3年高考2年模拟2021版新教材高考数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算讲义新人教B版必修第二册

1、4.1.1实数指数幂及其运算课标解读课标要求核心素养1.理解n次方根及根式的概念.2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.(重点)3.掌握根式与分数指数幂的互化.(重点、易错点)4.掌握有理指数幂的运算性质.(重点、难点)1.通过根式与分数指数幂互化的学习,培养数学运算的核心素养.2.通过利用指数式的条件解决求值问题,提升逻辑推理的核心素养.公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希帕索斯思考了一个问题:边长为1的正方形的对角线的长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数表示,也不能用分数表示,希帕索斯的发现使数学史上第一个无理数2诞生了.问题:若x2=3,则这样

2、的x有几个?它们叫做3的什么?如何表示?答案这样的x有2个,它们都称为3的平方根,记作3.1.有关幂的概念一般地,an中的a称为底数,n称为指数.2.根式的相关概念和性质(1)根式的概念:一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得xn=a,则x称为a的n次方根;当na有意义的时候,na称为根式,n称为根指数,a称为被开方数.(2)根式的性质:(i)(na)n=a.(ii)nan=a,n为奇数,|a|,n为偶数.思考1:类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个?当n为奇数时呢?提示a为正数:n为奇数时,a的n次方根有一个,为na,n为偶数时,a的n次方根有

3、两个,为na.a为负数:n为奇数时,a的n次方根只有一个,为na,n为偶数时,a的n次方根在实数范围内无意义.零的n次方根为零,记为n0=0.3.分数指数幂(1)定义:一般地,如果n是正整数,那么:当na有意义时,规定a1n=na;当na没有意义时,称a1n没有意义.(2)意义:分数指数幂正分数指数幂a1n=na(a0),amn=(na)m=nama0,m,nn*,且mn为既约分数负分数指数幂a-s=1as(as有意义且a0)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(3)运算法则:(i)前提:s,t为任意有理数.(ii)法则:asat=as+t;(as)t=ast;(ab

4、)s=asbs.思考2:分数指数幂的运算性质是什么?提示分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样.记忆分数指数幂的运算性质的口诀:乘相加,除相减,幂相乘.4.实数指数幂一般地,无理指数幂at(a0,t是无理数)是一个确定的实数,有理指数幂的运算性质对于无理指数幂同样适用.因此当a0,t为任意实数时,实数指数幂at都有意义,对任意实数s和t,类似有理指数幂的运算法则仍然成立.探究一n次方根的化简与求值例1(易错题)化简:(1)4(3-)4;(2)(a-1)2+(1-a)2+3(1-a)3(a-10).解析(1)4(3-)4=|3-|=-3.(2)原式=a-1+|1-a|+1-a=

5、a-1+a-1+1-a=a-1.易错点拨n的奇偶性a的n次方根的表示a的取值范围n为奇数naarn为偶数na0,+)1.已知-3x3,求x2-2x+1-x2+6x+9的值.解析原式=(x-1)2-(x+3)2=|x-1|-|x+3|,-3x3,当-3x1时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;当1x3时,原式=x-1-(x+3)=-4,原式=-2x-2,-3x1,-4,1x0)b.6y2=y13(y0)d.x-13=-3x(x0)(2)用指数幂的形式表示y2xx3y(x0,y0).答案(1)c解析(1)a选项,-x=-x12(x0);b选项,6y2=(y2)16=-y13(y0);d选

6、项,x-13=31x(x0).故c正确.(2)解法一:由里向外化为分数指数幂.y2xx3y=y2xx3y12=y2xx32y-1212=x14y34.解法二:由外向里化为分数指数幂.y2xx3y=y2xx3y12=y2xx3y1212=y2x12x3y14=x14y34.思维突破(1)记结论:amn=nam和a-mn=1amn=1nam(a0).(2)明途径:一是由里向外化为分数指数幂;二是由外向里化为分数指数幂.2.化简:(1)aa(a0);(2)(2a23b12)(-6a12b13)(-3a16b56).解析(1)aa=aa12=a32=(a32)12=a34.(2)原式=2(-6)(-3

7、)a23+12-16b12+13-56=4ab0=4a.探究三指数幂的化简与求值例3已知x+x-1=3,求x2+x-2的值.解析(x+x-1)2=x2+x-2+2,x2+x-2=(x+x-1)2-2=9-2=7.思维突破式子中包含的指数互为相反数时,通常用平方法进行解决,平方后观察条件和结论的关系,变形求解即可.3.(1)(变结论)已知x+x-1=3,求x2-x-2的值.(2)(变条件)已知x-x-1=3,求x2+x-2的值.解析(1)由例3知x2+x-2=7,x4+x-4=47,(x2-x-2)2=x4-2+x-4=45,即x2-x-2=35.(2)(x-x-1)2=x2+x-2-2=9,x

8、2+x-2=11.1.下列各式正确的是()a.(-3)2=-3b.4a4=ac.(3-2)3=-2d.3(-2)3=2答案c2.已知a0,则a3a2=()a.a12b.a32c.a23d.a13答案d3a2=a23,则a3a2=aa23=a1-23=a13.故选d.3.化简(a3b12)12(a12b14)(a0,b0)结果为()a.ab.bc.abd.ba答案a原式=a32b14(a12b14)=a32-12b14-14=a.故选a.4.化简:416x8y4(x0,y0)=.答案2x2y解析x0,y0,416x8y4=424x8y4=(24x8y4)14=2x2y.5.若10m=2,10n=

