2022高考数学一轮复习第十一章概率11.3几何概型学案文含解析新人教A版

1、11.3几何概型必备知识预案自诊知识梳理1.几何概型(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.(2)特点无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;等可能性:每个结果的发生具有等可能性.(3)公式:p(a)=.2.随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.(2)用计算机或计算器模拟试验的方法的基本步骤是:用计算机或计算器产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;统计代表某意义的随机数的个数m和总的随机数个数n;计算频率fn(a

2、)=mn作为所求概率的近似值.几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型,其基本事件只与一个连续的变量有关.(2)与面积有关的几何概型,其基本事件与两个连续的变量有关,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题.(3)与体积有关的几何概型,可借助空间几何体的体积公式解答问题.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)在几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等.()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()(

3、3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.()(4)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的.()(5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()2.某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,则他等待的时间不多于15分钟的概率为()a.13b.14c.15d.163.(2020陕西安康高三三模)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线,将它分成4个小三角形,去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案,若向该图案

4、随机投一点,则该点落在黑色部分的概率是()a.716b.916c.35d.124.(2020四川仁寿高三诊断)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为()a.481b.81-481c.127d.8275.如图,在边长为1的正方形内有不规则图形,由电脑随机从正方形中抽取10 000个点,若落在图形内和图形外的点分别为3 335,6 665,则图形面积的估计值为.关键能力学案突破考点与长度、角度有关的几何概型【例1】(1)(2020广西壮族自治区高三模拟)在区间-1,1上随机取一个数k,使直线

5、y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为()a.12b.13c.24d.23(2)如图,四边形abcd为矩形,ab=3,bc=1,以a为圆心,1为半径作四分之一个圆弧de,在dab内任作射线ap,则射线ap与线段bc有公共点的概率为.解题心得解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.(1)当考察对象为点,点的活动范围在线段上时用线段长度之比计算;(2)当考察对象为线时,一般用角度之比计算.对点训练1(1)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:508:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:509:30之间

6、随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为()a.15b.14c.13d.12(2)如图所示,在平面直角坐标系内,射线ot落在30角的终边上,任作一条射线oa,则射线oa落在yot内的概率为.考点与面积、体积有关的几何概型【例2】(1)(2020山东潍坊高三检测)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,是由七块板组成的.而这七块板可拼成许多图形,例如三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等,若用七巧板拼成一只雄鸡,在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为()a.14b.17c.18d.116(2)(2020河南南阳高三模拟)灯笼是传统的照明工具,在传统

7、节日各家庭院中挂上各种彩灯更显得吉祥喜庆,某庭院挂着一盏表面积为4平方分米的西瓜灯(看成球),灯笼中蜡烛的灯焰可以近似看成底面半径为2厘米,高为4厘米的圆锥,现向该灯笼内任取一点,则该点取自灯焰内的概率为()a.0.004b.0.012c.0.024d.0.036解题心得求与面积、体积有关的几何概型的基本思路:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件a对应的区域,在图形中画出事件a对应的区域,然后用公式p(a)=构成事件a的区域面积(或体积)试验的全部结果所组成的区域面积(或体积)求出概率.对点训练2(1)(2020江西南昌二中高三月考)如图是折扇的示意图,a为o

8、b的中点,若在整个扇形区域内随机取一点,则此点取自扇面(扇环)部分的概率是()a.14b.12c.58d.34(2)已知在四棱锥p-abcd中,pa底面abcd,底面abcd是正方形,pa=ab=2,现在该四棱锥内部或侧面任取一点o,则四棱锥o-abcd的体积不小于23的概率为.考点与线性规划有关的几何概型【例3】(2020湖南衡阳八中高三月考)若不等式组x+2y-30,2x-y+40,y0表示的区域为,不等式x2+y2-2x-2y+10表示的区域为t,则在区域内任取一点,则此点落在区域t中的概率为()a.4b.8c.5d.10解题心得几何概型与线性规划的交汇问题:先根据约束条件作出可行域,再

9、确定形状,求面积大小,进而代入公式求概率.对点训练3两位同学约定下午5:306:00在图书馆见面,且他们在5:306:00之间到达的时刻是等可能的,先到的同学需等待,15分钟后还未见面便离开,则两位同学能够见面的概率是()a.1136b.14c.12d.34考点随机模拟方法【例4】从区间0,1随机抽取2n个数x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()a.4nmb.2nmc.4mnd.2mn解题心得将看作未知数表示出四分之一的圆面积,根据几何概型的概率公式,四分

