2022高考数学一轮备考复习第3章导数及其应用第2节导数的应用第3课时利用导数证明不等式课时跟踪检测文含解析新人教B版

1、第三章第三章导数及其应用导数及其应用第二节第二节导数的应用导数的应用第第 3 课时课时利用导数证明不等式利用导数证明不等式1已知函数 f(x)aexln x1.(1)设 x2 是 f(x)的极值点，求 a，并求 f(x)的单调区间；(2)证明：当 a1e时，f(x)0.解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex1x.由题设知，f(2)0，所以 a12e2.从而 f(x)12e2exln x1，f(x)12e2ex1x，易知 f(2)0.当 0 x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0.所以 f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增(2)证明：设 g(x)exeln

2、x1，则 g(x)exe1x.当 0 x1 时，g(x)0；当 x1 时，g(x)0.所以 x1 是 g(x)的极小值点也是最小值点故当 x0 时，g(x)g(1)0.因此，当 a1e时，f(x)exeln x10.2已知函数 f(x)ln x2x1，求证：f(x)x12.证明：f(x)ln x2x1.令 g(x)f(x)x12ln x2x1x12(x0)，则 g(x)1x2（x1）2122xx32x（x1）2（x1） （x2x2）2x（x1）2.当 x1 时，g(x)0；当 0 x1 时，g(x)0，所以 g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，即当 x1 时，g(x)取得极大

3、值即最大值，故 g(x)g(1)0，即 f(x)x12.3(2019 届四省八校双教研联考)已知函数 f(x)axax ln x1(ar，a0)(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)当 x1 时，求证：1x11ex1.解：(1)f(x)aa(ln x1)aln x，若 a0，则当 x(0，1)时，f(x)0；当 x(1，)，f(x)0，所以 f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减；若 a0，则当 x(0，1)时，f(x)0；当 x(1，)，f(x)0，所以 f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)证明：要证1x11ex1，即证xx1ex，令 t1x，t(0，1

4、)，原不等式转化为11tet，两边同取以 e 为底的对数得，ln(1t)t，即证 tln(1t)0，令 g(t)tln(1t)，则 g(t)1t11tt10，故 g(t)在(0，1)上单调递减，g(t)0)的图象在 x1 处的切线方程是(e1)xeye10.(1)求 a，b 的值；(2)若 m0，证明：f(x)mx2x.解：(1)由(e1)xeye10 得该切线的斜率为e1e且 f(1)0，所以 f(1)(1b)1ea0，解得 a1e或 b1，又 f(x)(xb1)exa，所以 f(1)beae1e，若 a1e，则 b2e0 矛盾，若 b1，则 a1.故 a1，b1.(2)证明：证法一：由(1

5、)可知，f(x)(x1)(ex1)，由 m0，可得 xmx2x，令 g(x)(x1)(ex1)x，则 g(x)(x2)ex2，当 x2 时，g(x)(x2)ex222 时，设 h(x)g(x)(x2)ex2，则 h(x)(x3)ex0，故函数 g(x)在(2，)上单调递增，又 g(0)0，所以当 x(，0)时，g(x)0，函数 g(x)在区间(0，)上单调递增，所以 g(x)ming(0)0.所以 g(x)g(0)0，所以(x1)(ex1)xmx2x，故 f(x)mx2x.证法二：由(1)可知 f(x)(x1)(ex1)，由 m0，可得 xmx2x，令 g(x)(x1)(ex1)x，则 g(x)(x2)ex2，令 t(x)g(x)，则 t(x)(x3)ex，当 x3 时，t(x)0，g(x)单调递减，且 g(x)3 时， t(x)0， g(x)单调递增， 又 g(0)0， 所以当 x(3， 0)时， g(x)0，所