(完整版)高考圆锥曲线经典真题

1、高考圆锥曲线经典真题知识整合：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现， 主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 . 突出 考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考 生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次” ，有利 于选拔的功能 .2o1. (江西卷 15)过抛物线 x2 2py(p 0)的焦点 F作倾角为 30o的直线，与抛物线AF 1分别交于 A、B两点( A在 y轴左侧)，则 FB3222 (2008 年安徽卷 )若过点 A(4,0) 的直线 l与曲线 (x 2)2 y2 热点考点探究：考

2、点一：直线与曲线交点问题 例 1.已知双曲线 C：2x2y2=2与点 P(1，2) 求过 P(1 ，2)点的直线 l 的斜率取值范围，使 l 与 C分别有一个交点，两个 交点，没有交点 .解：(1) 当直线 l 的斜率不存在时， l 的方程为 x=1,与曲线 C有一个交点 .当 l有公共点 ,则直 线l 的斜率的取值范围为 ( ) 3 , 3 ( 3 , 3)A. 3, 3 B. ( 3, 3) C. 3 , 3 D. ( 3 , 3 )22x2 y2 1 3(2008 年海南- 宁夏卷 ) 设双曲线 9 16 的右顶点为 A,右焦点为 F, 过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于

3、点B,则三角形 AFB的面积为 - 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2=k(x 1), 代入 C的方程，并整理得(2 k2)x2+2(k2 2k)x k2+4k6=0(*)() 当 2k2=0, 即 k= 2 时，方程 (*) 有一个根， l 与 C有一个交点() 当 2k20, 即 k 2 时=2(k2 2k)24(2k2)( k2+4k 6)=16(3 2k)3 当 =0, 即 3 2k=0,k= 2时，方程 (*) 有一个实根， l 与 C有一个交点 .33 当 0,即 k 2, 又 k 2 , 故当 k 2 或 2 k 2 或 2 k 2 时，方程 (*) 有两不等实根， l 与

4、 C有两个交点 .3当 2时，方程 (*) 无解， l 与 C无交点 .3综上知：当 k= 2, 或 k=2 ，或 k 不存在时， l 与 C只有一个交点；3当 2 k 2 , 或 2k 2 , 或 k 2 时，l 与 C没有交点 .(2) 假设以 Q 为中点的弦存在，设为 AB，且 A(x1,y1),B(x2,y2) ，则 2x12y12=2,2x22 y22=2 两式相减得： 2(x1 x2)(x1+x2)=(y1 y2)(y1+y2)又 x1+x2=2,y1+y2=22(x1 x2)=y1 y1y1 y2即 kAB=x1 x2 =2但渐近线斜率为 2 , 结合图形知直线 AB与 C无交点

5、，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在 .(2) 若 Q(1，1) ，试判断以 Q为中点的弦是否存在 考点二：圆锥曲线中的最值问题 对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约 的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与 函数方法处理起来十分方便。22例 2 直线 m：y kx 1和双曲线 x2 y2 1的左支交于 A、B两点，直线 l 过 P( 2,0)和 AB线段的中点 M，求 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围y kx 1解：由 x2 y2 1(x 1)消去 y 得(k2 1)x2 2kx 2 0，由题意，有：4k 2 8(1 k

6、2) 02kx1x2x1x2x0y0设 M( x0, y0)，则 0x1x22kx0 1k1 k211 k 2第 15页 共 12页设 f(k) 2k2 k 22(k 14) 2k , 1 b 2由 P( 2,0 )、M( 1 k2 ,1 k2 )、Q( 0, b )三点共线，可求得 b 2k2 k 2 178 ，则 f (k)在 (1, 2)上为减函数。所以 f( 2) f(k) f (1)，且 f (k) 0所以 (2 2) f (k) 1 所以 b (2 2)或b 2 考点三：弦长问题 涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉 及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运

7、算 .例 3.如图所示，抛物线 y2=4x的顶点为 O，点 A的坐标为 (5 ，0) ，倾斜角为 4 的 直线 l 与线段 OA相交(不经过点 O或点 A)且交抛物线于 M、N两点，求 AMN面 积最大时直线 l 的方程，并求 AMN的最大面积 . 解：由题意，可设 l 的方程为 y=x+m,5m 0, 解得 m1,又5m 0), 过动点 M(a,0)且斜率为 1的直线 l 与该抛物线交 于不同的两点 A、 B，且|AB| 2p.(1) 求 a 的取值范围 .(2) 若线段 AB的垂直平分线交 x 轴于点 N，求 NAB面积的最大值 .219. 知中心在原点，顶点 A1、A2在 x轴上，离心率

