3年高考2年模拟2021版新教材高考数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第2课时基本不等式的应用课件新人教A版必修第一册

1、第二章一元二次函数、方程和不等式第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式基本不等式第第2课时基本不等式的应用课时基本不等式的应用基本不等式与最大(小)值两个正数的和为常数时,它们的积有最大值;两个正数的积为常数时,它们的和有最小值.(1)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值s,那么当 时,积xy有最大值 .(2)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值p,那么当 时,和x+y有最小值 .x=y教材研读教材研读x=y思考1:x+的最小值是2吗?1x提示提示不是.只有当x0时,x+的最小值才是2.1x思考2:已知x,y为正数,且+=1,求x+y的最小值.下面是某位同学的解题过程:解:因为

2、x0,y0,所以1=+2=,所以4,从而x+y224=8.故x+y的最小值为8.请判断这位同学的解法是否正确,并说明理由.1x4y1x4y2xy4xyxyxy提示提示这位同学的解法是错误的.理由如下:解题过程中连续两次使用基本不等式,但这两个不等式中的等号不能同时成立.第一个不等式当且仅当=,即x=2,y=8时,等号成立;第二个不等式当且仅当x=y时,等号成立,因此x+y的最小值不能等于8.正确解法:x0,y0,+=1,x+y=(x+y)=1+4=+52+5=9,当且仅当即x=3,y=6时,等号成立.故x+y的最小值为9.1x4y121x4y14xyyx4xyyx4xy4yxxy141,4,x

3、yyxxy探究一利用基本不等式求最值探究一利用基本不等式求最值例例1(1)已知m,n0,且m+n=16,求mn的最大值;(2)已知x3,求x+的最小值.4-3x解析解析(1)m,n0,且m+n=16,由基本不等式可得mn=64,当且仅当m=n=8时,等号成立,mn的最大值为64.(2)x3,x-30,0,于是x+=x-3+32+3=7,当且仅当x-3=,即x=5时,等号成立,故x+的最小值为7.22mn21624-3x4-3x4-3x4( -3)-3xx4-3x4-3x思维突破思维突破1.利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则求解.(1)一正:符合基本不等式成立的前提条件:

4、a0,b0.(2)二定:不等式的一边转换为定值.(3)三相等:必须存在取等号的条件,即等号成立.以上三点缺一不可.2abab2.若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式.跟踪训练跟踪训练1.(1)若x2,求+x的最小值;(3)已知0 x,求x(1-2x)的最大值.12x1-2x1212解析解析(1)因为x2,所以x-20,+x=+x-2+22+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时等号成立,所以+x的最小值为4.(3)因为0 x0,x(1-2x)=2x(1-2x)=,当且仅当2x=1-2x,即x=时等号成

5、立,所以x(1-2x)的最大值为.12x12-(-3 ) xx12-(-3 )xx12x12x1-2x1-2x1( -2)-2xx1-2x1-2x1212141422(1-2 )2xx1161412116探究二利用基本不等式解决实际问题探究二利用基本不等式解决实际问题例例2某汽车公司购买了4辆大客车,每辆200万元,用于长途客运,预计每辆车每年收入约100万元,每辆车第一年的各种费用约为16万元,且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元.(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(xn*)的函数关系式;(2)这4辆车运营多少年可使年平均运营利润最大? 解析解析(1)依题意,每辆

6、车运营x年的总收入为100 x万元,总支出为200+16(1+2+x)=200+x(x+1)16万元,y=4=16(-2x2+23x-50).(2)年平均运营利润为=16=16.xn*,x+2=10,当且仅当x=5时,等号成立,此时16(23-20)=48.运营5年可使年平均运营利润最大,最大运营利润为48万元.121100 -200-(1) 162xx xyx5023-2 - xx2523-2 xx25x25xxyx思维突破思维突破在应用基本不等式解决实际问题时,应注意的思路和方法:(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为因变量;(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大

7、值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)根据实际背景写出答案.跟踪训练跟踪训练2.2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射,它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品,甲工厂承担了某种产品的生产,当其以x千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1x10),每小时可消耗a材料(kx2+9)千克,已知每小时生产1千克该产品时,消耗a材料10千克.如果消耗a材料的总重量为y千克,那么要使生产1 000千克该产品消耗a材料最少,工厂应选取何种生产速度?并求出此时消耗的a材料的重量的

