2022高考数学统考一轮复习第二章函数导数及其应用第十一节第2课时导数与函数的极值最值教师文档教案文北师大版

1、第十一节第十一节第二课时第二课时导数与函数的极值、最值导数与函数的极值、最值授课提示：对应学生用书第 43 页基础梳理1函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点：若函数 f(x)在点 xa 处的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 a 叫作函数的极小值点，f(a)叫作函数的极小值(2)函数的极大值与极大值点：若函数 f(x)在点 xb 处的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点 xb 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 b 叫作函数的极大值点

2、，f(b)叫作函数的极大值2函数的最值与导数的关系(1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件：如果在区间a，b上函数 yf(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤：求函数 yf(x)在(a，b)内的极值将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1注意两种条件(1)f(x)0 在(a，b)上成立，是 f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件(2)对于可导函数 f(x)，f(x0)0 是函数 f(x)在 xx0处有极值的必要不充分条件2分清极值与最值的关系(

3、1)极值与最值的关系：极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取(2)若函数 f(x)的图像连续，则 f(x)在a，b内一定有最值(3)若函数 f(x)在a，b内是单调函数，则 f(x)一定在区间端点处取得最值(4)若函数 f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值四基自测1(基础点：极值与导数的关系)函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内有极小

4、值点()a1 个b2 个c3 个d4 个答案：a2(基础点：闭区间上的函数的最值)函数 f(x)x33x23x4 在0，2上的最小值是()a173b103c4d643答案：a3(易错点：极小值点)已知 a 为函数 f(x)x312x 的极小值点，则 a_答案：24(基础点：极值与最值关系)函数 yxex的最小值是_答案：1e授课提示：对应学生用书第 43 页考点一求函数的极值或极值点挖掘极值的存在性问题/互动探究例(2019高考全国卷)已知函数 f(x)(x1)ln xx1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数证明(1)f(x)的定义域为

5、(0，)f(x)x1xln x1ln x1x.因为 yln x 在(0，)上单调递增，y1x在(0，)上单调递减，所以 f(x)在(0，)上单调递增又 f(1)10，故存在唯一 x0(1，2)，使得 f(x0)0.又当 xx0时，f(x)x0时，f(x)0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点(2)由(1)知 f(x0)0，所以 f(x)0 在(x0，)内存在唯一根 x.由x01 得11x0.又 f1 11ln111f（）0，故1是 f(x)0 在(0，x0)的唯一根综上，f(x)0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数破题技法1.利用导数研究函数极值的一般步骤(1)确定函数定义域

6、；(2)求导数 f(x)及 f(x)0 的根；(3)根据方程 f(x)0 的根将函数定义域分成若干区间， 列出表格， 检查导函数 f(x)零点左右 f(x)的值的符号，如果左正右负，那么 yf(x)在这个根处取极大值，如果左负右正，那么 yf(x)在这个根处取极小值如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值2判断极值点的个数首先确定导数的零点的个数，再根据极值的定义，确定零点是否为极值点已知函数 f(x)13x312ax2，ar r.(1)当 a2 时，求曲线 yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程；(2)设函数 g(x)f(x)(xa)cos xsin x，讨论 g(x)的单调性并

7、判断有无极值，有极值时求出极值解析：(1)由题意 f(x)x2ax，所以当 a2 时，f(3)0，f(x)x22x，所以 f(3)3，因此曲线 yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程是 y3(x3)，即 3xy90.(2)因为 g(x)f(x)(xa)cos xsin x，所以 g(x)f(x)cos x(xa)sin xcos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x)，令 h(x)xsin x，则 h(x)1cos x0，所以 h(x)在 r r 上单调递增因为 h(0)0，所以当 x0 时，h(x)0；当 x0 时，h(x)0.当 a0 时，g(x)与 g(x)的函数关系为

8、x(，a)a(a，0)0(0，)g(x)00g(x)极大极小所以当 xa 时，g(x)有极大值为 g(a)16a3sin a.当 x0 时，g(x)有极小值 g(0)a.当 a0 时，g(x)x(xsin x)当 x(，)时，g(x)0，g(x)单调递增，所以 g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值当 a0 时，g(x)与 g(x)的函数关系为：x(，0)0(0，a)a(a，)g(x)00g(x)极大极小所以当 x0 时 g(x)取到极大值，极大值是 g(0)a；当 xa 时 g(x)取到极小值，极小值是 g(a)16a3sin a.综上所述，当 a0 时，函数 g(x)在(，

