2011年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析

1、*2011年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共0小题，每小题 5分，满分 50分）1. （5分）（2011?湖北）i为虚数单位，则（1 + L） 2011 =1*1A. FB . 1C . i2. (5 分)(2011?湖北)已知 U=y|y=log 2x, x1 , P=y|y= 一, x2,贝 U CuP=(A.B.(0, 1)C.(0, +)10) U (,1+00)3. （5分）（2011?湖北）已知函数f (x) = s jsinxcosx,x田，若f （ x） 1 ,则x的取值范助（A.TT7TC.4.x|kx|k+ 丁产 xk + 南丘Q+xk +, k 2（5分）（201

2、1?湖北）将两个顶点在抛物线n,则(A. n=0)，且 P 4) =0.8,贝U P (0K2)=(A. 0.6B. 0.41匚6. （5分）（2011?湖北）已知定义在 且 a书）.若 g （a） =a,贝U f （a）A. 2B.7.（5w42o1i?湖北）如图，肱、个正常工作时，系统正常工作，已干 口（） B .x|2kD .x|2k +x0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记 为C. n=2D. n32）5. （5分）（2011?湖北）已知随机变量C. 0.3TR上的奇函数f （x）和偶函数）A 2K、C.己服从正态分布（2,D. 0.2g (x)满足 f ( x) +g (

3、 x)2D. ax xa =a+2 (a 0,类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A 1、A 2至少有一1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.5768. (5分)(2011?湖北)已知向量= (x+z, 3),= (2, yz)，且 ，若x, y满足不等飒+|y|/1?平( 2的取值范网()A. 2-, 2B . 2-, 3C. &, 2D. &, 39. （5分）（2011?湖北）若实数 a, b满足 a0, b0,且 ab=0,则称与b互补，海（a, b） =ab那么（|）（a, b） =0

4、是a与b互补的（）A.必要不充分条件B.充分不必要的条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件10. （5分）（2011?湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素钠137的衰变过程中，其含量 M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：M （t） =M 09r 30,其中 Mo为t=0时翎7的含量.已知 t=30时，例7含量的变化率是T0In2 （太贝克/年），则 M （60）=（）A. 5太贝克B. 751n2太贝克C. 1501n2 太贝克D. 150太贝克二、填空题（共 5小题，每小题 5分，满分 25分）

5、11. . （5分）（2011?湖北）（X1 一 18的展开式中含 x15的项的系数为 -（结果用数值表示C /12. （5分）（2011?湖北）在 30瓶饮料中，有 3瓶已过了保质期.从这 30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为 .（结果用最简分数表市13. （5分）（2011?湖北）九章算术竹九节”问题：现有一辗节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为 3升，下面 3节的容积共 4升，则第节的容积为 上14. （5分）（2011?湖北）如图，直角坐标系 xOy所在平面为直角坐标系 xOy（其中y与y轴重合）所在的平面为 & / xOx =45 :（I ）已

6、知平面B内有一点 P（ 2 V?2）,则点P在平面a内的射影 P的坐标为 J号22（n）已知平面 B内的曲线的方程是（x722=0,则曲级在平面a内的射影 C的方程是 :+2y15. （5分）（2011?湖北）给个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n04时，在所有不同的着色方案中）黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻白着色方案共有 种,至少有个黑色正方形相邻的着色方案共有 种，（结果用数值表方三、解答题（共 6小题，满分 75分）116. （10分）（2011?湖北）设 4ABC 的内角 A、B、C所对的遗别 a、b、c,已知 a=1 , b=2,

7、cosC=(I) 求必BC的周长；(II)求 cos ( AC)的值.17. (12分)(2011?湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度 x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0;当车流密度不超20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20 2,*m N,r R, r W).am+1 , am , am+2 是否19. (13分)(2011?湖北)已知数列an的前n项碉 Sn,且满足：a1=a(J求数列an的通项公式；*(W若存在kN，使得Sk

8、+1, Sk, Sk+2成等差数列，试判断：对于任意的成等差数列，弁证明你的结论20. (14分)(2011?湖北)平面内与两定点A1 (才，0) , A2(a,0)(a0)连线的斜率之积等于非零缴m的点的轨迹，加上Ai、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线.(J求曲线 C的方程，弁跄C的形状与 m值的关系；(W当 m=1时，对应的曲线为C1；对给定的 m 6(r, 0) U( 0, +勾，对应的曲线为 C2,设F1、F2是C22的两个焦点.试问：在Ci上，是否存在点N,使得AFiNF2的面积S=|m|a .若存在，求 tanF1NF2的值；若不存在,请说明理E21 . (14分)(20

