2022高考数学统考一轮复习第八章平面解析几何第七节双曲线教师文档教案文北师大版

1、第七节第七节 双曲线双曲线 授课提示：对应学生用书第 167 页 基础梳理 1双曲线的定义 (1)平面内与两个定点 f1， f2的距离之差的绝对值(|f1f2|2c0)为非零常数 2a(2a0，c0. 当 2a|f1f2|时，m 点不存在 2双曲线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 x2a2y2b21(a0，b0) y2a2x2b21(a0，b0) 续表 性质 范围 xa 或 xa ya 或 ya 对称性 对称轴：坐标轴； 对称中心：原点 对称轴：坐标轴； 对称中心：原点 顶点 顶点坐标：a1(a，0)，a2(a，0) 顶点坐标：a1(0，a)，a2(0，a) 渐近线 ybax yabx 离

2、心率 eca，e(1，) 实、虚轴 线段 a1a2叫作双曲线的实轴，它的长|a1a2|2a；线段 b1b2叫作双曲线的虚轴，它的长|b1b2|2b；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长 a，b，c 间的关系 c2a2b2(ca0，cb0) 1在双曲线的定义中，|mf1|mf2|2a，表示靠近 f2的一支，|mf2|mf1|2a，表示靠近f1的一支 2双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长 3方程x2my2n1(mn0)表示的曲线 (1)当 m0，n0 时，表示焦点在 x 轴上的双曲线 (2)当 m0，n0 时，则表示焦点在 y 轴上的双曲线 4方程的常见设法 (1)与双曲线x2

3、a2y2b21 共渐近线的方程可设为x2a2y2b2(0) (2)若渐近线的方程为 ybax，则可设双线曲方程为x2a2y2b2(0) 四基自测 1(基础点：双曲线的标准方程)以椭圆x24y231 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( ) ax2y231 bx23y21 cx2y221 d.x24y231 答案：a 2(基础点：双曲线的定义)若双曲线 e：x29y2161 的左、右焦点分别为 f1、f2，点 p 在双曲线 e 上，且|pf1|3，则|pf2|等于( ) a11 b9 c5 d.3 答案：b 3(基础点：双曲线的渐近线)双曲线 x2y231 的渐近线方程为_ 答案：y 3x

4、4(基础点：双曲线的焦距)双曲线x23y221 的焦距为_ 答案：2 5 授课提示：对应学生用书第 167 页 考点一 双曲线的定义及应用 挖掘 1 利用定义求双曲线方程/ 自主练透 例 1 (1)已知两圆 c1：(x4)2y22，c2：(x4)2y22，动圆 m 与两圆 c1，c2都相切，则动圆圆心 m 的轨迹方程是( ) ax0 bx22y2141(x 2) c.x22y2141 d.x22y2141 或 x0 解析 动圆 m 与两圆 c1，c2都相切，有四种情况：动圆 m 与两圆都外切；动圆 m 与两圆都内切；动圆 m 与圆 c1外切、与圆 c2内切；动圆 m 与圆 c1内切、与圆 c2

5、外切在情况下，显然，动圆圆心 m 的轨迹方程为 x0；在的情况下，设动圆 m 的半径为 r， 则|mc1|r 2，|mc2|r 2. 故得|mc1|mc2|2 2； 在的情况下，同理得|mc2|mc1|2 2. 由得|mc1|mc2| 2 2.已知|c1c2|8， 根据双曲线定义，可知点 m 的轨迹是以 c1(4，0)，c2(4，0)为焦点的双曲线，且 a 2，c4，b2c2a214，其方程为x22y2141.故选 d. 答案 d (2)已知动圆 m 与圆 c1：(x4)2y22 外切，与圆 c2：(x4)2y22 内切，则动圆圆心 m的轨迹方程为( ) a.x22y2141(x 2) bx2

6、2y2141(x 2) c.x22y2141(x 2) d.x22y2141(x 2) 解析 设动圆的半径为 r， 由题意可得|mc1|r 2， |mc2|r 2， 所以|mc1|mc2|2 22a，故由双曲线的定义可知动点 m 在以 c1(4，0)，c2(4，0)为焦点，实轴长为 2a2 2的双曲线的右支上，即 a 2，c4b216214，故动圆圆心 m 的轨迹方程为x22y2141(x 2) 答案 a 挖掘 2 利用定义求点到焦点的距离/ 互动探究 例 2 (1)(2020 陕西师大附中模拟)设过双曲线 x2y29 右焦点 f2的直线交双曲线的左支于点 p，q，若|pq|7，则f2pq 的

7、周长为( ) a19 b26 c43 d.50 解析 如图所示，由双曲线的定义 可得|pf2|pf1|2a， |qf2|qf1|2a， 得|pf2|qf2|pq|4a， f2pq 的周长为|pf2|qf2|pq| 4a|pq|pq|432726. 答案 b (2)(2020 河南郑州一模)已知双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 f1，f2，实轴长为 6，渐近线方程为 y13x，动点 m 在双曲线左支上，点 n 为圆 e：x2(y 6)21上一点，则|mn|mf2|的最小值为( ) a8 b9 c10 d.11 解析 由题意知 2a6，则 a3，又由ba13得 b1，

