2022高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明7.4直接证明与间接证明学案文含解析新人教A版

1、7.4直接证明与间接证明必备知识预案自诊知识梳理1.直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止证明思路由因导果执果索因证明流程pq1q1q2qnqqp1p1p2得到一个明显成立的条件文字表达因为所以或由得要证只需证即证2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定义:假设原命题(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出

2、,因此说明假设错误,从而证明的证明方法.(2)用反证法证明的一般步骤:反设假设命题的结论不成立;归谬根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;结论断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.()(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.()(3)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.()(4)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程.()(5)证明不等式2+73+6最合适的方法是分析法.()2.命题:“对于任意角,cos4-sin4=co

3、s 2”的证明过程“cos4-sin4=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2”应用了()a.分析法b.综合法c.综合法与分析法结合使用d.演绎法3.用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90”时,首先要作出的假设是()a.四个内角都大于90b.四个内角中有一个大于90c.四个内角都小于90d.四个内角中有一个小于904.(2020四川树德中学期中)欲证2-35-6成立,只需证()a.(2-3)2(5-6)2b.(2-5)2(3-6)2c.(2+6)2(3+5)2d.(2-3-5)2”“0,a+b+c=1.求证:(1)a+b+c3;(2)13a

4、+1+13b+1+13c+132.考点分析法的应用【例2】已知非零向量a,b,且ab,用分析法证明:|a|+|b|a+b|2.思考分析法的证明思路是什么,适用于何种题型?解题心得1.逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.2.证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证.3.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导

5、时,常考虑用分析法.对点训练2(2020陕西临潼期末)证明:(1)6+102+14;(2)如果a,b0,则lga+b2lga+lgb2.考点反证法的应用【例3】设an是公比为q的等比数列.(1)推导an的前n项和公式;(2)设q1,证明:数列an+1不是等比数列.思考证明否定性问题的思路是什么?解题心得对于含有否定概念的命题,直接证明不好证,但问题的反面比较具体易证,一般利用补集法或反证法解答证明.先假设肯定结论成立,然后根据有关的概念、定理、定义、推出与已知、公理、定理等有矛盾,从而说明原命题成立.对点训练3(2020河南新安一高月考)(1)已知x0,y0,且x+y2,求证:1+2yx与1+

6、2xy中至少有一个小于3.(2)当a+b0时,求证:a2+b222(a+b).1.分析法是从结论出发,逆向思维,寻找使结论成立的充分条件.应用分析法要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件.2.证明问题的常用思路:在解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法寻求解题思路,再用综合法表述解答或证明过程.3.用反证法证明问题要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推理;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但推导出的矛盾必须是明显的.7.4直

7、接证明与间接证明必备知识预案自诊知识梳理1.成立充分2.(1)不成立矛盾原命题成立考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.b在证明的过程中使用了平方差公式,以及同角的三角函数的关系式,符合综合法的定义,故证明过程使用了综合法.故选b.3.c首先要作出的假设是“凸四边形的四个内角中没有一个不小于90”,即为“凸四边形的四个内角都小于90”.故选c.4.c根据题意,欲证2-35-6,则需证2+63+5,即只需证(2+6)2(3+5)2.故选c.5.70,272270,即122270,17-12217-270,即(3-22)2(10-7)2,3-222+14,只要证(6+10)2(2+14)2

8、,即260228,显然成立的,所以,原不等式成立.(2)当a0,b0时,要证lga+b2lga+lgb2,只要证lga+b2lgab,因为函数y=lgx在(0,+)上单调递增,即证a+b2ab0,此不等式显然成立,当且仅当a=b时等号成立.所以lga+b2lga+lgb2.例3(1)解设an的前n项和为sn,则当q=1时,sn=a1+a1+a1=na1;当q1时,sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,qsn=a1q+a1q2+a1qn,-得,(1-q)sn=a1-a1qn,sn=a1(1-qn)1-q,sn=na1,q=1,a1(1-qn)1-q,q1.(2)证明假设an+1是等比数列,则对任意的kn*,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),ak+12+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,a12q2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,a10,2qk=qk-1+qk+1.q0,q2-2q+1=0,q=1,这与已知矛盾.假设不成立,故an+1不是等比数列.对点训练3证明(1)(反证法)假设结论不成立,即有1+2yx3,且1+2xy3,由已知x0,y0,所以有1+2y3x,且1+2x3y,故2+2x+2y3x+3y,化简得2x+y,与已知x+y2矛盾,假设