9、11?湖北)(J已知函数 f (x) =lnx x+1 , xG (0, +勾，求函数f (x)的最大值;(n)设a1, b1 ( k=1 , 2? , n)均为正数，证明：(1)若 a1b1+a2b2+? anbn1+b2+? bn,喝+ 1劣 1 z ri；bk b 222(2)若 b1+b2+? bn = 1 ,嚷1rl b 1l-? 当1A J+b2 +? +bn2011年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共0小题，每小题 5分，满分 50分) 1 . （5 分） 考点：复数代数形式的混合运算.题：计算题.分析：1 x：n2011由复数的运算公式，我们易得上一二i

10、,再根据i的周期性，我们易得到() 的结果.1-i1-i解答：1+i解：丁 1 一 =i1+i201120113( - =i =i =h故选A 20113 -点评：本题考查的知识点是复数代数形式的混合运算，其中根据复数单调窑的周期性，将 i转化为i正珈答本题的关键2. (5 分)考点：对数函数的单调性与特殊点；补集及其运算.题：计算题.分析： 先求出集合 U中的函数的值域和P中的函数的值域，然后由全集 U,根据补集的定义可知，在全集 U中不属于集合 P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可.解答：解：由集合 U中的函数y=log 2x, x1,解得y0,所以全集 U= ( +3)

11、，同样：P= ( 0 ,1得到 CUP= J +g .故选A .点评： 此题属于以函数的值域为平台，考查了补集的运算，是一道 基础题.3. (5 分)考点：正弦函数的单调性.题：计算题.一万分析： 利用两角差的正弦函数化简函数f (x) = sinxcosx,为一个角的一个三角函数的形式，根据f ( x) 1 ,求出x的范围即可.匚nTT解答：Y石石解：函数 f (x) =sinxcosx=2sin ( x)-,因为 f (x) 1,所以 2sin (x)- *,所以，jr ,无丁kit2k九+=x-f1,则的取值范围为：x|2k + WxVk + 乃kZ故选B点评： 本题是基础题考查三角函数

12、的化简，三角函数不等式的解法，考查计算能靠题型4. (5 分)考点：抛物线的简单性质题：计算题.线，每条直I与分析： 根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形.进而可知这样的三角形有2个.解答：2解：y=2px ( P0)的焦点 F ( 2, 0)2等边三角形的一个顶点位于抛物线y丐 =2px ( P0的焦点另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关 于x轴轴对称W干 卡JJ Z两个边的斜率=tan30 = ,其方程为：y= ( x)-,每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成

13、一个等边三角形.故 n=2 ,故C点评：本题主要考查了抛物线的简单性质.主要是利用抛物线和正三角形的对称性.5. (5 分)考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意 义.题：计算题.2分析：根据随机变以 服从正态分布 快(2, ),看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2,根据正态曲线的特点，得到 P ( 0V% 2) = P ( 0V %4),得到结果.2解答： 解：.随机变景服从正态分布 N (2, (T),=2,得对称轴是 x=2.P (%4) =0.8 .P (辨 =P (笃)=0.2 , P(04) =0.6 .P ( 02) =0.3 .故选.A024 X点评： 本题考查正态曲线的

14、形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称轴形的曲线，其对称轴为x=a弁在x= 时取最息 从x= 点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断 逼近轴，但永不与 x轴相交， 因此说曲线在正负两个方向都是以轴为渐避的.6. (5 分)考点：函数奇偶性的性质.x x分析：由已知中定义在R上的奇函数 f (x)和偶函数 g (x)满足(x) +g (x) =aa+2 ( a 0,且 a， x x们根据函数奇偶性的性质，得到关于f (x) ,g (x)的另一个方程 f (x) +g (x) =aa+2,弁由此求出(x) , g ( x)的解析式，再根据 g (a) =a求出a值后，即可得到 f (a)

