2022高考数学统考一轮复习第二章函数导数及其应用第十节变化率与导数导数的运算教师文档教案文北师大版

1、第十节第十节变化率与导数、导数的运算变化率与导数、导数的运算授课提示：对应学生用书第 37 页基础梳理1导数的概念(1)函数 yf(x)在 xx0处导数的定义称函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率yx为函数 yf(x)在 xx0处的导数，记作 f(x0)或 y|xx0，即 f(x0)yx(2)导数的几何意义函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点 p(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)相应地，切线方程为 yy0f(x0)(xx0)(3)函数 f(x)的导函数称函数 f(x)f（xx）f（x）x为 f(x)的导

2、函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c 为常数)f(x)0f(x)x(q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0，且 a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且 a1)f(x)1xln af(x)ln xf(x)1x3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)f（x）g（x） f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2(g(x)0)1求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立

3、条件，要注意这一点，如(xn)nxn1中，n0 且 nqq*.f（x）g（x） f（x）g（x）f（x）g（x）g2（x），要满足“”前后各代数式有意义，且导数都存在2(1)f(x0)代表函数 f(x)在 xx0处的导数值；(f(x0)是函数值 f(x0)的导数，而函数值 f(x0)是一个常量，其导数一定为 0，即(f(x0)0.(2)f(x)是一个函数，与 f(x0)不同3(1)“过”与“在”：曲线 yf(x)“在点 p(x0，y0)处的切线”与“过点 p(x0，y0)的切线”的区别：前者 p(x0，y0)为切点，而后者 p(x0，y0)不一定为切点(2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲

4、线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点四基自测1(基础点：求导数值)若 f(x)xex，则 f(1)等于()a0bec2ede2答案：c2(易错点：导数的运算)已知 f(x)xln x，则 f(x)()a.mxxbx1c.1xxdln x1答案：d3(基础点：求切线)函数 f(x)x3在(0，0)处的切线为()a不存在bx0cy0dyx答案：c4(易错点：求切点)曲线 yex过点(0，0)的切线的斜率为_答案：e授课提示：对应学生用书第 38 页考点一导数的计算挖掘 1求导函数值/ 自主练透例 1(1)设函数 f(x)1ex的图像与 x 轴交于 p 点(x0，y0)

5、，则 f(x0)_解析令 1ex00，x00，而 f(x)ex，f(x0)f(0)e01.答案1(2)若函数 f(x)ln xf(1)x23x4，则 f(1)_解析f(x)1x2f(1)x3，f(1)12f(1)3，解得 f(1)2，f(1)1438.答案8(3)若 f(x)sinx3 ，则 f3 _解析f(x)sinx3 ，f(x)cosx3 ，f3 cos33 12.答案12挖掘 2已知导数值求自变量/ 互动探究例 2(1)已知函数 f(x)x(2 020ln x)且 f(x0)2 021，则 x0()ae2b1cln 2de解析f(x)x(2 020ln x)2 020 xxln x，f

6、(x)2 020ln xx1x2 021ln x，又 f(x0)2 021，ln x00，x01.答案b(2)已知函数 f(x)的导函数 f(x)，且满足 f(x)2xf(1)ln x，若 f(x0)0，则 x0_解析f(x)2xf(1)ln x，f(x)2xf(1)(ln x)2f(1)1x，f(1)2f(1)1，即 f(1)1.f(x0)21x0，21x00，x012.答案12破题技法1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函

7、数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导2 求导公式或求导法则中， 要注意“”“”的变化， 如(cos x)sin x 区分 f(x)与 f(x0)3复合函数的求导，要分清复合的层次考点二导数的几何意义及应用挖掘 1利用导数几何意义求切点、斜率、切线/ 互动探究例 1(1)(2018高考全国卷)设函数(x)x3(a1)x2ax， 若(x)为奇函数， 则曲线 y(x)在点(0，0)处的切线方程为()ay2xbyxcy2xdyx解析法一：(x)x3(a1)