8、所以 ca2b2 10，则 f1( 10，0) 根据双曲线的定义知|mf2|2a|mf1|mf1|6， 所以|mn|mf2|mn|mf1|6|en|mn|mf1|5|f1e|5（ 10）2（ 6）259，当且仅当 f1，m，n，e 共线时取等号，故选 b. 答案 b (3)已知双曲线 c：x216y2b21(b0)，f1、f2分别为 c 的左、右焦点，过 f2的直线 l 分别交 c的左、右支于点 a、b，且|af1|bf1|，则|ab|( ) a4 b8 c16 d32 解析 由双曲线定义知|af2|af1|2a，|bf1|bf2|2a，由于|af1|bf1|，所以两式相加可得|af2|bf2

9、|4a，而|ab|af2|bf2|， |ab|4a，由双曲线方程知 a4，|ab|16，故选 c. 答案 c 破题技法 应用双曲线定义时要注意 (1)距离之差的绝对值，不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是一支 (2)2aa0，cb0) 考点二 双曲线的方程及性质 挖掘 1 利用双曲线的性质求方程/ 自主练透 例 1 (1)经过点(2，1)，且渐近线与圆 x2(y2)21 相切的双曲线的标准方程为( ) a.x2113y2111 bx22y21 c.y2113x2111 d.y211x21131 解析 法一：设双曲线的渐近线方程为 ykx，即 kxy0，由渐近线与圆 x2(y2)21相切可得圆心(0，

10、2)到渐近线的距离等于半径 1，由点到直线的距离公式可得|k02|k211，解得 k 3.因为双曲线经过点(2，1)，所以双曲线的焦点在 x 轴上，可设双曲线的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，将(2，1)代入可得4a21b21，由4a21b21，ba 3得a2113，b211，故所求双曲线的标准方程为x2113y2111.故选 a. 法二：设双曲线的方程为 mx2ny21(mn0)，将(2，1)代入方程可得，4mn1.双曲线的渐近线方程为 ymnx，圆 x2(y2)21 的圆心为(0，2)，半径为 1，由渐近线与圆 x2(y2)21 相切，可得21mn1，即mn3，由可得 m311，n

11、111，所以该双曲线的标准方程为x2113y2111.选 a. 答案 a (2)若双曲线经过点(3， 2)，且渐近线方程是 y13x，则双曲线的方程是_ 解析 设双曲线的方程是 y2x29.因为双曲线过点(3， 2)， 所以 2991.所以双曲线的方程为 y2x291. 答案 y2x291 (3)(2020 成都模拟)设双曲线与椭圆x227y2361 有共同的焦点， 且与椭圆相交， 一个交点的坐标为( 15，4)，则此双曲线的标准方程是_ 解析 法一：椭圆x227y2361 的焦点为(0，3)和(0，3)， 双曲线的焦距为 2c6. 由双曲线的定义得 （ 15）2（43）2（ 15）21284

12、42a. a2，b2c2a2945， 双曲线方程为y24x251. 法二： 设双曲线的方程为x227y2361(270，b0)的右焦点，o 为坐标原点，以 of 为直径的圆与圆 x2y2a2交于 p，q 两点若|pq|of|，则 c 的离心率为( ) a. 2 b 3 c2 d. 5 解析 设双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点 f 的坐标为(c，0)由圆的对称性及条件|pq|of|可知，pq 是以 of 为直径的圆的直径，且 pqof.设垂足为 m，连接 op，如图，则|op|a，|om|mp|c2.由|om|2|mp|2|op|2得c22c22a2，故ca 2，即 e 2.

13、故选a. 答案 a (2)(2019 高考全国卷)双曲线 c：x24y221 的右焦点为 f，点 p 在 c 的一条渐近线上，o 为坐标原点若|po|pf|，则pfo 的面积为( ) a.3 24 b3 22 c2 2 d.3 2 解析 双曲线x24y221 的右焦点坐标为( 6，0)，一条渐近线的方程为 y22x，不妨设点 p在第一象限，由于|po|pf|，则点 p 的横坐标为62，纵坐标为226232，即pfo 的底边长为 6，高为32，所以它的面积为12 6323 24.故选 a. 答案 a 破题技法 求离心率的方法 方法 解法 题型 直接法 直接求 a，b，c，利用 e ca或 e 1

14、（ba）2 适合易求 a、b、c 构造法 构造 a、b、c 间的等式或不等式的齐次关系 可能是 a、c 或 a、b 的关系 挖掘 3 共焦点的椭圆与双曲线/ 自主练透 例 3 (1)已知椭圆 c1：x2m2y21(m1)与双曲线 c2：x2n2y21(n0)的焦点重合，e1，e2，分别为 c1，c2的离心率，则( ) amn 且 e1e21 bmn 且 e1e21 cmn 且 e1e21 d.mn 且 e1e21 解析 设 p 为椭圆与双曲线在第一象限内的公共点， f1，f2为它们的左、右公共焦点， 则|pf1|pf2|2m，|pf1|pf2|2n，mn，由结论一得1e211e222， 法一：

15、(利用均值不等式) e1e2，21e211e222e1e2，e1e21，故选 a. 法二：(利用三角换元) 由1e211e222，0e11，e21， 可设1e1 2cos ，1e2 2sin ，04， 则 e1e21sin 21. 法三：(利用消元法) 1e211e222，1e2221e21， 1e21e221e412e211e21121， 由 0e11，e21 且1e211e222，得 11e212， 令 t1e21，f(t)(t1)21， 则1e21e22f(t)，t(1，2)， f(t)在(1，2)上单调递减，f(1)1，f(2)0， 故 01e21e221，即 e1e21. 答案 a (2)已知 f1，f2为椭圆和双曲线的公共焦点，p 为它们的一个公共点，且f1pf23，则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值是( ) a.33 b32 c1 d. 3