15、的值.解答： 解：二才(x)是定义在 R上的奇函数，g(x)是定义在 R上的偶函数由 f ( x) +g (x) =aa+2x x得 f (x) +g (x) =aa+2= f-(x) +g (x)x xa , g (x) =2联立解得 f (x) =a由已知 g (a) =a- a=222 15.f ( a) =f ( 2) =2 - 2_ 4故选点评： 本题考查的知识点是函数解析式的求法-方程组法，函数奇偶性的性质，其中利用奇偶性的性质，求出(x) , g ( x)的解析式，再根据g ( a) =a求出a值，是解答本题的关键.考点： 题： 分析：解答:解：根据题意，加、A1、则 P ( A

16、) =0.9;A2正常工作分别为事件 A、B、C;A 1、A2至少有一个正常工作的概率为B C1 - P ( ) P ( ) =1 0.2 0.2=0.96 ;则系统正常工作的概率为 故选.0.9 0.96=0.864 ;点评： 本题考查相互独立事件的概率乘法公式，涉及互为对立事件的概率关系，解题时注意区分、分析事件之 的关系.8. (5 分)考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；简单线性规划的应用.题：数形结合.分析：根据平面向量的垂直的坐标运算法则，我们易根据已知中的=(x+z, 3),ba b二(2, y - z) ,1 ,构造出一个关于 x, y, z的方程，即关于 Z的目标函数，画

17、了约束条件 |x|+|y| 1对应的平面区域，弁求出各个角点的坐标，代入即可求出目标函数的最值，进 而给z的取值范围解答：a解：= = ( x+z , 3),b=(2, y z),.( x+z ) 2+3 X(y - z) 即 z=2x+3y.满足不等式|x|+|y| 1 由图可知当 x=0, y=1=2x+3y - z=0,的平面区域如下图所示:时，z取最大值3,7. (5 分)相互独立事件的概率乘法公式.计算题.首先民、A 1、A2正常工作分别为事件A、B、C,易得当 K正常工作与 A 1、A2至少有一个正常工作为相互独立事件，而 A1、A 2至少有一个正常工作与A 1、A2都不正常工作

18、”为对立事件，易得 A1、A 2至少有一个正常工作的概率；由相互独立事件的概率公式，计算可得答案.当x=0, y= - 1时，z取最小值- 3, 故z的取值范的-3, 3故D点评： 本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，简单线性规划的应用，其中利用平面向量的垂直的坐标运算法则，求出目标函数的解析式是解答本题的关键9. （5 分）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.题：压蠹.分析：我们先判断小（a, b） =0? a与b互补是否成立，再判断 a与b互补？小（a, b） =0是否成立，再根据充要条件的定义，我们即可得到得到结论解答：/解：若小（a, b） =ab=0+ b 2贝

19、U y d/b （ a+b ）两边平方解得ab=0，故a, b至少有一为，不妨令 a=0则可得|b|b=0,故b冷，即a与b互补而当a与b互补时，易得ab=0此，时甘b=0* + b即 （a, b） =0故（a, b） =0是a与b互补的充要条件故C点评：本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的，其中判断小（a, b） =0? a与b互补与a与b互补?小（a, b） =0的真假，是解答本题的关键.10. （5 分）考点：有理数指数窑的运算性质.题：计算题;压藕.分析：由t=30时，翎7含量的变化率是T0In2 （太贝烁），先求出 M （t） =M 0x-/lx . 9V 1再由M （3

20、0） =M ox （ 市/Fl0ln2,求出 M 0,然后能求出 M （60）的值.解答：_工, _ li30解：M （t） =M 0X l 市/入 2 二j u（ ny 2M （30） =M 0X、而，n乙八号 10ln2,.M 0=600 .60.M （60）= 600X 2 30= 150.故D点评：本题考查有理数指数窑的运算法则，解题时要注意导数的合 理运用.二、填空题（比小题，每小题 5分，满分 25分）11. （5 分）考点：二项式定理.15 . 一, 一丫 15的项的系数.x题：计算题.分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为5,求出展开式中含解答：1 r18一名T

21、一（ - ） C1r2解：二项展开式的通项为-3 L 18令 1 Q _ 3r 得 r=2I 凸 = 15所以展开式中含15 . 一 .X 的项的系数为 x1、C?o=17-8 A故答案为17点评： 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.12. . （5 分）考点： 古典概型及其概率计算公式.专题：计算题.2分析： 本题是一个古典概型,试验发生所包含的事件是从30个饮料中取 2瓶，共有C30种结果，满足条件的事件2是至少取到一瓶已过保质期的，它的对立事件是没有过期的，共有C27种结果，计算可得其概率；根据对立事件的概率得到结果.解答： 解：由题意知本题是一个古典概型,试验

