2022版高考数学一轮复习练案48第七章立体几何高考大题规范解答系列四_立体几何含解析新人教版

1、高考大题规范解答系列(四)立体几何1(2021安徽黄山质检)如图，直三棱柱abca1b1c1中，d是bc的中点，且adbc，四边形abb1a1为正方形(1)求证：a1c平面ab1d；(2)若bac60，bc4，求点a1到平面ab1d的距离解析(1)连接ba1，交ab1于点e，再连接de，由已知得，四边形abb1a1为正方形，e为a1b的中点，d是bc的中点，dea1c，又de平面ab1d，a1c平面ab1d，a1c平面ab1d.(2)在直三棱柱abca1b1c1中，平面bcc1b1平面abc，且bc为它们的交线，又adbc，ad平面bcc1b1，又b1d平面bcc1b1，adb1d，且ad2，

2、b1d2.同理可得，过d作dgab，则dg面abb1a1，且dg.设a1到平面ab1d的距离为h，由等体积法可得：va1ab1dvdaa1b1，即addb1haa1a1b1dg，即22h44，h.即点a1到平面ab1d的距离为.(注：本题也可建立空间直角坐标系用向量法求解)2(2019天津，17)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，pcd为等边三角形，平面pac平面pcd，pacd，cd2，ad3.(1)设g，h分别为pb，ac的中点，求证：gh平面pad；(2)求证：pa平面pcd；(3)求直线ad与平面pac所成角的正弦值解析(1)证明：连接bd，易知acbdh，bhdh

3、.又由bgpg，故ghpd.又因为gh平面pad，pd平面pad，所以gh平面pad.(2)取棱pc的中点n，连接dn.依题意，得dnpc，又因为平面pac平面pcd，平面pac平面pcdpc，所以dn平面pac，又pa平面pac，故dnpa.又已知pacd，cddnd，所以pa平面pcd.(3)连接an，由(2)中dn平面pac，可知dan为直线ad与平面pac所成的角因为pcd为等边三角形，cd2且n为pc的中点，所以dn.又dnan，在rtand中，sindan.所以，直线ad与平面pac所成角的正弦值为.3. (2018课标全国卷)如图，四边形abcd为正方形，e，f分别为ad，bc的

4、中点，以df为折痕把dfc折起，使点c到达点p的位置，且pfbf.(1)证明：平面pef平面abfd；(2)求dp与平面abfd所成角的正弦值解析(1)由已知可得，bfpf，bfef，所以bf平面pef.又bf平面abfd，所以平面pef平面abfd.(2)作phef，垂足为h.由(1)得，ph平面abfd.以h为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系hxyz.由(1)可得，depe.又dp2，de1，所以pe.又pf1，ef2，故pepf.可得ph，eh.则h(0,0,0)，p，d，(1，)，(0,0，)为平面abfd的法向量设dp与平面abfd所成角为，则s

5、in.所以dp与平面abfd所成角的正弦值为.4(2020北京卷)如图，在正方体abcda1b1c1d1中，e为bb1的中点(1)求证：bc1平面ad1e；(2)求直线aa1与平面ad1e所成角的正弦值解析(1)如下图所示：在正方体abcda1b1c1d1中，aba1b1且aba1b1，a1b1c1d1且a1b1c1d1，abc1d1且abc1d1，所以，四边形abc1d1为平行四边形，则bc1ad1，bc1平面ad1e，ad1平面ad1e，bc1平面ad1e.(2)以点a为坐标原点，ad、ab、aa1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系axyz，设正方体abcda1b1c

6、1d1的棱长为2，则a(0,0,0)、a1(0,0,2)、d1(2,0,2)、e(0,2,1)，(2,0,2)，(0,2,1)，设平面ad1e的法向量为n(x，y，z)，由，得，令z2，则x2，y1，则n(2,1，2)cosn，.因此，直线aa1与平面ad1e所成角的正弦值为.5. (2021陕西汉中质检)如图所示，四棱锥pabcd的底面为直角梯形，adcdcb90，ad1，bc3，pccd2，pc底面abcd，e为ab的中点(1)求证：平面pde平面apc；(2)求直线pc与平面pde所成的角的正弦值解析如图所示，以点c为坐标原点，直线cd，cb，cp分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系c

7、xyz，则相关点的坐标为c(0,0,0)，a(2,1,0)，b(0,3,0)，p(0,0,2)，d(2，0,0)，e(1，2,0)(1)由于(1,2,0)，(2,1,0)，(0,0,2)，所以(1,2,0)(2,1,0)0，(1,2,0)(0,0,2)0，所以deca，decp，而cpcac，所以de平面pac，de平面pde，平面pde平面pac(2)设n(x，y，z)是平面pde的一个法向量，则nn0，由于(1,2,0)，(1,2，2)，所以有，令x2，则y1，z2，即n(2,1,2)，再设直线pc与平面pde所成的角为，而(0,0，2)，所以sin |cosn，|，直线pc与平面pde所

