2022版高考数学一轮复习练案57第八章解析几何第九讲第1课时直线与圆锥曲线的位置关系含解析新人教版

1、第九讲圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系a组基础巩固一、单选题1(此题为更换后新题)若直线ykx2与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是(d)am1bm0c0m0且m7，综上知m的取值范围是m4且m7.1(此题为发现的重题，更换新题见上题)若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是(d)am1bm0c0m0且m5，综上知m的取值范围是m1且m5.2(2021湖北武汉部分学校质检)过抛物线e：y22x焦点的直线交e于a，b两点，线段ab中点m到y轴距离为1，则|ab|(c)a2bc3d4解析设a、b两点的横坐标分别为x1，x2，故|ab|x1x2p213，故选 c3已知直线

2、ykx1与双曲线x21交于a，b两点，且|ab|8，则实数k的值为(b)ab或cd解析由直线与双曲线交于a，b两点，得k2.将ykx1代入x21，得(4k2)x22kx50，则4k24(4k2)50，k2b0)，由已知可得抛物线的焦点为(1,0)，所以c1.又离心率e，解得a2，b2a2c23，所以椭圆方程为1，故选a.5(2021重庆名校联盟调研抽测)过抛物线y22x上一点a(2,2)作倾斜角互补的两条直线ab，ac，分别交抛物线于b，c两点，则直线bc的斜率为(d)abcd解析依题意，可设直线ab的方程为y2k(x2)，则直线ac的方程为y2k(x2)设b(x1，y1)，c(x2，y2)(

3、y12，y22)由得y1.同理，得y2.所以直线bc的斜率为.故选d.6(2021山东聊城二模，6)已知直线l与抛物线c：y24x相交于a，b两点，若线段ab的中点为(2,1)，则直线l的方程为(d)ayx1by2x5cyx3dy2x3解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有得yy4(x1x2)，由题可知x1x2，2，即kab2，直线l的方程为y12(x2)，即2xy30.故选d.7(2021广东深圳调研)设f1，f2分别为椭圆c：1(ab0)的左、右焦点，点a，b分别为椭圆c的右顶点和下顶点，且点f1关于直线ab的对称点为m.若mf2f1f2，则椭圆c的离心率为(c)abcd解析设m(

4、c，y0)，则mf1的中点为n，即n在y轴上，n又在直线ab上，即点n与b重合，abbf1kabkbf111.故b2aca2c2ace2e10，e，选c8(2021吉林长春质检)已知抛物线y22px(p0)，过其焦点f的直线l与抛物线分别交于a、b两点(点a在第一象限)，且4，则直线l的倾斜角为(c)abcd解析如图，过a，b作aa，bb垂直准线x，垂足为a，b，过b作aa垂线，垂足为c，由抛物线定义知|bf|bb|，|af|aa|,3|bf|af|，2|bf|ac|，所以cosbac，bac，所以直线l倾斜角为，故选 c二、多选题9(2021湖北黄冈调研)已知曲线c的方程为1(kr)，则下列

5、结论正确的是(ab)a当k4时，曲线c为圆b当k0时，曲线c为双曲线，其渐近线方程为yxc“k4”是“曲线c为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件d存在实数k使得曲线c为双曲线，其离心率为解析k4时，c：x2y22，a正确；k0时，c：1，其渐近线方程由0得yx，b正确；c表示焦点在x轴上的椭圆即4k6，故c错；c为双曲线(k2)(6k)0k6，若e，则，ab即k26k或6k2k，此时k无解，故d错故选ab.10过双曲线x21的右焦点f作直线l交双曲线于a，b两点，若|ab|4，则下列满足条件的直线l为(acd)axbx2y10cxy0dxy0解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，当直线

6、l的斜率不存在时，其方程为x，由得y2，|ab|y1y2|4满足题意当直线l的斜率存在时，其方程为yk(x)，由得(2k2)x22k2x3k2 20.当2k20时，不符合题意，当2k20时，x1x2，x1x2，|ab|4.解得k，故选acd.三、填空题11(2021大同质检)已知抛物线y216x的准线过双曲线c：1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程是1.解析抛物线y216x的准线x4过双曲线c：1(a0，b0)的一个焦点，c4.又双曲线的一条渐近线方程为yx，可得ba，又c4，a2，b2，所求双曲线的标准方程为1.12(2021上海一模冲刺)已知抛物

7、线yax2(a0)的准线为l，l与双曲线y21的两条渐近线分别交于a，b两点，若|ab|4，则a.解析由抛物线yax2(a0)，所以抛物线的准线方程为y，由双曲线y21，则渐近线为yx，因为|ab|4，由双曲线的对称性可知y与yx的交点为，把交点代入yx可得，所以a.13(2021长沙调研)过点(0,3)的直线l与抛物线y24x只有一个公共点，则直线l的方程为yx3或y3或x0.解析当直线l的斜率k存在且k0时，由相切知直线l的方程为yx3；当k0时，直线l的方程为y3，此时直线l平行于抛物线的对称轴，且与抛物线只有一个公共点；当k不存在时，直线l与抛物线也只有一个公共点(0,0)，此时直线l