22、发生所包含的事件是从30个饮料中取2瓶，共有2C30满足条件的事件是至少取到一瓶已过保质期的,它的对立事件是满有过期的，共有145根据对立事件和古典概型的概率公式得到2C27=351351435=435种结果,435 145P=1 故答案为:点评： 本题考查古典概型的概率公式，考查对立事件的概率，在解题时若从正面考虑比较麻烦，可以从事件的对 立事件来考虑.本题是一个基础题.13. （5 分）考点：数列的应用.专题：计算题.分析：4X34a1+-5-d=3a-d）6X5二4由题设知,先求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式4&1 +解答:求第5节的容积-d）需 13 J解：由题设知.13解得

23、故答案为:点评： 本题考查等式数列的通项公式和前n项和公式，解题时要注意公式的灵活运用.14. （5 分） 考点：平行投影及平符投影作图法.P在平面上的射影P距离x轴的距离不变是2,距离y轴的专题： 计算题；压轴题.分析： （I）根据两个坐标系之间的关系，由题意知点距离变成 2 cos45 0,写出坐标.（II）设出所给的图形上的任意一点的坐标，根据两坐标系之间的坐标关系，写出这点的对应的点，根据所 设的点满足所给的方程，代入求出方程.解答： 解：（I）由题意知点P在平面上的射影 P距离x轴的距离不变是2,距离 y轴的距离变成 2 J弓cos45 =2,V U点P在平面值内的射影P的坐标为（2

24、, 2）、一， 2 2（II ）设（x- V2）- 2=0上的任意点为A （ X0, yo） , A在平面 民上的射影是（x, y）I，根据上一问的结果，得到x=工x0, y=y0,22(x - 1 )+y =1,故答案为：（2, 2）;仅-1）+y =1 .点评： 本题考查平行投影及平行投影作图法，考查两个坐标系之间的坐标关系，是一个比较简单的题目，认真读 题会得分.15. . （5 分）考点： 归纳推理；计数原理的应用.专题： 计算题；压轴题.n取不同值时的结果数;分析： 根据所给的涂色的方案，观测相互之间的方法数，得到规律，根据这个规律写出当利用给小正方形涂色的所有法数减去黑色正方形互不

25、相邻的着色方案，得到结果.解答：解：由题意知当n=1时，有2种,当n=2时，有3种，当n=3时，有 2+3=5种，当n=4时，有 3+5=8种，当n=5时，有 5+8=13种，种涂法,62当n=6时，有 8+13=21种，当n=6时，黑色和白色的小正方形共有黑色正方形互不相邻的着色方案共有21种结果,至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有64- 21=43种结果,故答案为：21 ; 43点评： 本题考查简单的排列组合及简单应用，考查观察规律，找出结果的过程，是一个比较麻烦的题目，当作为高考题目比前几年的排列组合问题不难.三、解答题（共 6小题，满分 75分）16. . （10 分）考点： 余弦

26、定理；两角和与差的余弦函数.专题：计算题.分析： （I）利用余弦定理表示出c的平方，把 a, b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长;（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由 a, c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大用，由 a小于c得到A小于C,即A为锐角，则根据 sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值.解答:解：(I)c=2 ,222. c - 2abcosC=1+4 - 4X =4,. ABC 的周长为 a+b+c=

27、1+2+2=5(II ) ; cosC=sinC=.sinA= asin 4 二 7 If.avc,.A vC,故 A 为锐角.则osA= J.( v 点评：17 .考点： 题： 分析：一 . 一 .一7 1 V I R1 1 .cos (AC) =cosAcosC+sinAsinC=x+ = = 1 8 4 84 16本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是道础题.分)解答:函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问 题中的应用.应用题.(I)根据题意，函数 v (x)表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v (x)在20x200时的表达式，根据一次

28、函数表达式的形式，用待定系数法可求得；(II)先在区间(0, 20上，函数 f (x)为增函数，得最大值为f (20) =1200,然后在区间 20, 200上用基本不等式求出函数f (x)的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间(0, 200上的最大值.解：(I) 由题意：当 0Wxw20 时，v (x) =60;当 20vx0200 时，设(x) =ax+ba=_l再由已知得(200a+b=0,解得120a+b=60I 200故函数v (x)的表达式为 V(X)二14 (200I 60x(id依题弁由(I)可得f(X)当0今V20时，f (x)