9、a)和(0，)上单调递增，在(a，0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是 g(a)16a3sin a，极小值是 g(0)a；当 a0 时，函数 g(x)在(，)上单调递增，无极值；当 a0 时，函数 g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是 g(0)a，极小值是 g(a)16a3sin a.考点二利用导数求函数的最值问题挖掘含参数的函数的最值/ 互动探究例(2019高考全国卷)已知函数 f(x)2x3ax22.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 0a0，则当 x(，0)a3，时，f(x)0，当 x0，a3 时，f(x

10、)0，故 f(x)在(，0)，a3，单调递增，在0，a3 单调递减；若 a0，f(x)在(，)单调递增；若 a0， 当 xa3，0时， f(x)0， 故 f(x)在，a3 ，(0，)单调递增，在a3，0单调递减(2)当 0a3 时，由(1)知，f(x)在0，a3 单调递减，在a3，1单调递增，所以 f(x)在0，1的最小值为 fa3 a3272，最大值为 f(0)2 或 f(1)4a.于是 ma3272，m4a，0a2，2，2a3.所以 mm2aa327，0a2，a327，2a3.当 0a2 时，可知 2aa327单调递减，所以 mm 的取值范围是827，2.当 2a3 时，a327单调递增，

11、所以 mm 的取值范围是827，1.综上，mm 的取值范围是827，2.破题技法1.求函数 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值 f(a)，f(b)；(3)将函数 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值2若 f(x)在(a，b)内只有一个极值，则该极值为最值设函数 f(x)(x1)exkx2(kr r)(1)当 k1 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)当 k1 时，求 f(x)在0，2上的最值解析：(1)当 k1 时，f(x)(x1)exx2，f(x)ex(x1)ex2xx(

12、ex2)由 f(x)0，解得 x10，x2ln 20.由 f(x)0，得 x0 或 xln 2.由 f(x)0，得 0 xln 2.所以函数 f(x)的单调增区间为(，0)和(ln 2，)，单调减区间为(0，ln 2)(2)由(1)可知 x0 和 xln 2 是 f(x)的极值点，且 00，2，ln 20，2，f(0)1，f(ln 2)(ln 21)eln 2(ln 2)22(ln 21)(ln 2)2，由(1)可知 f(0)f(1)1，在(ln 2，)上 f(x)为增函数，f(2)f(1)f(ln 2)，f(x)的最大值为 f(2)e24.f(x)的最小值为 f(ln 2)2ln 22(ln

13、 2)2.考点三利用极值、最值求参数挖掘已知最值求参数/ 互动探究例(2019高考全国卷)已知函数 f(x)2x3ax2b.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)是否存在 a，b，使得 f(x)在区间0，1的最小值为1 且最大值为 1？若存在，求出 a，b 的所有值；若不存在，说明理由解析(1)f(x)6x22ax2x(3xa)令 f(x)0，得 x0 或 xa3.若 a0，则当 x(，0)a3，时，f(x)0；当 x0，a3 时，f(x)0.故 f(x)在(，0)，a3，单调递增，在0，a3 单调递减若 a0，则 f(x)在(，)单调递增若 a0；当 xa3，0时，f(x)0.故 f(x)在，

14、a3 ，(0，)单调递增，在a3，0单调递减(2)满足题设条件的 a，b 存在当 a0 时，由(1)知，f(x)在0，1单调递增，所以 f(x)在区间0，1的最小值为 f(0)b，最大值为 f(1)2ab.此时 a，b 满足题设条件当且仅当 b1，2ab1，即 a0，b1.当 a3 时，由(1)知，f(x)在0，1单调递减，所以 f(x)在区间0，1的最大值为 f(0)b，最小值为 f(1)2ab.此时 a，b 满足题设条件当且仅当 2ab1，b1，即 a4，b1.当 0a3 时，由(1)知，f(x)在0，1的最小值为 fa3 a327b，最大值为 b 或 2ab.若a327b1，b1，则 a

15、332，与 0a3 矛盾若a327b1，2ab1，则 a33或 a33或 a0，与 0a3 矛盾综上，当 a0，b1 或 a4，b1 时，f(x)在0，1的最小值为1，最大值为 1.破题技法1.已知函数极值点 x0，求解析式中的参数，常利用 f(x0)0 列方程求参数，求出参数后还要检验所求参数值是否满足 x0的极值点特征2函数 yf(x)在区间(a，b)上存在极值点，则转化为函数 yf(x)在区间(a，b)内存在变号零点3若已知最值时，需清楚最值何时取到已知函数 f(x)exx.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)设 g(x)xf(x)ax1，若 g(x)在(0，)上存在极值点，求实数 a 的取值范围解析：(1)f(x)exx，x(，0)(0，)，所以 f(x)ex（x1）x2.当 f(x)0 时，x1.f(x)与 f(x)随 x 的变化情况如下表：x(，0)(0，1)1(1，)f(x)0f(x)极小值故 f(x)的增区间为(1，)，