大一高等数学试题及答案

1、精品文档期末总复习题一、填空题rrrrrrrr、已知向量 rr。ij2k， b2ijk ，则 ab= -11a2、曲线 zx 2 绕 z 轴旋转所得曲面方程为z=x2 + y2。3、级数11的敛散性为发散。1 n3nn4、设 L 是上半圆周 x 2y 2a 2 （ y0 ），则曲线积分 L x 21y2 ds=a022dx0f ( x, y)dy5交换二重积分的积分次序：dyf ( x, y)dx 111 y1-x级数1的和为1。61 n( n1)n二、选择题1、平面 ( x1) 3 y( z1)0 和平面 ( x2)( y 1)2z0 的关系（ B）A、重合B、平行但不重合C、一般斜交D、垂

2、直2. 下 列 曲 面 中 为 母 线 平 行 于 z 轴 的 柱 面 的 是（ C ）A、 x 22z21 B、 y22z21C、 x 22 y21D、 x 22 y2z213. 设 D : x2y24( y 0),则x3 ln( x 2y21)dxdy（ A）x 2y21DA、 2B、0C、1D、 44、设 D : x 2y24( y0) ，则dxdy（A）DA、 16B、 4C、 8D、 25、函数 z 50x 24 y2 在点（ 1，-2）处取得最大方向导数的方向是（ A）A、 2i16 jB、 2i16 jC、 2i16 jD、 2i16 j6 、微分方程( y )2( y )2y2

3、0的阶数为（ B ）A、1B、2C、4D、67 下列表达式 中，微分方程y4y3 y0的通解为.精品文档（ D）A、 ye xe3 xCB、 y exCe3 xC、 yCexe3 xD、 y C1exC2e3 x8 lim un 0为无穷级数un收敛的nn 1（ B ）A、充要条件B、必要条件C、充分条件D、什么也不是三、已知 a1， b3 ， ab ，求 ab 与 ab 的夹角 .P7解： abab0a b（ a2(103) 2b）a - b( a b) 2(103) 2(a b)(ab)1 32cos(ab)( ab)21aba - b42120 O解：设平面方程为AxByCzD0依题可得

4、，- 2 AB3C0D 0又， ，A-4B 5C 0n1 - 4 5故有： 47 x13 yz 0四、一平面垂直于平面x4 y5z10 且 过 原 点 和 点2,7,3 ，求该平面方程 .（参考课本 P7 例题）解：由全微分方程的不 变性，得dzz duz dvuvevdu uevdvexyd ( x2y2 )(x2y2 )exyd( xy)exy( 2xdx2ydy) ( x2y2 )exy( ydxxdy)exy( 2x x2 y y3) dx exy (x32y xy2 )dy五、设 z uev, u x2y 2进而可得,v xy, 求，zzxy23xy( x32)xe (2x xy y

5、 )ye2y xy.精品文档zzdz,.P19六、求由 xyzsin z 所确定的函数 zz x, y的偏导数 z ,zxy解：由 xyzsin z得 xyz sin z0两边对 求偏导数得：cos zzyzxyz0xxx解得： zyzxcos zxy两边对 求偏导数得：cos zzxzxyz0yyy解得： zxzycos zxy七、求旋转抛物面 z 2x22y2 在点 M 01处的切平面和法线方程 .1, ,22解：令 f ( x, y)2x22 y2 ,则：fx ( x, y)4x, fy ( x, y)4 y所以： n4x,4 y,1 , n M04,2, 1故曲面在点 M 0 处的切面

6、方程式为：4( x1)2( y1 )( z2)02即：2 y z304x法线方程式为：x1y1z22421x12y1z2即：44.精品文档八、求函数 f x, yxysin( x2 y) 在点 P 0,0处沿从点 P 0,0到点 Q 1,2的方向的解：这里的方向 即向量PQ，的方向，1 2易知上单位向量01 ，2PQ55方向导数。又f x ( x, y) ycos(x2 y), f y ( x, y) x2 cos(x2 y)f x(0,0)1, f y (0,0)2故 ff x (0,0) ?1f x(0,0) ? 2(0,0)551? 12 ? 2555九、计算二重积分xydxdy ，其中

7、 D 是由 x 轴， y 轴与单位圆 x 2y 21在第一象D限所围的区域 .解：画出微积分区域D 的草图，如图所示，从D 的草图可判断D 既是 X型区域也是 Y 型区域，把 D 看成 Y 型区域，则先对x积分，后对 y积分，此时 D 可用不等式组表示： 1xy,1 y2y故x2y x12( y19dsdydy 1dxy3 ) dy16Dy1y y21.精品文档十、计算 ?yds ，其中 L是顶点为 A 1,0，B0,1和O 0,0的三角形边界 . （参考LP79 例 2）解：的方程分别为：AB, OB,OAy1x,0x1,x，0y1,0y0,0 x1,则： ( x y)ds1x1x 1(1) 2 dx0AB12dx20(xy)ds10)102 dx1xdx1,OA(x002( xy)ds1y)021dy11,OB(00ydy02故得： ( xy)ds( xy)dsAB( x y) ds(xy)ds2 1LOAOB十一、求微分方程 sin xcos ydxcos xsin ydy0 满足初始条件 y x 0的特解 .P1674解：将方程分离变量得：sin x dxsin y dy,cos xcos y两边积分： sin x dxsin