29、为增函数，故当 x=20时，其最大值为 60 20=12001 /Ix+l ZUU- xJ._ (x * 二=X (200 - x) 4=当且仅当 x=200次,即x=100时，等号成立.所以，当 x=100时，f (x)在区间(20, 200上取得最大值 1UJUU10000综上所述，当x=100时，f (x)在区间0, 200上取得最大值为 一即当车流密度勺答：函数100桥米时，车流量可以达到最大值，最大值约 为3333辆、时.600x20v (x)的表达式 丫 ,工)二4 1 f 一八(II )当车流密度？ 100杆米时，车流量可以达到最大值，最大值约 为3333辆、时.点评：18 .考

30、点： 题： 分析：本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问酬!劲璃中等题.2分)二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置 关系.计算题.(I) E作ENUC于N ,连EF, NF, AC1,根据面面垂直的性质可知NF为EF在侧面 A 1C内的射影,根据 IL JR二工，得NF /AC ,又AC iiC,故NF1C,由三垂线定理可得结论； CCjCA?(II)连接F,及作NM 必F与M ,连搠E根据三垂线定理得EMUF,则/ EMN是二面角 CAFE的平面角即/ EMN= 6,在直角三角形 CNE中，求出 NE,在直角三角形AMN 中，求出 MN，故rztan=

31、,根据 a的范围可求出最小值.3sin a解答： 解： 过作ENUC于N,连接F, NF, AC 1,由直棱柱的性质可知，底面 ABC 啊面 AiC.EN 则面 A 1CNF为EF在侧面 A1C内的射影在直角三角形 CNF中，CN=1则由 CF _CN_1 ,得 NF /AC 1,又 AC11C,故 NFS1C由三垂线定理可知EF小1C(II )连接F, N作NM LAF与M ,连确E由(I)可知 ENdfffl面 A1C,根据三垂线定理得EMUF./EMN 是二面角 CAFE的平面角即/ EMN= 6设/FAC= a则 0之 a 45；在直角三角形CNE中，NE= 不，在直角三角形 AMN

32、中，MN=3sin aA JV。故 tan =,又 0 之 a 45 0 V sin a :(na +O3)二。假设在 Ci 上存在点 N (xo, yo) (y00),使得 AFiNF2的面积 S二|m|a.,的充要条件为IZaVl+m |yol=lra| a ，求出点N的坐标，利用数量积和三角形面积公式可以求得tanFiNF2的值.解答:解：(J设动点为M ,当x*a时，由条件可得2=ma222即 mxy( x 中 a),=ma又 A i (才，0) , A 2 (a,0)的坐标漓L mx “ 口y轴上的椭圆;当mvi时，曲线 C的万程为22 , C是焦点在x ( y 十+2=1222 S

33、 皂当m=i时，曲线 C的方程为 x , C是圆心在原点的圆；+y =a x轴上的椭圆;当于vmv0时，曲线C的方程为ama， , C是焦点在当m 0时，曲线 C的方程为,C是焦点在x轴他的双曲线；Vl+n，0),天口+产。二3222()由(I)知当 m=i时，Ci方程为.x=a当 mG，0) J.(20： + ；瑞/ %2 的 1k点、颁 Fi (a , 0) , F2 ( a对于给定的mG, 0) U( 0, +里殳i上存在点 N (x0,y。)勺。0=),使得 AFiNF2的面积 S二|m|a由得0V |y0|臼，由得|y0|=时,当0VWa,即2存在点 N,使S=|m|a ,m/三时，不存在满足条件的点N.，由/1+次 x0, - y0), 22 2可得 NF 1 NFo=x0 - ( 1+m) a则由从而maNFi=/1, _ |nf7-nf1J|=2,+y0cos=r1r2cos瑜m Wfe旦 可得 1 r1r2=口srar2sin=n dIDm2,于是由 S=|m|a ,可得-2=|m|a ,即 tan =综上可得：当m -/二Xx 1,0）时，在 C1上存在点 N,使得 AF1NF2的面S=|m|a ,且2tan =2 ；当 m 6( 0,”时，在C1上存在点+CO )N,使得 AF1NF2 的面S=|m