2022高考数学统考一轮复习第四章平面向量与复数第二节平面向量的数量积教师文档教案文北师大版

1、第二节第二节平面向量的数量积平面向量的数量积授课提示：对应学生用书第 78 页基础梳理1向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量 a和 b， 作oaa， obb， 则aob 就是 a 与b 的夹角设是 a 与 b 的夹角，则的取值范围是01800或180ab，90ab2.平面向量的数量积定义设两个非零向量 a，b 的夹角为，则数量|a|b|cos 叫作 a 与 b 的数量积，记作ab投影|a|cos 叫作向量 a 在 b 方向上的投影，|b|cos 叫作向量 b 在 a 方向上的投影几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos_的乘积3.数量积

2、的性质设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，为 a 与 b(或 e)的夹角则(1)eaae|a|cos (2)cos ab|a|b|.(3)ab|a|b|4数量积的运算律(1)交换律：abba.(2)数乘结合律：(a)b(ab)a(b)(3)分配律：a(bc)abac5平面向量数量积的坐标表示设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为，则数量积abx1x2y1y2模|a|_ x21y21夹角cos x1x2y1y2x21y21x22y22向量垂直的充要条件abab0 x1x2y1y201向量的夹角问题(1)“向量 a 与 b 的夹角为钝角”等价于“ab0 且 a

3、，b 不共线”(2)“向量 a 与 b 的夹角为锐角”等价于“ab0 且 a，b 不共线”(3)向量的夹角首先使两个向量共起点，在abc 中， ab， bcb，而不是角 b.2两种投影a 在 b 上的投影为ab|b|.b 在 a 上的投影为ab|a|.3几个结论，对于向量 a，b(1)(ab)2a22abb2.(2)(ab)(ab)a2b2.(3)a，b 同向时，ab|a|b|，a，b 反向时，ab|a|b|.(4)o 是abc 的垂心oaobobococoa.(5)在abc 中，角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，则abacc2b2a22.四基自测1(基础点：向量夹角)设 a( 3，

4、1)，b1，33 ，则向量 a，b 的夹角为()a30b60c120d150答案：b2(基础点：数量积坐标运算)已知ab(2，3)，ac(3，3)，则abbc()a3b2c2d3答案：c3(易错点：向量的投影)已知 a(2，3)，b(4，7)，则 a 在 b 方向上的投影为()a. 13b135c.655d 65答案：c4(基础点：求模)已知 a 与 b 的夹角为 60，|a|2，|b|1，则|ab|_答案： 7授课提示：对应学生用书第 79 页考点一平面向量数量积的运算挖掘 1定义法、坐标法求数量积/ 自主练透例 1(1)已知ab(2，3)，ac(3，t)，|bc|1，则abbc()a3b2

5、c2d3解析bcacab(3，t)(2，3)(1，t3)，|bc|1， 12（t3）21，t3，bc(1，0)，abbc21302.故选 c.答案c(2)(2018高考全国卷)已知向量 a，b 满足|a|1，ab1，则 a(2ab)()a4b3c2d0解析a(2ab)2a2ab2|a|2ab.|a|1，ab1，原式21213.故选 b.答案b(3)(2018高考天津卷)如图所示，在平面四边形 abcd 中，abbc，adcd，bad120，abad1.若点 e 为边 cd 上的动点，则aebe的最小值为()a.2116b32c.2516d3解析如图所示，以 d 为坐标原点建立直角坐标系连接 a

6、c，由题意知cadcab60，acdacb30，则 d(0，0)，a(1，0)，b(32，32)，c(0， 3)，设 e(0，y)(0y 3)，则ae(1，y)，be32，y32 ，aebe32y232yy3422116，当 y34时，aebe有最小值2116.故选 a.答案a破题技法1.定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即 ab|a|b|cos (是 a 与 b 的夹角)2坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解挖掘 2用基底计算数量积/ 互动探究例 2(1)在如图所示的平面图形中，已知 om1，on2，mon120，bm2ma，cn2n

