2022高考数学统考一轮复习第八章平面解析几何第八节第1课时最值范围证明问题教师文档教案文北师大版

1、第第八八节节直线与圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的综合问题授课提示：对应学生用书第 171 页基础梳理1直线与圆锥曲线的位置关系的判定代数法：把圆锥曲线方程 c 与直线方程 l 联立消去 y，整理得到关于 x 的方程 ax2bxc0.方程 ax2bxc0 的解l 与 c 的交点a0b0无解(含 l 是双曲线的渐近线)无交点b0有一解(含 l 与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行)一个交点a00两个不等的解两个交点0两个相等的解一个交点0无实数解无交点2.弦长公式设斜率为 k(k0)的直线 l 与圆锥曲线 c 相交于 a， b 两点， a(x1， y1)， b(x2， y2)， 则|ab

2、| 1k2|x1x2| 1k2 （x1x2）24x1x2或|ab|11k2|y1y2|11k2 （y1y2）24y1y2直线与圆锥曲线相交与相切的区别与联系(1)直线与椭圆相交有两个交点相切有一个公共点(2)直线与双曲线相交时，可以为一个公共点，即直线与渐近线平行；可以为两个公共点，直线与渐近线不平行直线与双曲线相切时，只有一个公共点(3)直线与抛物线相交，当直线平行对称轴时，只有一个公共点，当直线与对称轴不平行，有两个公共点直线与抛物线相切时，只有一个公共点四基自测1(基础点：直线与抛物线的关系)已知点 a(2，3)在抛物线 c：y22px 的准线上，记 c 的焦点为 f，则直线 af 的斜

3、率为()a43b1c34d12答案：c2(基础点：直线截椭圆的弦长)斜率为 1 的直线 l 与椭圆x24y21 相交于 a、b 两点，则|ab|的最大值为()a2b4 55c.4 105d.8 105答案：c3(基础点：椭圆的焦点三角形)已知 f1，f2是椭圆 16x225y21 600 的两个焦点，p 是椭圆上一点，且 pf1pf2，则f1pf2的面积为_答案：644(基础点：双曲线的通径)f 是双曲线 c：x2y231 的右焦点，过 f 作 x 轴的垂线交双曲线于 a、b 两点，则|ab|_答案：6第一课时最值、范围、证明问题授课提示：对应学生用书第 172 页考点一弦及弦长问题例(1)过

4、椭圆x212y231 的右焦点的直线交椭圆于 a，b 两点，若|ab|2 3，则直线 ab 的方程为()ax 2y30b 2xy30c. 2xy30d.x 2y30解析由题意知，椭圆x212y231 的右焦点为 f(3，0)，设直线 ab 的方程为 xty3，代入椭圆方程x212y231 中得(t24)y26ty30，设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 y1y26tt24，y1y23t24，所以(y1y2)2(y1y2)24y1y26tt24212t2448（t21）（t24）2，所以|ab|（1t2） （y1y2）248（t21）2（t24）22 3，解得 t22，所以 t 2，所以

5、直线 ab 的方程为 x 2y3，即 x 2y30.选 d.答案d(2)(2020沈阳监测)已知抛物线 y24x 的一条弦 ab 恰好以 p(1，1)为中点，则弦 ab 所在直线的方程是_解析设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，且 x1x2，则 y1y22，又点 a，b 在抛物线 y24x 上，所以y214x1，y224x2，两式相减，得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，则y1y2x1x24y1y22，即直线 ab 的斜率k2，所以直线 ab 的方程为 y12(x1)，即 2xy10.答案2xy10破题技法处理弦的问题，一般是联立方程组，结合根与系数的关系，用直线斜率或纵截距作为主元

6、，注意斜率不存在的情况如果涉及弦的中点与斜率问题，往往用点差法：点差法的基本步骤是设点(即设出弦的端点坐标)代入(即代入曲线方程)作差(即两式相减，求出斜率y2y1x2x1)，建立关系已知双曲线 x2y221，过点 p(1，1)能否作一条直线 l 与双曲线交于 a、b 两点，且点 p 是线段的中点解析：假设可作直线 l，设 a(x1，y2)，b(x2，y2)，则x21y2121，x22y2221，得(x1x2)(x1x2)12(y1y2)(y1y2)，又x1x22，y1y22，kaby1y2x1x22，此时 ab 的方程为 y12(x1)，即 y2x1，由y2x1x2y221得 x22x320

