(新)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

1、所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。熊程信息年 级高二学科数学内容标题定积分的计算编稿老师马利军、教学目标：1 .理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题2 .理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题.、知识要点分析b1 .定积分的概念：函数 f(x)在区间a, b上的定积分表示为：f(x)dxa2 .定积分的几何意义：(1)当函数f (x)在区间a, b上恒为正时，定积分 0 f(x)dx的几何意义是：y=f (x) ab与x=a, x=b及x轴围成的曲边梯形面积， 在一般f#形下.a f (x)dx的几

2、何意义是介于 x轴、函数f (x)的图象、以及直线 x=a, x=b之间的各部分的面积代数和，在x轴上方的面积取正号，x轴下方的面积取负号bbb在图(1)中:f(x)dxas 0,在图(2)中：f(x)dx s 0,在图(3)中：f(x)dxaa放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!10bf(x)dx,仅a表示函数y=f (x)图象及直线x=a, x=b、x轴围成的面积的代数和注：函数y=f (x)图象与x轴及直线x=a, x=b围成的面积不一定等于b当在区间a, b上f (x)恒正时，其面积才等于f(x)dx.a3 .定积分的性质，(设函数f (x), g (x)在区间a, b上可积)b(

3、1)af(x) g(x)dx abaf(x)dxbag(x)dx(2)ba kf (x)dxbk f (x)dx , (k 为常数)abcb(3) f (x)dx f (x)dx f (x)dxaacb(4)若在区间a, b上，f (x) 0,则 f(x)dx 0a、bb推论：(1)若在区间a, b上，f (x) g(x)，则 f (x)dx g(x)dxaabb | f(x)dx| | f(x)|dxaaaaa(3)若f(x)是偶函数，则 f(x)dx 2 f (x)dx ,若f(x)是奇函数，则 f (x)dx 0a0a4 .微积分基本定理：b一般地，右 F (x) f (x)，且f (x

4、)在a,b上可积，则 f (x)dx F(b) F(a)a注：(1)若F(x) f(x)则F (x)叫函数f (x)在区间a, b上的一个原函数，根b据导数定义知：F (x) +C也是f (x)的原函数，求定积分a f(x)dx的关键是求f (x)的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F (x).(2)求导运算与求原函数的运算互为逆运算.【典型例题】知识点一：定积分的几何意义2例1.根据0 sin xdx 0推断：求直线 x=0, x= 2 , y=0和正弦曲线y=sinx所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是(A.面积为0B.曲边梯形在C.曲边梯形在D.曲边梯形

5、在x轴上方的面积大于在 x轴上方的面积小于在 x轴上方的面积等于在x轴下方的面积 x轴下方的面积 x轴下方的面积题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意 sin xdx 与 y=sinx 及直线 x=a, x=b 和 x 轴围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx在区间0, 2 内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可 判断.解：对于(A):由于直线x=0 , x= 2 , y=0和正弦曲线y=sinx所围成的曲边梯形面积为正 可判断A错.对于(B), (C)根据y=sinx在0, 2 内关于(，0)对称知两个答案都是错误的.根据函数y=sinx的图象及定积分的几何意义可知：答案( D

6、)是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点2是混淆函数y=sinx与x轴、直线x=0, x= 2 围成的面积等于 f(x)dx.例2.利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性(1)2xdx,1 ,2(2) 1 x dx .04题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间 0, 1上函数y=2x, 及 y= J1x2 恒112为正时，7E积分 2xdx表本函数y=2x图象与x=0,x=1围成的图形的面积，J1 x dx表oo示函数y= h x2图象与x=0, x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x及y= J1 x2的图象，求此

7、图象与直线x=0 , x=1围成的面积.解：(1)在同一坐标系中画出函数y=2x的图象及直线 x=0 , x=1 (如图)，它们围成的图形1 . 1一一是直角二角形.其面积S =- 2 1 1.由于在区间0, 1内f (x)恒为正，故 2xdx 1.(2)由 y ,1 x2x2 y2 1,x 0,1,故函数 y ,1 x2 (x 0,1的图象如图所示，所以函数 y 41 x2与直线x=0, x=1围成的图形面积是圆 x2 y2 1面积的四 分之一，2 12又y 由 x 在区间0, 1上恒为正.41 x dx 0解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x及函数y=解 x2在

