2022高考数学统考一轮复习第五章数列第三节等比数列及其前n项和教师文档教案文北师大版

1、第三节第三节 等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和 授课提示：对应学生用书第 96 页 基础梳理 1等比数列的有关概念 (1)定义： 文字语言：从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 符号语言：an1anq(nn，q 为非零常数) (2)等比中项：如果 a，g，b 成等比数列，那么 g 叫作 a 与 b 的等比中项即：g 是 a 与 b 的等比中项a，g，b 成等比数列g2ab(a、g、b 不为零) 2等比数列的有关公式 (1)通项公式：ana1qn1 (2)前 n 项和公式： snna1，q1，a1（1qn）1qa1anq1q，q1. 3等比数列的性质 (1)通项公式的

2、推广：anam qnm(m，nn) (2)对任意的正整数 m，n，p，q，若 mnpq，则 am anap aq 特别地，若 mn2p，则 am ana2p (3)若等比数列前 n 项和为 sn，则 sm，s2msm，s3ms2m仍成等比数列，即(s2msm)2sm(s3ms2m)(mn，公比 q1) (4)数列an是等比数列，则数列pan(p0，p 是常数)也是等比数列 (5)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为 qk 1(1)在等比数列求和时，要注意 q1 和 q1 的讨论 (2)当an是等比数列且 q1 时，sna

3、11qa11q qnaa qn. 2当项数是偶数时，s偶s奇 q； 当项数是奇数时，s奇a1s偶 q. 四基自测 1(基础点：等比中项)等比数列an中，a44，则 a2 a6等于( ) a4 b8 c16 d32 答案：c 2(基础点：等比数列的前 n 项和)设an是公比为正数的等比数列，若 a11，a516，则数列an前 7 项的和为( ) a63 b64 c127 d128 答案：c 3(基础点：求等比数列的项)在 3 与 192 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_ 答案：12，48 4(基础点：等比数列的通项)记 sn为数列an的前 n 项和，若 sn2an1，则

4、 an_ 答案：2n1 授课提示：对应学生用书第 96 页 考点一 等比数列的基本运算及性质 挖掘 1 利用基本量进行计算/ 自主练透 例 1 (1)(2019 高考全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15， 且 a53a34a1，则 a3( ) a16 b8 c4 d2 解析 由题意知a10，q0，a1a1qa1q2a1q315，a1q43a1q24a1， 解得a11，q2，a3a1q24.故选 c. 答案 c (2)(2019 高考全国卷)记 sn为等比数列an的前 n 项和若 a113，a24a6，则 s5_. 解析 由 a24a6得(a1q3)2a1q5， 整理得

5、q1a13.s513（135）131213. 答案 1213 (3)(2018 高考全国卷)等比数列an中，a11，a54a3. 求an的通项公式； 记 sn为an的前 n 项和若 sm63，求 m. 解析 设an的公比为 q，由题设得 anqn1. 由已知得 q44q2，解得 q0(舍去)，q2 或 q2. 故 an(2)n1或 an2n1. 若 an(2)n1，则 sn1（2）n3. 由 sm63 得(2)m188，此方程没有正整数解 若 an2n1，则 sn2n1. 由 sm63 得 2m64，解得 m6. 综上，m6. 破题技法 方法 解读 适合题型 基本量法 设出 a1和 q，将已知

6、条件用 a1和 q表示，建立方程组求出 a1和 q 题设中有五个基本量 a1，q，an，sn，n中的两个 挖掘 2 利用性质进行计算/ 互动探究 例 2 (1)(2020 哈尔滨模拟)等比数列an的各项为正数， 且 a5a6a4a718， 则 log3a1log3a2log3a10( ) a12 b10 c8 d2log3a5 解析 由题 a5a6a4a718，所以 a5a69，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a5a6)55log3910. 答案 b (2)(2020 湖南衡阳一模)在等比数列an中，a1a3a44，则 a6的所有可能值构成的集合是(

7、) a6 b8，8 c8 d8 解析 a1 a3a224，a2 2. 当 a22 时，a23a2 a40 无意义， a22.q2a4a22， a6a4 q2428. 答案 d 破题技法 方法 解读 适合题型 性质法 利用等比数列的性质化简已知条件 题设中有“an am”型的表达式或anamqnm 1(2020 湖北荆州联考)已知数列an为等差数列，且 2a1，2，2a6成等比数列，则an前 6 项的和为( ) a15 b.212 c6 d3 解析：由 2a1，2，2a6成等比数列，可得 42a1 2a62a1a6，即 a1a62，又数列an为等差数列，所以an前 6 项的和为126(a1a6)

