3年高考2年模拟2021版新教材高考数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.3指数函数与对数函数的关系讲义新人教B版必修第二册

1、指数函数与对数函数的关系课标解读课标要求核心素养1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,以及它们的图像间的对称关系.(重点)2.利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异.3.利用指数函数、对数函数的图像性质解决一些简单问题.(难点)1.通过反函数的概念及指数函数与对数函数图像间的关系的学习,培养直观想象的核心素养.2.借助指数函数与对数函数综合应用的学习,提升数学运算、逻辑推理的核心素养.观察下面的变换:y=axx=logayy=logax.问题1:指数函数y=ax的值域与对数函数y=logax的定义域是否相同?答案相同.问题2:指数函数y=ax的定义域与对数函数y=logax

2、的值域相同吗?答案相同.1.反函数的概念与记法(1)反函数的概念:一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有唯一的x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数,此时,称y=f(x)存在反函数.(2)反函数的记法:一般地,函数y=f(x)的反函数通常用y=f-1(x)表示.思考:如何准确理解反函数的定义?什么样的函数存在反函数?提示反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域,反函数也是函数,因为它符合函数的定义.对于任意一个函数y=f(x),不一定总有反函数,只有当一个函数是单调函数时,这个函数才存在反函数.2.指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y

3、=ax与对数函数y=logax互为反函数.(2)指数函数y=ax与对数函数y=logax的图像关于直线y=x对称.探究一求函数的反函数例1求下列函数的反函数.(1)y=13x;(2)y=x2(x0).解析(1)由y=13x,得x=log13y,且y0,所以f-1(x)=log13x(x0).(2)由y=x2得x=y.因为x0,所以x=-y.所以f-1(x)=-x(x0).1.(1)已知函数y=ex的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,则()a.f(2x)=e2x(xr)b.f(2x)=ln2lnx(x0)c.f(2x)=2ex(xr)d.f(2x)=ln2+lnx(x0)(2)求函

4、数y=0.2x+1(x1)的反函数.答案(1)d解析(1)由题意知函数y=ex与函数y=f(x)互为反函数,y=ex0,f(x)=lnx(x0),则f(2x)=ln2x=ln2+lnx(x0).(2)由y=0.2x+1得x=log0.2(y-1),对换x、y得y=log0.2(x-1).原函数中x1,y1.2,反函数的定义域为1.2,+),因此y=0.2x+1(x1)的反函数是y=log0.2(x-1),x1.2,+).探究二指数函数与对数函数图像之间的关系例2(1)已知a0,且a1,则函数y=ax与y=logax的图像只能是()(2)当a1时,函数y=a-x与y=logax在同一平面直角坐标

5、系中的图像是()答案(1)c(2)a解析(1)y=ax与y=logax的单调性一致,故排除a、b;当0a1时,c正确.(2)因为当a1时,01alog21+xk.解析(1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=2x-12x+1.f(x)的定义域为r,关于原点对称.因为f(x)+f(-x)=2x-12x+1+2-x-12-x+1=2x-12x+1+1-2x1+2x=0,所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数.(2)因为f(x)=y=2x-12x+1=1-22x+1,所以2x=1+y1-y(-1y1),所以f-1(x)=log21+x1-x(-1xlog21+xk,即log21+x1-x

6、log21+xk,所以1+x1-x1+xk,-1x1-k,-1x1,所以当0k2时,原不等式的解集为x|1-kx1;当k2时,原不等式的解集为x|-1x1.3.(变结论)本例中的条件不变,判断f-1(x)的单调性,并给出证明.解析f-1(x)为(-1,1)上的增函数.证明:由原题知f-1(x)=log21+x1-x(-1x1).任取x1,x2(-1,1)且x1x2,令t(x)=1+x1-x=-(-x+1)+21-x=-1+21-x,则t(x1)-t(x2)=-1+21-x1-1+21-x2=21-x1-21-x2=2(1-x2)-2(1-x1)(1-x1)(1-x2)=2(x1-x2)(1-x

7、1)(1-x2).因为-1x1x20,1-x20,x1-x20,所以t(x1)-t(x2)0,t(x1)t(x2),所以log2t(x1)log2t(x2),即f-1(x1)0且a1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=()a.log2xb.12xc.log12xd.2x-2答案ay=ax的反函数为f(x)=logax,又f(2)=1,所以1=loga2,所以a=2,所以f(x)=log2x.2.若函数y=f(x)的反函数的图像过点(1,5),则函数y=f(x)的图像必过点()a.(1,1)b.(1,5)c.(5,1)d.(5,5)答案c原函数的图像与它的反函数的图像关于直线y=x对称,因为

8、y=f(x)的反函数的图像过点(1,5),而点(1,5)关于直线y=x的对称点为(5,1),所以函数y=f(x)的图像必过点(5,1).3.若函数y=log3x的定义域为(0,+),则其反函数的值域是()a.(0,+)b.rc.(-,0)d.(0,1)答案a由原函数与反函数的关系知,反函数的值域为原函数的定义域.4.已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图像过点q(5,2),则b=.答案1解析由f-1(x)的图像过点q(5,2),得f(x)的图像过点(2,5),即22+b=5,解得b=1.数学抽象指数函数和对数函数关系的理解和应用设方程2x+x-3=0的根为a,方程