7、，44320，无解，故不存在这样的直线考点二证明几何结论问题例(2018高考全国卷)设抛物线 c：y22x，点 a(2，0)，b(2，0)，过点 a 的直线 l 与 c交于 m，n 两点(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 bm 的方程；(2)证明：abmabn.解析(1)当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x2，可得点 m 的坐标为(2，2)或(2，2)所以直线 bm 的方程为 y12x1 或 y12x1.(2)证明：当 l 与 x 轴垂直时，ab 为 mn 的垂直平分线，所以abmabn.当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x2)(k0)，m(x1，y1)，n(x2，

8、y2)，则 x10，x20.由yk（x2） ，y22x，得 ky22y4k0，可知 y1y22k，y1y24.直线 bm，bn 的斜率之和为 kbmkbny1x12y2x22x2y1x1y22（y1y2）（x12） （x22）.将 x1y1k2，x2y2k2 及 y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得 x2y1x1y22(y1y2)2y1y24k（y1y2）k88k0.所以 kbmkbn0，可知 bm，bn 的倾斜角互补，所以abmabn.综上，abmabn.破题技法圆锥曲线中证明问题的类型及解题策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：

9、某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明设椭圆 e 的方程为x2a2y2b21(ab0)，点 o 为坐标原点，点 a 的坐标为(a，0)，点 b 的坐标为(0，b)，点 m 在线段 ab 上，满足|bm|2|ma|，直线 om 的斜率为510.(1)求 e 的离心率 e；(2)设点 c 的坐标为(0，b)，n 为线段 ac 的中点，证明：mnab.解析：(1)由题设条件知，点 m 的

10、坐标为23a，13b，又 kom510，从而b2a510.进而得 a 5b，c a2b22b，故 eca2 55.(2)证明：由 n 是 ac 的中点知，点 n 的坐标为a2，b2 ，可得nma6，5b6 .又ab(a，b)，从而有abnm16a256b216(5b2a2)由(1)可知 a25b2，所以abnm0，故 mnab.考点三最值与范围问题例(2020安徽知名示范高中联考)已知椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线 xsin ycos10 相切(为常数)(1)求椭圆 c 的标准方程；(2)若椭圆 c 的左、右焦点分别为 f1、f

11、2，过 f2作直线 l 与椭圆交于 m，n 两点，求f1mf1n的最大值解析(1)由题意，得eca22，1sin2cos2c，a2b2c2，解得c1，a22，b21，故椭圆 c 的标准方程为x22y21.(2)由(1)得 f1(1，0)，f2(1，0)若直线l的斜率不存在， 则直线lx轴， 直线l的方程为x1， 不妨记m1，22 ， n1，22 ，f1m2，22 ，f1n2，22 ，故f1mf1n72.若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x1)，由yk（x1） ，x22y21消去 y 得，(12k2)x24k2x2k220，设 m(x1，y1)，n(x2，y2)，则 x1x24

12、k212k2，x1x22k2212k2.又f1m(x11，y1)，f1n(x21，y2)，则f1mf1n(x11)(x21)y1y2(x11)(x21)k(x11)k(x21)(1k2)x1x2(1k2)(x1x2)1k22（k41）2k214k24k42k211k27k212k217292（2k21），由 k20，可得f1mf1n1，72 .综上，f1mf1n的最大值为72.破题技法最值问题的 2 种基本解法几何法根据已知的几何量之间的相互关系，利用平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、 光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)代数法建立求解目标关于某

13、个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决的(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)已知点 a，b 分别为椭圆 e：x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点，点 p(0，2)，直线 bp 交 e于点 q，pq32qb，且abp 是等腰直角三角形(1)求椭圆 e 的方程；(2)设过点 p 的动直线 l 与 e 相交于 m，n 两点，当坐标原点 o 位于以 mn 为直径的圆外时，求直线 l 斜率的取值范围解析：(1)由abp 是等腰直角三角形，知 a2，b(2，0)设 q(x0，y0)，由pq32qb，得 x065，y045，代入椭圆方程，解得 b21，椭圆 e 的方程为x24y21.(2)由题意可知，直线 l 的斜率存在，设方程为 ykx2，m(x1，y1)，n(x2，y2)，由ykx2，x24y21消去 y，得(14k2)x216kx120，则 x1x216k14k2，x1x21214k2