8、成角的正弦值为.6(2021河北张家口、衡水、邢台联考)如图，在多面体abcdef中，四边形abcd为直角梯形，adbc，abad，四边形adef为正方形，平面adef平面abcd.bc3ab3ad，m为线段bd的中点(1)求证：bd平面afm；(2)求平面afm与平面ace所成的锐二面角的余弦值解析(1)因为四边形adef为正方形，所以afad.又因为平面adef平面abcd，且平面adef平面abcdad，所以af平面abcd.所以afbd.因为abad，m线段bd的中点，所以bdam.又amafa，所以bd平面afm.(2)由(1)知af平面abcd，所以afab，afad，又abad，

9、所以ab，ad，af两两垂直分别以ab，ad，af为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系axyz(如图)设ab1，则a，b，c，d，e，所以，设平面ace的一个法向量为n，则即令y1，则x3，z1，则n.由(1)知，为平面afm的一个法向量设平面afm与平面ace所成的锐二面角为，则cos cos，n.所以平面afm与平面ace所成的锐二面角的余弦值为.7(2020安徽省淮北市一模)在直角梯形abcd(如图1)，abc90，bcad，ad8，abbc4，m为线段ad中点将abc沿ac折起，使平面abc平面acd，得到几何体bacd(如图2)(1)求证：cd平面abc；(2)求ab与平面b

10、cm所成角的正弦值解析(1)由题设可知ac4，cd4，ad8，ad2cd2ac2，cdac，又平面abc平面acd，平面abc平面acdac，cd平面abc(2)解法一：等体积法取ac的中点o连接ob，由题设可知abc为等腰直角三角形，所以ob面acm，vbacmvabcm且vbacms acmbo，而sbcm4，a到面bcm的距离h，所以sin .解法二：向量法取ac的中点o连接ob，由题设可知abc为等腰直角三角形，所以ob面acm，连接om，因为m、o分别为ab和ac的中点，所以omcd，由(1)可知omac，故以om、oc、ob所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示则a

11、(0，2，0)，b(0,0,2)，c(0,2，0)，m(2，0,0)，(0，2，2)，(2，2，0)，(0，2，2)，平面bcm的一个法向量n(1,1,1)，sin .8(2021广东新课改大联考湖南百校联考)如图，已知acbc，db平面abc，ea平面abc，过点d且垂直于db的平面与平面bcd的交线为l，acbd1，bc，ae2.(1)证明：l平面aec；(2)设点p是l上任意一点，求平面pae与平面acd所成锐二面角的最小值解析(1)证明：因为bd，bd平面abc，所以平面abc，又平面bcdl，平面abc平面bcdbc，所以bcl，因为ea平面abc，所以bcae.又bcac，aeea

12、a，所以bc平面aec，从而l平面aec(2)解：作cfae，以c为原点，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz，则a(0,1,0)，c(0,0,0)，d(，0,1)，e(0,1,2)设p(a,0,1)，平面pae、平面acd的法向量分别为m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)，则(a，1,1)，(0,0,2)，(0，1,0)，(，0,1)，因为m平面pae，所以令x11，得y1a，z10，即m(1，a,0)，同理令x21，得y20，zx，即n(1,0，)因为|cosm，n|，当且仅当a0时取等号，所以平面pae与平面acd所成锐二面角的最小值为60.9(2021广东质检)如图，在圆柱o

13、1o2中，ab为圆o1的直径，c，d是弧上的两个三等分点，cf是圆柱o1o2的母线(1)求证：co1平面afd；(2)设ac，fbc45，求二面角bafc的余弦值解析(1)连接o1c，o1d，因为c，d是半圆上的两个三等分点，所以ao1ddo1cco1b60，又o1ao1bo1co1d，所以ao1d，co1d，bo1c均为等边三角形所以o1aaddcco1，所以四边形adco1是平行四边形所以co1ad，又因为co1平面afd，ad平面afd，所以co1平面afd.(2)因为fc是圆柱o1o2的母线，所以fc平面abc，bc平面abc，所以fcbc因为ab为圆o1的直径，所以acb90，在rtabc中，abc60，ac，所以bc1，所以在rtfbc中，fcbctan 451.解法一：以c为坐标原点，分别以ca、cb、cf所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(，0,0)，b(0,1,0)，f(0,0,1)，所以(，1,0)，(，0,1)设平面afb的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则yz，所以平面afb的一个法向量为n(1，)，又因为平面afc的一个法向量m(0,1,0)，所以cosm，n.结合图形得，二面角bafc的余弦值为.解法二：作chfa于h，则易得ch，设c到平面abf的距离为h，则由vfabcvcfab知sabc1sabfh，h，记二面角ba