9、log2x+x-3=0的根为b,求a+b的值.素养探究:方程根的问题可以借助图像转化为两个函数的图像的交点问题,进而形象、直观地解决问题,过程中体现数形结合的思想和数学抽象核心素养.解析将两个方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=log2x的图像及直线y=-x+3,如图.由图可知,a是指数函数y=2x的图像与直线y=-x+3的交点a的横坐标,b是对数函数y=log2x的图像与直线y=-x+3的交点b的横坐标.因为函数y=2x与y=log2x互为反函数,所以它们的图像关于直线y=x对称,易知a,b两点也关于直线y=x对称,于是a,b两点的坐标

10、可设为a(a,b),b(b,a).因为点a,b都在直线y=-x+3上,所以b=-a+3(a点坐标代入)或a=-b+3(b点坐标代入),故a+b=3.实数x、y满足x+lnx=8,y+ey=8,求x+y的值.解析由x+lnx=8,得lnx=8-x,由y+ey=8,可得ey=8-y,在同一平面直角坐标系中作出直线y=8-x及函数y=lnx,y=ex的图像,如图所示,联立y=8-x与y=x,解得x=y=4,所以点c的坐标为(4,4),方程x+lnx=8的根可视为直线y=8-x与函数y=lnx图像的交点b的横坐标,方程y+ey=8的根可视为直线y=8-x与函数y=ex图像的交点a的横坐标,由图像可知,

11、点a、b关于直线y=x对称,因此,x+y=8.课时达标训练1.函数y=log3x的反函数是()a.y=log13xb.y=3xc.y=13xd.y=x3答案by=log3x,3y=x,函数y=log3x的反函数是y=3x,故选b.2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0,且a1)的反函数,其图像经过点(a,a),则f(x)=()a.log2xb.log12xc.12xd.x2答案b因为y=ax的反函数为y=logax,且函数f(x)的图像经过点(a,a),所以logaa=a,解得a=12,所以f(x)=log12x.3.(2019山东沂水第一中学高一期中)函数f(x)=log2(3x+1)的

12、反函数y=f-1(x)的定义域为()a.(1,+)b.0,+)c.(0,+)d.1,+)答案cy=f-1(x)的定义域即为其原函数的值域,3x+11,log2(3x+1)0.故选c.4.函数y=ex+1的反函数是()a.y=1+lnx(x0)b.y=1-lnx(x0)c.y=-1-lnx(x0)d.y=-1+lnx(x0)答案d由y=ex+1得x+1=lny,即x=-1+lny,所以所求反函数为y=-1+lnx(x0).故选d.5.已知函数y=f(x)的图像与y=ax(a0,a1)的图像关于直线y=x对称,则下列结论正确的是()a.f(x2)=2f(|x|)b.f(2x)=f(x)f(2)c.

13、f12x=f(x)+f(2)d.f(2x)=2f(x)答案ay=f(x)的图像与y=ax(a0,a1)的图像关于直线y=x对称,则f(x)=logax,f(x2)=logax2=2loga|x|=2f(|x|),a中结论正确;loga(2x)logaxloga2,b中结论错误;loga12xlogax+loga2=loga(2x),c中结论错误;loga(2x)2logax,d中结论错误.故选a.6.已知函数f(x)=1+logax,y=f-1(x)是函数y=f(x)的反函数,若y=f-1(x)的图像过点(2,4),则a的值为.答案4解析因为y=f-1(x)的图像过点(2,4),所以函数y=f

14、(x)的图像过点(4,2),又因为f(x)=1+logax,所以2=1+loga4,即a=4.7.如果函数f(x)=12x的反函数为g(x),那么g(x)的图像一定过点.答案(1,0)解析函数f(x)=12x的反函数为g(x)=log12x,所以g(x)的图像一定过点(1,0).8.已知函数f(x)=log2(x+a)的反函数为y=f-1(x),且f-1(2)=1,则实数a=.答案3解析函数f(x)=log2(x+a)的反函数为y=f-1(x),且f-1(2)=1,则2=log2(1+a),解得a=3.9.(多选)已知函数f(x)=logax(a0,且a1)的图像经过点(4,2),则下列说法中

15、正确的是()a.函数f(x)为增函数b.函数f(x)为偶函数c.若x1,则f(x)0d.函数f(x)的反函数为g(x)=2x答案acd由题意得2=loga4,解得a=2,故f(x)=log2x,则f(x)为增函数且为非奇非偶函数,故a正确,b错误.当x1时,f(x)=log2xlog21=0成立,故c正确.f(x)=log2x的反函数为g(x)=2x,故d正确.故选acd.10.将函数y=2x的图像,再作关于直线y=x对称的图像,可得到函数y=log2(x+1)的图像.()a.先向上平移一个单位长度b.先向右平移一个单位长度c.先向左平移一个单位长度d.先向下平移一个单位长度答案d将函数y=2

16、x的图像向下平移一个单位长度得到y=2x-1的图像,再作关于直线y=x对称的图像即可得到函数y=log2(x+1)的图像.故选d.11.函数y=loga(2x-3)+22过定点,函数y=log2x的反函数是.答案2,22;y=(2)x解析对数函数y=logax过定点(1,0),函数y=loga(2x-3)+22过定点2,22.函数y=log2x的反函数是y=(2)x.12.若函数f(x)=logax(a0,且a1)满足f(27)=3,则f-1(log92)=.答案2解析f(27)=3,loga27=3,解得a=3.f(x)=log3x,f-1(x)=3x,f-1(log92)=3log92=3log32=2.13.已知f(x)=loga(ax-1)(a0,且a1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的单调性;(3)解方程f(2x)=f-1(x).解析(1)要使函数有意义,必须满足ax-10,当a1时,x0;当0a1时,x