2022高考数学一轮复习指点迷津二求曲线轨迹方程的方法课件文北师大版

1、指点迷津指点迷津( (二二) )求曲线轨迹方程的方法求曲线轨迹方程的方法第九章第九章2022曲线c与方程f(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线c上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解;(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线c上.则称曲线c为方程f(x,y)=0的曲线,方程f(x,y)=0为曲线c的方程.求曲线方程的基本方法主要有:(1)直接法:直接将几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程.(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线方程.(3)代入法(相关点法)题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已

2、知条件找出两个动点的关系,用所求表示已知,即(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点的轨迹方程.一、直接法求轨迹方程【例1】 已知abc的三个顶点分别为a(-1,0),b(2,3),c(1,2 ),定点p(1,1).(1)求abc外接圆的标准方程;(2)若过定点p的直线与abc的外接圆交于e,f两点,求弦ef中点的轨迹方程.方法总结直接法求轨迹的方法和注意问题(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系,则可用直接法,其一般步骤是:设点列式化简检验.求动点的轨迹方程时要注意检验,即除去多余的点,补上遗漏的点.(2)若是只求轨迹方程,则把方程求出,把变量的限

3、制条件附加上即可;若是求轨迹,则要说明轨迹是什么图形.对点训练1已知坐标平面上动点m(x,y)与两个定点p(26,1),q(2,1),且|mp|=5|mq|.(1)求点m的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(2)记(1)中轨迹为c,若过点n(-2,3)的直线l被c所截得的线段长度为8,求直线l的方程.二、定义法求轨迹方程【例2】 已知圆c与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆c的圆心轨迹为l,设l上的点与点m(x,y)的距离的最小值为m,点f(0,1)与点m(x,y)的距离为n.(1)求圆c的圆心轨迹l的方程;(2)求满足条件m=n的点m的轨迹q的方程.解(1)两圆半径都为

4、1,两圆圆心分别为c1(0,-4),c2(0,2),由题意得|cc1|=|cc2|,可知圆心c的轨迹是线段c1c2的垂直平分线,c1c2的中点为(0,-1),直线c1c2的斜率不存在,所以圆c的圆心轨迹l的方程为y=-1.(2)l上的点与点m(x,y)的距离的最小值是点m到直线y=-1的距离,因为m=n,所以m(x,y)到直线y=-1的距离与到点f(0,1)的距离相等,故点m的轨迹q是以y=-1为准线,点f(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,而 =1,即p=2,所以,轨迹q的方程是x2=4y.方法总结定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,

5、则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程.(2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.对点训练2如图所示,已知圆a:(x+2)2+y2=1与点b(2,0),分别求出满足下列条件的动点p的轨迹方程.(1)pab的周长为10;(2)圆p与圆a外切,且过b点(p为动圆圆心);(3)圆p与圆a外切,且与直线x=1相切(p为动圆圆心).三、代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】 如图所示,抛物线e:y2=2px(p0)与圆o:x2+y2=8相交于a,b两点,且点a的横坐标为2.过劣弧ab上动点p(x0,y0)作圆o的切线交抛

6、物线e于c,d两点,分别以c,d为切点作抛物线e的切线l1,l2,l1与l2相交于点m.(1)求p的值;(2)求动点m的轨迹方程.方法总结 (1)求点n的轨迹方程;(2)当点n的轨迹为圆时,求的值.四、参数法求轨迹方程【例4】 点a和点b是抛物线y2=4px(p0)上除原点以外的两个动点,已知oaob,omab于点m,求点m的轨迹方程.方法总结应用参数法求轨迹方程的程序:选参求参消参.注意消参后曲线的范围是否发生变化.答案 y=2x-2 五、交轨法求轨迹方程 【例5】 (2020东北三省四市一模)如图,已知椭圆c: 的短轴端点分别为b1,b2,点m是椭圆c上的动点,且不与b1,b2重合,点n满足nb1mb1,nb2mb2.(1)求动点n的轨迹方程;(2)求四边形mb2nb1面积的最大值.方法总结交轨法一般根据动点在两条动直线上,利用动直线方程,消去不必要的参数得到动点的轨迹方程,注意通过几何意义确定曲线的范围.对点训练5(2020河北唐山一模,文20)已知p是x轴上的动点(异于原点o