7、a，则bcom的值为()a15b9c6d0解析如图，连接 mn.bm2ma，cn2na，amab13anac，mnbc，且mnbc13，bc3mn3(onom)，bcom3(onomom2)3(21cos 12012)6.故选 c.答案c(2)(2019高考天津卷)在四边形 abcd 中，adbc，ab2 3，ad5，a30，点 e 在线段 cb 的延长线上，且 aebe，则bdae_解析法一：bad30，adbc，abe30，又 eaeb，eab30，在eab 中，ab2 3，eaeb2.以 a 为坐标原点，直线 ad 为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系则 a(0，0)，d(5，0)，e

8、(1， 3)，b(3， 3)，bd(2， 3)，ae(1， 3)，bdae(2， 3)(1， 3)1.法二：同法一，求出 ebea2，以ab，ad为一组基底，则bdadab，aeabbeab25ad，bdae(adab)(ab25ad)adabab225abad25ad27552 3321225251.答案1破题技法基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解考点二向量的模、夹角、垂直问题挖掘 1向量的夹角/ 互动探究例 1(1)(2019高考全国卷)已知非零向量 a，b 满足|a|2|b|，且(ab)b，则 a 与 b 的夹角为()a.6b3c

9、.23d56解析由(ab)b，可得(ab)b0，abb2.|a|2|b|，cosa，bab|a|b|b22b212.0a，b，a 与 b 的夹角为3.故选 b.答案b(2)(2019高考全国卷)已知 a，b 为单位向量，且 ab0，若 c2a 5b，则 cosa，c_.解析由题意，得 cosa，ca（2a 5b）|a|2a 5b|2a2 5ab|a| |2a 5b|221 4523.答案23(3)(2020石家庄模拟)若两个非零向量 a，b 满足|ab|ab|2|b|，则向量 ab 与 a 的夹角为()a.3b23c.56d6解析设|b|1，则|ab|ab|2.由|ab|ab|，得 ab0，故

10、以 a，b 为邻边的平行四边形是矩形，且|a| 3，设向量 ab与 a 的夹角为，则 cos a（ab）|a|ab|a2ab|a|ab|a|ab|32，0，6，故选 d.答案d破题技法求向量夹角的方法方法解读适合题型定义法cosa，bab|a|b|适用于向量的代数运算数形结合法转化为求三角形的内角适用于向量的几何运算拓展设a，b，当为锐角时，cos 0，即 ab0，当为钝角时，cos 0，即 ab0，反之不成立，要注意 ab 的情况已知非零向量 m，n 满足 4|m|3|n|，cosm，n13，若 n 与 tmn 夹角为钝角，则实数 t的取值范围是()at4bt4 且 t0ct4dt4 且 t

11、0解析：n 与 tmn 夹角为钝角等价于 n(tmn)0 且 n 与 tmn 不共线，所以 tmnn20且 t0，即 t34n213n20，且 t0，解得 t4 且 t0.答案：b挖掘 2向量模的计算/互动探究例 2(1)在等腰三角形 abc 中，点 d 是底边 ab 的中点，若ab(1，2)，cd(2，t)，则|cd|()a. 5b5c2 5d20解析由题意知abcd，122t0，t1，|cd| 22（1）2 5.答案a(2)(2020湖北武汉模拟)已知向量 a，b 满足|a|4，b 在 a 方向上的投影为2，则|a3b|的最小值为()a12b10c. 10d2解析设 a 与 b 的夹角为.