8、x2ax，(x)3x22(a1)xa.又(x)为奇函数，(x)(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax 恒成立，a1，(x)3x21，(0)1，曲线 y(x)在点(0，0)处的切线方程为 yx.故选 d.法二：(x)x3(a1)x2ax 为奇函数，(x)3x22(a1)xa 为偶函数，a1，即(x)3x21，(0)1，曲线 y(x)在点(0，0)处的切线方程为 yx.故选 d.答案d(2)(2019高考全国卷)曲线 y3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为_解析y3(2x1)ex3(x2x)exex(3x29x3)，斜率 ke033，切线方程为 y3x.答案y3x(3)若

9、直线 l 与曲线 c 满足下列两个条件：()直线 l 在点 p(x0，y0)处与曲线 c 相切；()曲线c 在点 p 附近位于直线 l 的两侧则称直线 l 在点 p 处“切过”曲线 c.下列命题正确的是_(写出所有正确命题的序号)：直线 l：y0 在点 p(0，0)处“切过”曲线 c：yx3；直线 l：x1 在点 p(1，0)处“切过”曲线 c：y(x1)2直线 l：yx 在点 p(0，0)处“切过”曲线 c：ysin x；直线 l：yx 在点 p(0，0)处“切过”曲线 c：ytan x；直线 l：yx1 在点 p(1，0)处“切过”曲线 c：yln x.解析对于，由 yx3，得 y3x2，

10、则 y|x00，直线 y0 是过点 p(0，0)的曲线 c 的切线，又当 x0 时，y0，当 x0 时，y0，满足曲线 c 在 p(0，0)附近位于直线 y0 两侧，命题正确；对于，由 y(x1)2，得 y2(x1)，则 y|x10，而直线 l：x1 斜率不存在，在点 p(1，0)处不与曲线 c 相切，命题错误；对于，由 ysin x，得 ycos x，则 y|x01，直线 ysin x 是过点 p(0，0)的曲线 c 的切线，又 x(2，0)时，xsin x，x(0，2)时，xsin x，满足曲线 c 在 p(0，0)附近位于直线 yx 两侧，命题正确；对于，由 ytan x，得 y1cos

11、2x，则 y|x01，直线 yx 是过点 p(0，0)的曲线的切线，又 x(2，0)时，tan xx，x(0，2)时，tan xx，满足曲线 c 在 p(0，0)附近位于直线 yx 两侧，命题正确；对于，由 yln x，得 y1x，则 y|x11， 曲线在 p(1， 0)处的切线为 yx1， 设 g(x)x1ln x， 得 g(x)11x， 当 x(0，1)时，g(x)0，当 x(1，)时，g(x)0，g(x)在(0，)上的极小值也是最小值为 g(1)0，直线 yx1 恒在曲线 yln x 的上方，不满足曲线 c 在点 p 附近位于直线 l 的两侧，命题错误，故答案为.答案破题技法求曲线的切线

12、方程，注意已知点是否为切点，其关键点为：(1)当点 p(x0，y0)是切点时，切线方程为 yy0f(x0)(xx0)(2)当点 p(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标 p(x1，f(x1)；第二步：写出过 p(x1，f(x1)的切线方程，为 yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步：将点 p(x0，y0)代入切线方程求出 x1；第四步：将 x1的值代入方程 yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点 p(x0，y0)的切线方程挖掘 2根据导数的几何意义求解析式中的参数/ 互动探究例 2(1)(2019高考全国卷)已知曲线 yaexxln x 在点(1，ae)处的切线方

13、程为 y2xb，则()aae，b1bae，b1cae1，b1dae1，b1解析yaexln x1，ky|x1ae1，切线方程为 yae(ae1)(x1)，即 y(ae1)x1.又切线方程为 y2xb，ae12，b1，即 ae1，b1.故选 d.答案d(2)(2018高考全国卷)曲线 y(ax1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为2，则 a_解析y(axa1)ex，当 x0 时，ya1，a12，得 a3.答案3(3)若曲线 c1：yx2与曲线 c2：yexa(a0)存在公共切线，则 a 的取值范围为()a(0，1)b(1，e24ce24，2de24，)解析易知曲线 yx2在点(m，m2)处的切线斜率为 2m，曲线 yexa在点(n，ena)处