3年高考2年模拟2021版新教材高考数学第二章一元二次函数方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程不等式第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修第一册

1、第二章一元二次函数、方程和不等式第二章一元二次函数、方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式第1课时一元二次不等式的解法已知一元二次函数y=x2-2x,一元二次方程x2-2x=0,一元二次不等式x2-2x0. 问题1:试写出一元二次函数的图象与x轴的交点坐标. 答案答案(0,0),(2,0). 问题2:一元二次方程的根是什么? 答案答案 x1=0,x2=2.情境导学情境导学问题3:问题1中的交点坐标与问题2中的根有何内在联系?答案答案交点的横坐标为方程的根.问题4:观察二次函数图象,当x满足什么条件时,图象在x轴的上方?答案答案 x2或x0,x2-2x2或x0,x|0 x0或ax2+b

2、x+c0是一元二次不等式吗?提示提示此不等式中含有两个变量,根据一元二次不等式的定义,可知不是一元二次不等式.3.一元二次不等式的解与解集一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的 .解集4.三个三个“二次二次”的关系的关系设y=ax2+bx+c(a0),方程ax2+bx+c=0的判别式=b2-4ac判别式0=00或y0的步骤求方程y=0的解有两个不相等的实数根x1,x2(x10)的图象得不等式的解集y0y0_b2ax|xx2 r x|x1x0的解集为r,则实数a应满足什么条件?提示提示结合二次函数的图象可知,若一

3、元二次不等式ax2+x-10的解集为r,则此不等式组无解,所以不存在a使不等式ax2+x-10的解集为r.0,140,aa特别提醒特别提醒一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.探究一一元二次不等式的解法探究一一元二次不等式的解法例例1解下列不等式:(1)2x2+5x-30;(3)-x2+6x-100.解析解析(1)易知方程2x2+5x-3=0的两个实根分别为x1=-3,x2=,作出函数y=2x2+5x-3的图象,如图.由图可得原不等式的解集为.图(2)易知方程4x2-4x+1=0有两个相等的实根x1=x2=.作出函

4、数y=4x2-4x+1的图121-32xx12象,如图.由图可得原不等式的解集为.图(3)原不等式可化为x2-6x+100,=36-40=-40;(2)-4x2+18x-0;(3)-2x2+3x-20,所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实根x1=-3,x2=-.又二次函数y=2x2+7x+3的图象开口向上,所以原不等式的解集为.(2)原不等式可化为0,所以原不等式的解集为.(3)原不等式可化为2x2-3x+20,因为=9-422=-70;(2)设mr,解关于x的不等式m2x2+2mx-30.解析解析(1)由题意得,=a2-16,下面分情况讨论:当0,即-4a4或a-4时,原不等式的解集为;

5、当a=4时,原不等式的解集为x|xr,且x-1.142-16a142-16a2211(- -16)(-16)44x xaaxaa或综上,当-4a4或a-4时,解集为;当a=-4时,解集为x|xr,且x1;当a=4时,解集为x|xr,且x-1.(2)当m=0时,-30时,不等式等价于(mx+3)(mx-1)0,即0,解得-x.当m0时,不等式等价于0,解得x0时,解集为;当m0时,解集为.31-xxmm13-xxmm思维突破思维突破 解含参数的一元二次不等式的步骤 特别提醒:求解方程的根时优先考虑用因式分解的方法确定,分解不开时再求判别式,用求根公式计算.跟踪训练跟踪训练2.设ar,解关于x的不

6、等式x2+(1-a)x-a0.解析解析易知方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a,且函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,则当a-1时,原不等式的解集为x|ax-1时,原不等式的解集为x|-1xa.探究三三个探究三三个“二次二次”的关系及应用的关系及应用例例3若不等式ax2+bx+c0的解集是,求不等式cx2+bx+a0的解集.1-23xx解析解析由ax2+bx+c0的解集为,知a0.又-,2为方程ax2+bx+c=0的两个根,-=,=-,b=-a,c=-a.则不等式cx2+bx+a0等价于-ax2+x+a0,又a0,2x2+5x-30.解方程2x2+5x-3=0,得

7、x1=-3,x2=,所求不等式的解集为.1-23xx13ba53ca235323235-3a121-32xx易错点拨易错点拨三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中,二次函数是主体,讨论二次函数时主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式时,要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图象及性质来解决问题,三者关系如下:特别提醒:容易由于忽视二次项系数的符号和不等号的方向而写错不等式的解集形式.跟踪训练跟踪训练3.已知关于x的不等式x2+ax+b0的解集为x|1x0的解集.解析解析x2+ax+b0的解集为x|1x0,解得x1.bx2+a

8、x+10的解集为.-12,1 2,ab -3,2,ab12112x xx或1.不等式x(2-x)0的解集为()a.x|x0 b.x|x2或x0 d.x|0 x2解析解析 原不等式化为x(x-2)0,解得0 x0,则mn= ()a.x|-4x-2或3x7 b.x|-4x-2或3x3 d.x|x0=x|x3,mn=x|-4x-2或3x7. a3.二次函数y=x2-4x+3在y0时x的取值范围是 .解析解析 由y0得x2-4x+30,解得1x3.1x34.设a-1,则关于x的不等式a(x-a)0的解集为 .1-xa解析解析因为a-1,所以a(x-a)0.因为a,所以x或x0的解集为.(1)求a,c的

9、值;(2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c0.1132xx解析解析(1)由题意知,不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根为和,由根与系数的关系,得解得a=-6,c=-1.(2)由a=-6,c=-1知不等式ax2+(ac+2)x+2c0可化为-6x2+8x-20,即3x2-4x+10,解得x1,所以不等式的解集为.1312511-,3211,23aca13113xx数学运算含参数的不等式的求解问题解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+40.审:所给的不等式中的二次项系数含有参数a,并且不清楚参数a的符号,所以首先讨论参数a的符号,在此条件下再通过讨论根的大小来确定不等式的

10、解集.联:含参数的不等式的解题步骤:讨论二次项系数的符号讨论判别式的符号确定对应方程根的个数讨论根的大小确定不等式的解集.解:(1)当a=0时,原不等式可化为 ,解得x2,所以原不等式的解集为x|x0素养演练素养演练(2)当a0时,原不等式可化为(ax-2)(x-2)0,对应方程的两个根分别为x1= ,x2= .当0a2,所以原不等式的解集为;当a=1时,=2,所以原不等式的解集为x|x2;当a1时,2,所以原不等式的解集为.(3)当a0时,原不等式可化为(-ax+2)(x-2)0,对应方程的两个根分别为x1=,x22a22x xxa或2a2a22x xxa或2a2=2,因为2,所以原不等式的

11、解集为.综上,当a0时,原不等式的解集为;当a=0时,原不等式的解集为x|x2;当0a1时,原不等式的解集为.思:解含参数的一元二次不等式时,若二次项系数为常数,则可先考虑分解因2a22xxa22xxa22x xxa或22x xxa或式,再对参数进行讨论;若不易分解因式,则可对判别式分类讨论,分类时要不重不漏.若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数为零的情况,再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式,其次,对相应的方程的根也要进行讨论,比较大小,以便写出解集.针对训练针对训练解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a30(ar).解析解析将不等式x2-(a+a2)x+a30(ar)变形为(x-a)(x-a2)0(ar).当a0时,aa2,所以不等式的解集为x|xa2