ,由题意知,1- = ,解得a=1.所以f(x)= ,所以当x 时,f(x)0,f(x)单调递增.(2)由题意知g(x)=f(x)-2m-1=

4、0,即2ln x+ =2m有两个解.令f(x)=2ln x+ ,f(x)= - ,知f(x)在x 上单调递减, 上单调递增.所以0x1 1,可以证 ,所以只需证明 ,设h(x)=x- -2ln x,h(x)=1+ - 0,所以h(x)为增函数,因为 1,h(1)=0,所以h ,综上,x1+x21.4.已知函数f(x)=xln x-ax(ar).(1)讨论f(x)在(1,+)上的单调性;(2)当a=1时,求f(x)=f(x)+cos x在 上的零点个数.【解析】(1)因为f(x)=xln x-ax,所以f(x)=ln x+1-a.因为x(1,+),所以ln x0.当1-a0,即a1时,f(x)0

5、,所以f(x)在(1,+)上单调递增.当1-a1时,令f(x)=ln x+1-a=0,得x=ea-1.当x(1,ea-1)时,0ln xa-1,所以f(x)a-1,所以f(x)0,所以f(x)在(1,ea-1)上单调递减,在(ea-1,+)上单调递增.综上所述,当a1时,f(x)在(1,+)上单调递增;当a1时,f(x)在(1,ea-1)上单调递减,在(ea-1,+)上单调递增.(2)当a=1时,f(x)=xln x-x+cos x,则f(x)=ln x-sin x.设h(x)=ln x-sin x,则h(x)= -cos x.当x 时,h(x)= -cos x0,所以f(x)在 上单调递增.因为f =1+ln 0,f =ln -10,所以存在x0