8、的方程为x0.综上，过点(0,3)且与抛物线y24x只有一个公共点的直线l的方程为yx3或y3或x0.四、解答题14(2021黑龙江哈尔滨模拟)已知抛物线c：y24x的焦点为f，过c上一点p(1，t)(t0)作两条倾斜角互补的直线分别与c交于m，n两点，(1)证明：直线mn的斜率是1；(2)若8|mf|，|mn|，|nf|成等比数列，求直线mn的方程解析(1)p在抛物线y24x上，t2，p(1,2)设m(x1，y1)，n(x2，y2)，由题可知，kmpknp0，0，0，0，y1y24，kmn1.(2)由(1)问可设：l：yxm，则|mn|，|mf|x11，|nf|x21，|mn|28|mf|n

9、f|，()28(x11)(x21)，即(x1x2)28x1x24(x1x2)40(*)，将直线l与抛物线c联立，可得：x2(2m4)xm20，所以，代入(*)式，可得m1满足0，l：yx1.15(2021江西南昌摸底)已知椭圆e：1(ab0)的左、右焦点分别是f1、f2，其离心率为，以f1为圆心以1为半径的圆与以f2为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆e上(1)求椭圆e的方程；(2)过椭圆上顶点a斜率为k的直线l与椭圆的另外一个交点为b，若abf2的面积为，求直线l的方程解析(1)设椭圆方程为1(ab0)，由两圆交点在椭圆上，2a134，得a2，由离心率为，得b1，所以椭圆c的方程为y21

10、.(2)因为点a的坐标为(0,1)，所以直线l的方程为ykx1，代入椭圆方程得到：(kx1)21(4k21)x8kx0，因为xa0，所以xb，yb，又因为直线l与x轴的交点坐标为，点f2的坐标为(，0)，所以，解得k或k，所以，直线l的方程为yx1或yx1.b组能力提升1(2018课标卷)已知双曲线c：y21，o为坐标原点，f为c的右焦点，过f的直线与c的两条渐近线的交点分别为m，n.若omn为直角三角形，则|mn|(b)ab3c2d4解析由双曲线c：y21可知其渐近线方程为yx，mox30，mon60，不妨设omn90，则易知焦点f到渐近线的距离为b，即|mf|b1，又知|of|c2，|om

11、|，则在rtomn中，|mn|om|tanmon3.故选b.2设直线l与抛物线y24x相交于a，b两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点m，且m为线段ab的中点若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(d)a(1,3)b(1,4)c(2,3)d(2,4)解析显然0r0、k4(y00)，即r2.另一方面，由ab的中点为m，知b(6x1,2y0y1)，(2y0y1)24(6x1)，又y4x1，y2y0y12y120.4y4(2y12)0，即y12.r2(35)2y4y16，r0)的焦点为f，抛物线c与圆c：x2(y)23交于m，n两点，若|mn|，则mnf的面积为(b)abcd解析作出图形如

12、下图所示，由题意知|am|2.因为点n为圆c圆周上一点，所以anm90，则在rtanm中，由|am|2，|mn|，得|an|，amn45，所以n(，)代入y22px中，解得p，故mnf的面积为.4(2020天津)已知椭圆1(ab0)的一个顶点为a(0，3)，右焦点为f，且|oa|of|，其中o为原点(1)求椭圆的方程；(2)已知点c满足3，点b在椭圆上(b异于椭圆的顶点)，直线ab与以c为圆心的圆相切于点p，且p为线段ab的中点，求直线ab的方程解析(1)由已知可得b3.记半焦距为c，由|of|oa|可得cb3.又由a2b2c2，可得a218.所以，椭圆的方程为1.(2)因为直线ab与以c为圆

13、心的圆相切于点p，所以abcp.依题意，直线ab和直线cp的斜率均存在，设直线ab的方程为ykx3.由方程组消去y，可得(2k21)x212kx0，解得x0或x.依题意，可得点b的坐标为.因为p为线段ab的中点，点a的坐标为(0，3)，所以点p的坐标为.由3，得点c的坐标为(1,0)，故直线cp的斜率为.又因为abcp，所以k1，整理得2k23k10，解得k或k1.所以，直线ab的方程为yx3或yx3.5(2020广东佛山质检)已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，且过点(2,1)(1)求椭圆c的方程；(2)过坐标原点的直线与椭圆交于m，n两点，过点m作圆x2y22的一条切线，交椭圆于另一点p，连接pn，证明：|pm|pn|.解析(1)设椭圆的半焦距为c，因为椭圆的离心率为，且过点(2,1)所以，1，又a2b2c2，解得a26，b23，所以椭圆c的方程为：1.(2)当直线pm的斜率不存在时，依题意，可得直线pm的方程为x或x.若直线pm：x，直线mnyx，可得m(，)，n(，)，p(，)，则|pm|2，|pn|2，所以|pm|