8、 e= 3 的双曲线过点 P(6，6).(1) 求双曲线方程 .(2) 动直线 l 经过 A1PA2的重心 G，与双曲线交于不同的两点 M、N，问：是否 存在直线 l, 使 G平分线段 MN，证明你的结论 .10. 已知双曲线 C的两条渐近线都过原点，且都以点 A( 是否存在直线 l ,使 2 为l被双曲线所截得弦的中点 ,若存在 ,求出直线 l的 方程 ; 若不存在 , 请说明理由 .8 解： (1) 设直线 l 的方程为： y=x a, 代入抛物线方程得 (x a)2=2px, 即 x2 2(a+p)x+a2=0|AB|= 2 4(a p)2 4a2 2p. 4ap+2p2p2,即 4ap

9、 p2 p又 p 0, a 4 . (2) 设 A(x1,y1) 、 B(x2,y2) ，AB的中点 C(x,y), ，0)为圆心， 1 为半 径的圆相切，双曲线的一个顶点 A1与 A点关于直线 y=x 对称.(1) 求双曲线 C的方程 .(2) 设直线 l 过点 A，斜率为 k,当 0k1时，双曲线 C的上支上有且仅有一点 B到直线 l 的距离为 2，试求 k的值及此时 B点的坐标 .22x2 y2 111. 已知过双曲线方程 由(1) 知， y1=x1 a,y2=x2 a,x1+x2=2a+2p, 2x1 x2则有 x= 2a p,yy1 y22x1 x2 2a=p.(1) 过 M(1,1

10、) 的直线交双曲线于 A、B两点, 若 M为弦 AB的中点 ,求直线 AB的方 程;线段 AB的垂直平分线的方程为 yp= (x ap), 从而 N点坐标为 (a+2p,0 )22p 2ap p2|a 2p a| 2p 点 N 到 AB的距离为2从而 SNAB=12 2 4(a p)2 4a2 2p当 a 有最大值 4 时， S 有最大值为 2 p2.9. 解：(1) 如图，设双曲线方程为2x2a62b2 =1. 由已知得 a262b21,e2a2 b2 21 a2 3,解所以所求双曲线方程为2y212 =1.(2)P 、A1、A2 的坐标依次为 (6,6)、(3，0) 、(3，0)，第11页

11、 共 12页其重心 G的坐标为 (2 ，2)假设存在直线 l ，使 G(2，2) 平分线段 MN，设 M(x1,y1) ，N(x2,y2). 则有2212x12 9y12 10822y1y2124x1x2934 kl= 3x1 x2 4y1 y2 412x22 9y22 1084l 的方程为 y=3 (x 2)+2,2212x2 9y2 108y 4(x 2)由 3 , 消去 y, 整理得 x2 4x+28=0. =16 4 28 0, 所求直线 l 不存在.| 2k|10. 解：(1) 设双曲线的渐近线为 y=kx, 由 d= k2 1 =1, 解得 k=1.即渐近线为 y=x, 又点 A关

12、于 y=x 对称点的坐标为 （0， 1 2）.a= yx =b, 所求双曲线 C的方程为 x2y2=2.，且 l 与55 , 此时（2）设直线 l ：y=k（x 2 ）（0 k1）,依题意 B点在平行的直线 l上 l 间的距离为 2 .| 2k m| 2设直线 l ： y=kx+m,应有 k2 1 , 化简得 m2+2 2 km=2. 把 l 代入双曲线方程得 （k2 1）x2+2mkx+m2 2=0, 由=4m2k24（k21）（m22）=0. 可得 m2+2k2=22 10 2、两式相减得 k= 2m,代入得 m2=5, 解设 m= 5 ,k=mk 2 2x=k2 1,y= 10.故 B(

13、2 2, 10).11.解析(1) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x1 x2, y1 y2)则2222x1 y1 1则有 双曲线的一条渐近线方程为 2 , 而2 2 2 . 22x2 y2 14 2 1 . -得 (x1 x2 )( x1 x2) 2(y1 y2)(y1 y2) 0 x1 x2 2,y1 y2 2y1 y2 1kAB x1 x2 21 直线AB方程为 y 1 (x 1)2x 2y 1 0直线 x 2y 1 0与双曲线交于两点x 2y 1 0为所求 .(2) 假设过 N直线 l 交双曲线于 , C(x1,y1),D(x2,y2)则有2 2 2 2x1 y1 1 x2 y2 14 2 1, 4 2 1.两式相减得 (x1 x2)(x1 x2) 2(y1 y2 )( y1 y2) 0 x1