2022高考数学统考一轮复习第二章函数导数及其应用第六节幂函数二次函数教师文档教案文北师大版

1、第六节第六节幂函数、二次函数幂函数、二次函数授课提示：对应学生用书第 26 页基础梳理1幂函数(1)定义：一般地，函数 yx叫作幂函数，其中底数 x 是自变量，是常数(2)幂函数的图像比较：2二次函数(1)解析式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)图像与性质：解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图像定义域(，)(，)值域4acb24a，4acb24a单调性在 xb2a，上单调递增在 x，b2a 上单调递减在 x，b2a上单调递增在 xb2a，上单调递减续表解析式f(x)ax2b

2、xc(a0)f(x)ax2bxc(a0)奇偶性当 b0 时为偶函数顶点b2a，4acb24a对称性图像关于直线 xb2a成轴对称图形3.巧记幂函数的图像五个幂函数在第一象限内的图像的大致情况可以归纳为“正抛负双， 大竖小横”， 即0(1)时的图像是抛物线型(1 时的图像是竖直抛物线型，01 时的图像是横卧抛物线型)，0 时的图像是双曲线型1一个易混点函数 yax2bxc，不能盲目认为是二次函数，要注意对 a 的讨论，a0，a0，a0.2两个条件：一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是a0，b24ac0.(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是a0，b24

3、ac0.3幂函数 yx在第一象限的图像特征(1)1 时，图像过(0，0)，(1，1)，下凸递增，例如 yx3；(2)01 时，图像过(0，0)，(1，1)，上凸递增，例如 yx12；(3)0 时，图像过(1，1)，下凸递减，且以两条坐标轴为渐近线，例如 yx1.四基自测1(基础点：幂函数定义)已知幂函数 f(x)kx的图像过点12，22 ，则 k()a.12b1c.32d2答案：c2(易错点：幂函数的单调性)幂函数 f(x)x(是有理数)的图像过点2，14 ，则 f(x)的一个单调递减区间是()a0，)b(0，)c(，0d(，0)答案：b3 (易错点： 二次函数的单调性)若 f(x)x2bxc

4、 的递增区间为1， )， 则 b_答案：24(基础点：分段函数的性质)设函数 f(x)x21x01x0，则 f(x)f(1)的 x 的取值范围为_答案：(，0)授课提示：对应学生用书第 27 页考点一幂函数的图像和性质挖掘 1幂函数图像及应用/ 互动探究例 1(1)幂函数 yf(x)的图像过点(4，2)，则幂函数 yf(x)的图像是()解析设幂函数的解析式为 yx，因为幂函数 yf(x)的图像过点(4，2)，所以 24，解得12.所以 y x，其定义域为0，)，且是增函数，当 0 x1 时，其图像在直线 yx 的上方答案c(2)(2019高考天津卷)已知函数 f(x)2 x，0 x1，1x，x

5、1.若关于 x 的方程 f(x)14xa(ar)恰有两个互异的实数解，则 a 的取值范围为()a54，94b(54，94c(54，941d54，941解析如图，分别画出两函数 yf(x)和 y14xa 的图像先研究当 0 x1 时，直线 y14xa 与 y2x的图像只有一个交点的情况当直线 y14xa 过点 b(1，2)时，214a，解得 a94.所以 0a94.再研究当 x1 时，直线 y14xa 与 y1x的图像只有一个交点的情况()相切时，由 y1x214，得 x2，此时切点为(2，12)，则 a1.()相交时，由图像可知直线 y14xa 从过点 a 向右上方移动时与 y1x的图像只有一

6、个交点，过点 a(1，1)时，114a，解得 a54.所以 a54.结合图像可得，所求实数 a 的取值范围为54，941故选 d.答案d挖掘 2幂函数的性质/ 互动探究例 2(1)若 a3525，b2535，c2525，则下列正确的是()aabcbacbccabdbca解析因为 yx25在第一象限内为增函数，所以 a3525c2525，因为 y25x是减函数，所以 c2525b2535，所以 acb.答案b(2)若 log2xlog3ylog5z1，则()a2x3y5zb5z3y2xc3y2x5zd5z2x3y解析设 log2xlog3ylog5zt，则 t1，x2t，y3t，z5t，因此 2