9、3,则103m-n=.答案83解析由已知得103m=(10m)3=23=8,103m-n=103m10n=83.逻辑推理指数运算与均值不等式的应用已知a0,b0,若2a2b=2,则ab的最大值是.审:由指数运算法则以及2a2b=2,可得a+b=1,再根据均值不等式aba+b22,当且仅当a=b时取得最大值得出答案.联:求积的最值,会联想到基本不等式,那就需要和为常数,这个和刚好由指数运算求得.解:函数g(x)=2x,且有g(a)g(b)=2,2=2a2b=2a+b,a+b=1,a0且b0,aba+b22=14,当且仅当a=b=12时,ab取得最大值14.思:从已知条件中解出字母的值,然后代入求

10、值,这种方法一般是不可取的,应设法从整体寻求结果与条件的联系,进而整体代入求值,体现了数据分析、逻辑推理的核心素养.设xr且x0,若x+x-1=3,猜想x2n+x-2n(nn*)的个位数字是()a.2b.5c.6d.7答案dx+x-1=3,当n=1时,x2+x-2=(x+x-1)2-2=32-2=7,当n=2时,x4+x-4=(x2+x-2)2-2=72-2=47,当n=3时,x8+x-8=(x4+x-4)2-2=472-2=2207,则x2n+x-2n(nn*)的个位数字是7.课时达标训练1.计算:12-1+823+(2019)0=()a.6b.7c.8d.32答案b2.下列各式正确的是()

11、a.8a8=ab.a0=1c.4(-4)4=-4d.5(-)5=-答案d对于a,当a为负数时等式不成立,故不正确;对于b,当a=0时,a0无意义,故不正确;对于c,4(-4)4=4,故不正确.故选d.3.若(3-2x)-34有意义,则实数x的取值范围是()a.(-,+)b.-,3232,+c.-,32d.32,+答案c要使(3-2x)-34=14(3-2x)3有意义,需使3-2x0,解得x0)用分数指数幂表示为.答案x56解析x3x2=(xx23)12=x12x2312=x12x13=x12+13=x56.7.化简:(1)0+2-29412=;(2)(36a9)4(63a9)4(a0)=.答案

12、(1)118(2)a4解析(1)0+2-221412=1+149412=1+1432=118.(2)(36a9)4(63a9)4=(3a96)4(6a3)4=(a963)4(a36)4=a2a2=a4.8.已知2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y=.答案27解析由2x=8y+1得2x=23y+3,所以x=3y+3,由9y=3x-9得32y=3x-9,所以2y=x-9,由解得x=21,y=6,所以x+y=27.9.计算下列各式的值:(1)(8)-23(3102)92105;(2)2(323)6+(22)43-41649-12-4280.25+(-2019)0.解析(1)原式=(232)-23

13、(1023)921052=2-110310-52=2-11012=102.(2)原式=2(213312)6+(212214)43-474-214234+1=22233+2-7-2+1=210.10.(多选)下列各式中正确的是()a.nm7=n7m17b.12(-3)4=33c.4x3+y3=(x+y)34d.39=33答案bdnm7=n7m-7,a错误;12(-3)4=313=33,b正确;4x3+y3=(x3+y3)14,c错误;39=(913)12=(912)13=33,d正确.故选bd.11.x=1+2b,y=1+2-b,则y=()a.x+1x-1b.x-1xc.x-1x+1d.xx-1

14、答案dx=1+2b,2b=x-1.y=1+2-b=1+12b=2b+12b=xx-1.12.化简(1+2-132)(1+2-116)(1+2-18)(1+2-14)(1+2-12)的结果是()a.(1-2-132)-1b.12(1-2-132)-1c.1-2-132d.12(1-2-132)答案b因为(1+2-132)(1-2-132)=1-2-116,故将原式化为分数形式,并且分子、分母同乘(1-2-132),得原式=(1-2-12)(1+2-12)1-2-132=1-2-11-2-132=12(1-2-132)-1.故选b.13.已知实数x满足x2-3x+1=0,则x2+x-2=;x32-

15、x-32x12-x-12=.答案7;4解析因为实数x满足x2-3x+1=0,所以x2+1=3x,即x+x-1=3,两边平方,得x2+x-2+2=9,所以x2+x-2=7.又x32-x-32x12-x-12=(x12)3-(x-12)3x12-x-12=(x12-x-12)(x+1+x-1)x12-x-12=x+x-1+1=4.14.若x0,y0,且x-xy-2y=0,求2x-xyy+2xy的值.解析x-xy-2y=0,x0,y0,(x)2-xy-2(y)2=0,(x+y)(x-2y)=0,由x0,y0得x+y0,x-2y=0,x=4y,2x-xyy+2xy=8y-2yy+4y=65.15.若a,b,c为正实数,ax=by=cz,1x+1y+1z=0,则abc=.答案1解析设ax=by=cz=k,则k0,则a=k1x,b=k1y,c