8、最小值.解析解析由题意,得k+9=10,即k=1,生产1 000千克该产品需要的时间是,所以生产1 000千克该产品消耗的a材料的重量y=(x2+9)=1 0001 0002=6 000,1x10,当且仅当x=,即x=3时,等号成立,故工厂应选取3千克/时的生产速度,此时消耗的a材料最少,为6 000千克.1 000 x1 000 x9xx99x探究三基本不等式的综合应用探究三基本不等式的综合应用例例3(1)设x0,y0,且+=1,求2x+y的最小值;(2)已知a0,b0,若不等式+恒成立,求实数m的最大值.1x1y2a1b2mab解析解析(1)x0,y0,+=1,2x+y=(2x+y)=3+

9、3+2=3+2,当且仅当=,即y=x时,等号成立,2x+y的最小值为3+2.(2)因为a0,b0,所以2a+b0,所以要使+恒成立,只需m(2a+b)恒成立,因为(2a+b)=4+15+4=9,当且仅当a=b时,等号成立,所以m9.故实数m的最大值为9.1x1y11xyyx2xy2yxxy2yx2xy222a1b2mab21ab21ab2ab2ba思维突破思维突破(1)应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”,创造应用基本不等式及使等号成立的条件.当连续应用基本不等式时,要注意各不等式取等号时的条件一致,否则不能求出最值.特别注意“1”的代换.(2)若是已知不等式,则需将字母参数

10、分离出来,转换为求函数式的最值.求函数式的最值时,可能用到基本不等式.变式训练变式训练3.(1)(变条件)把例3(1)中的条件变为x0,y0,且2x+8y=xy,求2x+y的最小值;(2)(变条件)把例3(2)中的条件变为abc,且+恒成立,求实数m的最大值.1-a b1-b c-ma c解析解析(1)由2x+8y=xy及x0,y0,得+=1,2x+y=(2x+y)=+182+18=8+18,当且仅当=,即x=y时等号成立.2x+y的最小值是18+8.(2)由abc知a-b0,b-c0,a-c0,原不等式等价于+m,要使不等式恒成立,只需+的最小值不小于m即可.8x2y82xy8yx4xy84

11、yxxy28yx4xy22-a ca b-a cb c-a ca b-a cb c+=+=2+2+2=4,当且仅当=,即2b=a+c时,等号成立.m4,即m的最大值为4.-a ca b-a cb c( - )( - )-a bb ca b( - )( - )-a bb cb c-b ca b-a bb c-b c a ba b b c-b ca b-a bb c1.若正实数a、b满足a+b=2,则ab的最大值为()a.1 b.2 c.2 d.42解析解析 因为a,b为正实数,a+b=2,所以由基本不等式得,ab=1,当且仅当a=b时,等号成立.22aba课堂检测课堂检测2.设x0,则3-3x-

12、的最大值是()a.3 b.3-2 c.-1 d.3-2 1x23解析解析 x0,3x+2=2,当且仅当x=时取等号,-2,则3-3x-3-2,则3-3x-的最大值是3-2.故选d.1x13xx33313xx31x31x3 d3.下列等式中最小值为4的是()a.y=x+ b.y=2t+c.y=4t+(t0) d.y=t+ 4x1t1t1t解析解析 a中,当x=-1时,y=-54;b中,当t=-1时,y=-30,y=4t+2=4,当且仅当t=时等号成立;d中,t=-1时,y=-20,b0,a+b=2,则y=+的最小值是()a. b.4 c. d.51a4b7292解析解析 a+b=2,=1.又a0

13、,b0,+=+2=当且仅当=,a+b=2,即a=,b=时,等号成立.故y=+的最小值为.2ab1a4b14ab2ab5222abba5222abba922ab2ba23431a4b92c5.已知x0,求y=的最大值.221xx 解析解析 y=.x0,x+2=2,y=1,当且仅当x=,即x=1时等号成立.故y=的最大值为1.221xx 21xx1x1xx221x221xx 逻辑推理利用基本不等式求最值问题在1=+等号右侧两个分数的分母方框处,各填上一个正整数,并且使这两个正整数的和最小,试求这两个正整数.素养探究:解决探究性试题要根据题设条件,恰当地联系相关知识(如利用基本不等式求最值时应构造应用基本不等式的条件),多方位进行探究,探索,寻求解题的思路,解题过程中体现逻辑推理核心素养.19素养演练素养演练解析解析设+=1,a,bn*,则a+b=(a+b)1=(a+b)=1+9+10+2=10+23=16,当且仅当=,即b=3a时等号成立.又+=1,+=1,a=4,b=12.这两个数分别是4,12.1a9b19a