7、x2t1，3y3t1，5z5t1.又 t1，t10，由幂函数 yxt1的单调性可知 5z3y2x.答案b破题技法1.待定系统法求解析式，主要待定 yx中的“”值2利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较若底数相同，指数不同可考虑指数函数；若底数不同指数相同，可考虑幂函数考点二二次函数的图像与性质挖掘 1二次函数的单调性/ 互动探究例 1(1)函数 f(x)ax2(a3)x1 在区间1，)上是递减的，则实数 a 的取值范围是()a3，0)b(，3c2，0d3，0解析当 a0 时，f(x)3x1 在1，)上递

8、减，满足条件当 a0 时，f(x)的对称轴为 x3a2a，由 f(x)在1，)上递减知a0，3a2a1，解得3a0.综上，a 的取值范围为3，0答案d(2)若函数 f(x)ax2bxc(a0)对于一切实数都有 f(2x)f(2x)，则()af(2)f(1)f(4)bf(1)f(2)f(4)cf(2)f(4)f(1)df(4)f(2)f(1)解析因为函数 f(x)ax2bxc 对任意实数 x 都有 f(2x)f(2x)成立，所以函数图像关于 x2 对称，当 a0 时，f(2)最小，由 2142，得 f(1)f(3)f(4)，所以 f(2)f(1)f(4)故选 a.答案a破题技法研究二次函数单调性

9、的思路(1)二次函数的单调性在其图像对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图像的对称轴进行分类讨论(2) 若 已 知 f(x) ax2 bx c(a 0) 在 区 间 a 上 单 调 递 减 ( 单 调 递 增 ) ， 则a，b2aab2a，即区间 a 一定在函数对称轴的左侧(右侧)挖掘 2二次函数的最值/ 互动探究例 2已知函数 f(x)x22ax1a 在 x0，1时，有最大值 2，则 a 的值为_解析函数 f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为 xa.当 a0 时，f(x)maxf(0)1a，所以 1a2，所以 a1.当 0a1 时，f(x)maxa2a1，所

10、以 a2a12，所以 a2a10，所以 a1 52(舍去)当 a1 时，f(x)maxf(1)a，所以 a2.综上可知，a1 或 a2.答案1 或 2破题技法二次函数在(m，n上的最值的讨论主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动不论哪种类型，解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论设 f(x)ax2bxc(a0)，则二次函数在闭区间m，n上的最大、最小值有如下的分布情况：mnb2amb2an，即b2am，nb2amn图像最值f(x)maxf(m)f(x)minf(n)f(x)maxmaxf(n)，f(m)，f(x)minfb2af(x)

11、maxf(n)，f(x)minf(m)a0 的情况，讨论类似其实质是：无论开口向上或向下，都有两种结论：(1)若b2am，n，则 f(x)maxmaxfb2a，f(x)minminf（m） ，f（n）；(2)若b2am，n，则 f(x)maxmax f(m)，f(n)，f(x)minminf(m)，f(n)挖掘 3二次函数中恒成立问题/ 互动探究例 3(2020太原模拟)设函数 f(x)ax22x2，对于满足 1x4 的一切 x 值都有 f(x)0，则实数 a 的取值范围为_解析法一：当 a0 时，f(x)ax1a221a，由 f(x)0，x(1，4)得：1a1，f（1）a220或11a4，f

12、1a 21a0或1a4，f（4）16a820.所以a1，a0或14a1，a12或a14，a38，所以 a1 或12a1 或，即 a12，当 a0 时，f（1）a220，f（4）16a820，解得；当 a0 时，f(x)2x2，f(1)0，f(4)6，所以不合题意综上可得，实数 a 的取值范围是 a12.法二：由 f(x)0，即 ax22x20，x(1，4)，得 a2x22x在(1，4)上恒成立令 g(x)2x22x21x12212，1x(14，1)，g(x)max12，所以要 f(x)0 在(1，4)上恒成立，只要 a12即可答案12，破题技法由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键(1)一

13、般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值， 至于用哪种方法， 关键是看参数是否已分离 这两个思路的依据是：af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.挖掘 4与二次函数有关的双变量问题/自主练透例 4已知 f(x)是定义在2，2上的奇函数，当 x(0，2时，f(x)2x1，函数 g(x)x22xm.如果对任意 x12，2，存在 x22，2，使得 f(x1)g(x2)，则实数 m 的取值范围是_解析由题意，在2，2上，易求得函数 f(x)的值域为3，3，函数 g(x)的值域为m1，m8，问题转化为3，3m1，m8，解得 m5，2答案5，2将例 2 改