12、由于 b 在 a 方向上的投影为2，所以|b|cos ab|a|2，所以 ab8，又|b|cos 2，所以|b|2，则|a3b| a26ab9b2 649b2 6492210，即|a3b|的最小值为 10，故选 b.答案b(3)如图，在abc 中，bac3，ad2db，p 为 cd 上一点，且满足apmac12ab，若abc 的面积为 2 3，则|ap|的最小值为()a. 2b 3c3d43解析ad2db，ab32ad，apmac12ab，apmac34ad，c，p，d 三点共线，m341，即 m14，ap14ac12ab，ap2116ac214ab214acab218|ac|ab|14|ac

13、|ab|cos338|ac|ab|，sabc12|ac|ab|sin32 3，|ac|ab|8，ap23883，|ap| 3，故选 b.答案b破题技法求向量的模的方法(1)公式法：利用|a| aa及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解挖掘 3向量的垂直问题/ 互动探究例 3(1)已知向量 a(1，2)，b(2，3)若向量 c 满足(ca)b，c(ab)，则 c()a.79，73b73，79c.73，79d79，73解析设 c(m，n)，则 ac(1m，2

14、n)，ab(3，1)，因为(ca)b，则有3(1m)2(2n)；又 c(ab)，则有 3mn0，解得 m79，n73.所以 c79，73 .答案d(2)(2019高考北京卷)已知向量 a(4，3)，b(6，m)，且 ab，则 m_解析ab，ab(4，3)(6，m)243m0，m8.答案8破题技法1.当已知两个向量的夹角为 90时，即 ab 时，则 ab0.反之也成立，(a0 且b0)2如果 a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1x2y1y20.如图所示，|ab|5，|ae| 5，abae0，且ab2ad，ac3ae，连接 be，cd 交于点 f，则|af|_解析：由三点共线可知，afab

15、(1)ae2ad(1)ae(r)，同理，afad(1)acad3(1)ae(r)，则，得2，331，解得25，45，故af25ab35ae.|af|425|ab|2925|ae|21225abae1455.答案：1455考点三数量积运算的最值或取值范围例已知abc 是边长为 2 的等边三角形，p 为平面 abc 内一点，则pa(pbpc)的最小值是()a2b32c43d1解析法一：几何法第一步：画出图形，利用向量的平行四边形法则化简pbpc.如图，pbpc2pd(d 为 bc 中点)，则pa(pbpc)2pdpa，第二步：确定 p 点的大致位置使papd最小要使papd最小，需pa，pd方向相

16、反，即 p 点在线段 ad 上，所以(2pdpa)min2|pa|pd|，即求|pd|pa|最大值第三步：利用基本不等式求最值又|pa|pd|ad|232 3，则|pa|pd|pa|pd|2232234，所以(2pdpa)min23432.故选 b.法二：坐标法第一步：建立平面直角坐标系以 bc 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则 a(0， 3)，b(1，0)，c(1，0)第二步：设出 p 点的坐标(x，y)，将向量pa， pb，pc表示出来设 p(x，y)，则pa(x， 3y)，pb(1x，y)，pc(1x，y)，第三步：用 x，y表示pa(pbpc)，转化为函数关系式求最值pa(pb

17、pc)2x22 3y2y22x2y32234，其最小值为 234 32，此时 x0，y32.故选 b.答案b破题技法求解平面向量数量积最值或取值范围问题的 2 个策略(1)图形化策略所谓图形化策略，是指解决向量问题时，利用图形语言翻译已知条件和所求结论，借助图形思考解决问题图形化策略体现了数形结合思想，同时，化归与转化思想和函数与方程思想也深蕴其中利用图形化的策略方法，各种数量关系在图形中非常明了，能起到事半功倍的作用如果没有图形的帮助，要用代数化策略，这样即使是坐标化处理，也可能陷入“僵局” (2)代数化策略所谓代数化策略，是指解决向量问题时，利用代数语言翻译已知条件和所求结论，借助代数运算解决所面临的问题代数化策略体现了化归与转化思想和函数与方程思想通过平面向量基本定理演变而来的代数运算和坐标化的代数运算，是解决向量问题的一般方法平行四边形 abcd 中