8、6.故选 c. 答案：c 2(2020 山东菏泽一模)在等比数列an中，a2，a16是方程 x26x20 的根，则a2a16a9的值为( ) a2 b 2 c. 2 d 2或 2 解析：设等比数列an的公比为 q，由 a2，a16是方程 x26x20 的根，可得 a2a162，即有a21q162，则有 a292，则a2a16a9a9 2.故选 d. 答案：d 考点二 等比数列的判定与证明 挖掘 1 定义法证明等比数列/ 互动探究 例 1 (2019 高考全国卷)已知数列an和bn满足 a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4. (1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数

9、列； (2)求an和bn的通项公式 解析 (1)证明：由题设得 4(an1bn1)2(anbn)，即 an1bn112(anbn) 又因为 a1b11， 所以anbn是首项为 1，公比为12的等比数列 由题设得 4(an1bn1)4(anbn)8， 即 an1bn1anbn2. 又因为 a1b11. 所以anbn是首项为 1，公差为 2 的等差数列 (2)由(1)知，anbn12n1，anbn2n1， 所以 an12(anbn)(anbn)12nn12， bn12(anbn)(anbn)12nn12. 挖掘 2 等比中项法判定等比数列/ 互动探究 例 2 (1)对任意等比数列an，下列说法一定

10、正确的是( ) aa1，a3，a9成等比数列 ba2，a3，a6成等比数列 ca2，a4，a8成等比数列 da3，a6，a9成等比数列 解析 设等比数列的公比为 q，则 a3a1q2，a6a1q5，a9a1q8，满足(a1q5)2a1q2 a1q8， 即 a26a3 a9. 答案 d (2)(2020 湖南郴州一模)在数列an中，满足 a12，a2nan1 an1(n2，nn)，sn为an的前 n 项和，若 a664，则 s7的值为( ) a126 b256 c255 d254 解析 数列an中，满足 a2nan1an1(n2)，则数列an为等比数列，设其公比为 q，又由a12，a664，得

11、q5a6a132，则 q2，则 s7a1（127）12282254，故选 d. 答案 d 破题技法 等比数列的判断与证明的常用方法 方法 解读 适合题型 定义法 在 an0(nn)前提下，若an1anq(q 为非零常数)或anan1q(q 为非零常数，n2 且 nn)，则an是等比数列 已知中提供的递推关系式， 或者是an与 sn的关系式进行化简，转化为数列an中相邻两项之间的关系 等比中项法 数列an中，an0，如果根据已知条件能化简得到 a2n1an an2(nn)，或者是证明此式成立，则数列an是等比数列 证明三项成等比数列 通项公式法 观察已知信息，或者是计算出数列的通项公式，若可以写

12、成 anc qn1(c，q 均是不为 0 的常数，nn)，则an是等比数列 能明确通项公式， 用于选择或填空题中 前n项和公式法 若数列an的前 n 项和 snk qnk(k 为常数且k0，q0，1)，则数列an是等比数列 能明确前 n 项和公式， 只用于选择或填空题中 考点三 等比数列前 n 项和及综合应用 挖掘 1 等比数列前 n 项和性质及应用/ 互动探究 例 1 (1)记 sn为等比数列前 n 项和，若 a10，a23a1，则s10s5_ 解析 s10a1（1q10）1q，s5a1（1q5）1q， 由 a23a1，得 q3， s10s51q101q51q5244. 答案 244 (2)

13、已知等比数列an共有 2n 项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比 q_ 解析 由题意，得s奇s偶240，s奇s偶80， 解得s奇80，s偶160，所以 qs偶s奇160802. 答案 2 挖掘 2 等比数列的综合问题/ 互动探究 例 2 (1)(2019 高考全国卷)已知an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a216. 求an的通项公式； 设 bnlog2an，求数列bn的前 n 项和 解析 设an的公比为 q，由题设得 2q24q16， 即 q22q80. 解得 q2(舍去)或 q4. 因此an的通项公式为 an24n122n1. 由得 bn(2n1)log222n1，因此数列bn的前 n 项和为 132n1n2. (2)已知数列an满足 a10，且 an112an(nn) 求证：数列an1为等比数列； 求数列an的前 n 项和 sn. 解析 证明：an112an， an112(an1)， 又 a111， 数列an1是以 1 为首项，2 为公比的等比数列 由知，an1(a11)2n12n1， an2n11. sna1a2a3an(201)(211)(221)(2n11) (2021222n1)n 2nn1. 破题技法 1.(1)应