10、之一的圆面积与正方形面积之比等于m与n之比,从而用m,n表示出的近似值.对点训练4(2020湖北金字三角高三线上联考)“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在九章算术注中提出割圆术,并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3 072边形,并由此求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为0.826 9,那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为()(参考数据:30.82692.094 6)

11、a.3.141 9b.3.141 7c.3.141 5d.3.141 311.3几何概型必备知识预案自诊知识梳理1.(1)长度(3)构成事件a的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.b电台整点报时,事件总数包含的时间长度是60,满足他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15,由几何概型公式得到p=1560=14,故选b.3.b由图可知,黑色部分由9个小三角形组成,该图案由16个小三角形组成,设“向该图案随机投一点,则该点落在黑色部分”为事件a,由几何概型中的面积型可得:p(a)=9s小三角形16s小三角形=91

12、6.4.c由题知蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心且棱长为1的正方体内.这个小正方体的体积为1,大正方体的体积为27,故安全飞行的概率为127.5.13设图形的面积为s,由电脑随机从正方形中抽取10000个点,落在图形内和图形外的点分别为3335,6665,s1=33351000013,s13.关键能力学案突破例1(1)c(2)13(1)因为圆心(0,0),半径r=1,直线与圆相交,所以圆心到直线y=k(x+3)的距离d=|3k|1+k21,解得-24k24,所以所求的概率为222=24,故选c.(2)连接ac,如图所示,tancab=cbab=13=33,所以cab=6,直线ap在

13、cab内时,直线ap与线段bc有公共点,所以所求事件的概率为62=13.对点训练1(1)b(2)16(1)由题意可知,第二节课的上课时间为8:409:20,时长40分钟.若听第二节课的时间不少于20分钟,则需在8:509:00之间到达教室,时长10分钟.所以听第二节课的时间不少于20分钟的概率为1040=14,故选b.(2)因为射线oa在坐标系内是等可能分布的,所以射线oa落在yot内的概率为60360=16.例2(1)c(2)a(1)设包含7块板的正方形边长为4,其面积为44=16.则雄鸡的鸡尾面积为标号为6的板块,其面积为s=21=2.所以在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴

14、影部分)的概率为216=18.(2)设该灯笼的半径为r,则4r2=4,解得r=1(分米),所以该灯笼的体积v=4133=43(立方分米)=40003(立方厘米),该灯笼内的灯焰的体积v1=13224=163(立方厘米),所以该点取自灯焰内的概率为v1v=16340003=0.004.对点训练2(1)d(2)2764(1)设扇形的圆心角为,大扇形的半径长为r,小扇形的半径长为r,则s大扇形=2r2,s小扇形=2r2,r=2r.根据几何概型,可得此点取自扇面(扇环)部分的概率为2r2-2r22r2=r2-r2r2=3r24r2=34.(2)当四棱锥o-abcd的体积为23时,设o到平面abcd的距

15、离为h,则1322h=23,解得h=12.如图所示,在四棱锥p-abcd内作平面efgh平行于底面abcd,且平面efgh与底面abcd的距离为12.因为pa底面abcd,且pa=2,所以phpa=34,所以四棱锥o-abcd的体积不小于23的概率为v四棱锥p-efghv四棱锥p-abcd=phpa3=343=2764.例3d作出不等式组x+2y-30,2x-y+40,y0表示的区域,不等式x2+y2-2x-2y+10化为(x-1)2+(y-1)21,它表示的区域为t,如图所示:则区域表示abc,由2x-y+4=0,x+2y-3=0,解得点b(-1,2).又a(-2,0),c(3,0),sab

16、c=12(3+2)2=5,又区域t表示圆面,且圆心m(1,1)在直线x+2y-3=0上,在abc内的面积为1212=2,所求的概率为25=10.对点训练3d因涉及两人见面时间,故考虑到是几何概型,建立平面直角坐标系列出满足条件的式子,计算出最终的概率.因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数(甲、乙各自到达的时刻)组成;以5:30作为时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系:设甲、乙各在第x分钟和第y分钟到达,则样本空间为=(x,y)|0x30,0y30,画成图为一正方形;会面的充要条件为|x-y|15,即事件a可以会面所对应的区域是图中的阴影部分,故由几何概型公式知所求概率为面积之比,