8、区间0, 1上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不 准确造成错误的结果.例3.利用定积分的几何意义求(| x|x 3|)dx 的值.题意分析：本题考查定积分的几何意义，0(|x 11 | x 3|)dx的值是函数y |x 1| |x 31的图象与直线x=0, x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间0,4分割为0,1, 1,3,3,4,在每个区间上讨论x1,x 3的符号，把函数y |x 1| |x 3|化为分段函数，再根据定积分的几何意义求40 (| x 1 | |x 3|)dx的值.2x 4,(x 0,1解：函数 y |x 1 | |x 3|化为 y 2,(

9、x 1,32x 4,(x 3,42x 4, (x 0,1由于函数y 2,(x 1,3 在区间0, 1, 1, 3, 3, 4都恒为正.2x 4,(x 3,4设函数y= 2x+4的图象与直线 x=0, x=1围成的面积为 S1函数y=2的图象与直线x=1 , x=3围成的面积是 S2函数y=2x 4的图象与直线x=3 , x=4围成的面积是 S31由图知：S1=S3= (4 2) 1 3, S2= 2 2 4 24由定积分的几何意义知：o(|x 1 | |x 3|)dx=& S3 S2 10解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分40 (| x 1 | |x 3|

10、)dx的值，体现了等价转化的数学思想(把区间0, 4分割，把函数y=|x1|+|x 3|化成分段函数)、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间0, 4分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间a, b上f (x)恒为正时，f (x)在区间a, b上定积分值才等于函数图象与直线x=a, x=b围成的面积.在画函数图象时注意x的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分 的值.高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1.

11、 (2010山东日照模考)a= 2xdx, b= 2exdx, c= 2sinxdx,则a、b、c的大小关系是 000()A. acbB. abcC. cbaD. cab2. (2010山东理，7)由曲线y=x2, y = x3围成的封闭图形面积为()1A.121B.41C.37D.12OP,（2010湖南师大附中）设点P在曲线y=x2上从原点到A（2,4）移动，如果把由直线的坐标直线y=x2及直线x = 2所围成的面积分别记作 S, S2.如图所示，当Si=S2时，点P是（）169B 4BY，1694C. 3,1571373.由二条直线x= 0、x= 2、y=0和曲线y=x3所围成的图形的面

12、积为（）4.C.4B.318D. 6（2010湖南省考试院调研）1 1（sinx+1）dx的值为（2 + 2cos1B. 2D. 22cos15.曲线y= cosx（0w xw 2兀后直线y= 1所围成的图形面积是8. 3兀D.兀C.3256.函数 F(x)= xt(t4)dt 在1,5上()0A .有最大值0,无最小值B.有最大值0和最小值-32332C.有最小值 -,无取大值3D.既无最大值也无最小值A. 已知等差数列an的前n项和Sn=2n2+n,函数 f(x) =J_I,xtdt,右 f(x)a3,则1x的取值范围是（）3A.二 +06B. (0, e21)C. (e 11, e)D.

13、 (0, e11)8. （2010福建厦门一中）如图所示，在一个长为 兀，宽为2的矩形OABC内，曲线y =sinx（0x兀后x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）x + 2 -2x09. (2010吉林质检)函数f(x)=兀 的图象与x轴所围成的图形面积S为2cosx 0x0)与x轴，直线x=1构成区域M,现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M内的概率是()B.4A.2八1r 21C.3D.5二、填空题13. (2010芜湖十二中)已知函数f(x)=3x2+2x+1,若1f(x)dx= 2f(a)成立，则 a=.TTL1 -，一一，、，入C 一一一I14. 已知 a= f -o（sinx+ cosx）dx,则二项式（aJX）6的展开式中含x2项的系数是211x15.抛物线y2=2x与直线y= 4 x围成的平面图形的面积为 16. （2010安徽合肥质检）抛物线y2=ax（a0）与直线x= 1围成的封闭图形的面积