17、即p(a)=302-152302=34,故选d.例4c如图,两数的平方和小于1的数对所在的区域为图中阴影部分(不含边界),n个数对所在的区域为边长为1的正方形.由题意利用几何概型可知,14s圆s正方形=141212mn,所以4mn.故选c.对点训练4a设圆的半径为r,则圆的面积为r2,正六边形的面积为612r32r=332r2,因而所求该实验的频率为332r2r2=332=0.8269,则=3320.82693.1419.高考大题专项(六)概率与统计例1解(1)根据中位数的定义知,甲班同学身高的中位数是170+1682=169(cm),乙班同学身高的中位数是170+1732=171.5(cm)

18、.根据平均数的公式,计算甲班的平均数x甲=110(158+162+163+168+168+170+171+179+179+182)=170(cm),甲班样本的方差s甲2=110(158-170)2+(162-170)2+(182-170)2=57.2.(2)设“身高为176cm的同学被抽中”为事件a.从乙班10名同学中抽取2名身高不低于173cm的同学有(181,173),(181,176),(181,178),(181,179),(179,173),(179,176),(179,178),(178,173),(178,176),(176,173),共10个基本事件,而事件a含有4个基本事件,

19、所以p(a)=410=25.对点训练1解(1)甲厂这批轮胎宽度的平均值为x甲=110(195+194+196+193+194+197+196+195+193+197)=195(mm),乙厂这批轮胎宽度的平均值为x乙=110(195+196+193+192+195+194+195+192+195+193)=194(mm).(2)甲厂这批轮胎宽度在194,196内的数据为195,194,196,194,196,195,平均数为x1=16(195+194+196+194+196+195)=195(mm),方差为s12=16(195-195)2+(194-195)2+(196-195)2+(194-1

20、95)2+(196-195)2+(195-195)2=23,乙厂这批轮胎宽度在194,196内的数据为195,196,195,194,195,195,平均数为x2=16(195+196+195+194+195+195)=195(mm),方差为s22=16(195-195)2+(196-195)2+(195-195)2+(194-195)2+(195-195)2+(195-195)2=13,两厂标准轮胎宽度的平均数相等,但乙厂的方差更小,乙厂的轮胎相对更好.例2解(1)由题意,设这两天发芽的种子数分别为m,n,m、n的所有取值有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(2

21、5,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共有10个,设“m、n均不小于25”为事件a,则事件a包含的基本事件有(25,30),(25,26),(30,26),所以p(a)=310,故从这5天中任选2天,发芽的种子数均不小于25的概率为310.(2)由数据得x=12,y=27,xy=972,3x2=432.又i=13xiyi=977,i=13xi2=434.b=977-972434-432=52,a=27-5212=-3,y关于x的线性回归方程为y=52x-3.(3)当x=10时,y=5210-3=22,|22-23|2,当x=8时,y=528

22、-3=17,|17-16|2.所得到的线性回归方程是可靠的.对点训练2解(1)依题意,n=6,b=i=16(xi-x)(yi-y)i=16(xi-x)2=557846.6,a33-6.626=-138.6,y关于x的线性回归方程为y=6.6x-138.6.(2)利用所给数据,i=16(yi-yi)2=236.64,i=16(yi-y)2=3 930,得线性回归方程y=6.6x-138.6的相关指数r2=1-i=16(yi-yi)2i=16(yi-y)2=1-236.6439301-0.060 2=0.939 8.0.939 80.952 2,回归方程y=0.06e0.230 3x比线性回归方程

23、y=6.6x-138.6拟合效果更好.由得温度x=35 时,y=0.06e0.230 335=0.06e8.060 5.e8.060 53 167,y0.063 167190(个),即当温度x=35 时,该种药用昆虫的产卵数估计为190个.例3解(1)因为前三组的频率之和10(0.002+0.009+0.020)=0.310.5,所以中位数在第四组,设为x毫克,由(x-195)0.034+0.31=0.5,解得x201.故乙流水线样本质量的中位数为201毫克.(2)甲流水线样本中质量在(165,185的产品共有5件,其中合格品有2件,设为a,b;不合格品3件,设为a,b,c,从中任取2件的所有

24、取法有(a,b),(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(a,b),(a,c),(b,c)共10种,恰有一件合格品的取法有(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c)共6种,所以两件产品中恰有一件合格品的概率为p=610=35.(3)由乙流水线样本的频率分布直方图可知,合格品的个数为100(1-0.04)=96,所以,22列联表是:是否为合格品甲流水线乙流水线总计合格品9296188不合格品8412总计100100200所以k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200(924-968)2100100188121.4186.6