邵东一中2015届高三理科数学月考题 (教师卷) 老版

1、邵东一中5 届高三理科月考数学试题教师卷1邵东一中5 届高三理科数学月考题 (教师卷)本试卷共 150 分考试时间 120 分钟一、选择题：(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)1.已知集合 M=x|y=2x，集合 N=y|y=221xx,xR,则 MN=( )(A)x|x2(B)x|x2(C)x|0 x2(D)2. 函数 f(x)2logxx的零点所在区间为( C)(A)116，18(B)18，14(C)14，12(D)12，13.设 a0 且 a1， 则“函数 f(x)xa在 R 上是减函数”是“函数 g(x)(2a)3x

2、在 R 上是增函数”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4.已知函数 f(x)1 ,41,42xf xxx则2log 3f( D)A1B.18C.116D.1245.设 a0，b0.则正确的是(A)A若2a2a2b3b，则 abB若2a2a2b3b，则 abC若2a2a2b3b，则 abD若2a2a2b3b，则 ab6. 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 y(1x)f(x)的图象如图所示， 则下列结论中一定成立的是(D)A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C函

3、数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)7.函数 f(x)sin (x)，(其中|2)的图象如图所示，为了得到 g(x)sin x邵东一中5 届高三理科月考数学试题教师卷2的图象，则只要将 f(x)的图象(A)A向右平移6个单位B向右平移12个单位C向左平移6个单位D向左平移12个单位82014新课标全国卷 设0，2 ，0，2 ，且 tan1sincos，则()A32B32C22D228C解析 tan1sincoscos2sin2cos22sin22cos2sin2cos2sin21tan21tan2tan42 ，因为0，2 ，所以4

4、24，2 ，又0，2 且 tantan42 ，所以42，即 22.9.已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)=2xf(1)+lnx，则f(e)=(D)(A)12e(B)-1(C)1(D)12e 102014四川卷 已知 f(x)ln(1x)ln(1x)，x(1，1)现有下列命题：f(x)f(x)；f2x1x22f(x)；|f(x)|2|x|.其中的所有正确命题的序号是()ABCD9A解析 f(x)ln(1x)ln(1x)ln1x1xln1x1xln（1x）ln（1x）邵东一中5 届高三理科月考数学试题教师卷3f(x)，故正确；当 x(1，1)时，2x1x2(1，1)，且 f2

5、x1x2ln12x1x2ln12x1x2ln12x1x212x1x2ln1x22x1x22xln1x1x22ln1x1x2ln(1x)ln(1x)2f(x)，故正确；由知，f(x)为奇函数，所以|f(x)|为偶函数，则只需判断当 x0，1)时，f(x)与 2x 的大小关系即可记 g(x)f(x)2x，0 x1，即 g(x)ln(1x)ln(1x)2x，0 x2，aR)有最大值，则 f(x)B.其中的真命题有_(写出所有真命题的序号)15解析 若 f(x)A，则 f(x)的值域为 R，于是，对任意的 bR，一定存在aD，使得 f(a)b，故正确取函数 f(x)x(1x1)，其值域为(1，1)，于

6、是，存在 M1，使得 f(x)的值域包含于M，M1，1，但此时 f(x)没有最大值和最小值，故错误当 f(x)A 时，由可知，对任意的 bR，存在 aD，使得 f(a)b，所以，当 g(x)B时，对于函数 f(x)g(x)，如果存在一个正数 M，使得 f(x)g(x)的值域包含于M，M，那么对于该区间外的某一个 b0R，一定存在一个 a0D，使得 f(a0)bg(a0)，即 f(a0)g(a0)b0M，M，故正确对于 f(x)aln(x2)xx21(x2)，当 a0 或 a0 时，函数 f(x)都没有最大值要使得函数 f(x)有最大值，只有 a0，此时 f(x)xx21(x2)邵东一中5 届高

7、三理科月考数学试题教师卷5易知 f(x)12，12 ，所以存在正数 M12，使得 f(x)M，M，故正确三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.(12 分)已知 c0.设命题 p：函数 yxc为减函数，命题 q：当 x12，2时，函数 f(x)11xxc恒成立如果 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，求 c 的取值范围【答案】若命题 p 为真，则 0c1，由 2x1x52知，要使 q 为真，需1c12若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，则 p、q 中必有一真一假，当 p 真 q 假时，c 的取值范围是 0c12；当 p 假 q

8、 真时，c 的取值范围是 c1.综上可知，c 的取值范围是c|0c12或 c1172014山东卷 已知向量 a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函数 f(x)ab，且 yf(x)的图像过点12， 3和点23，2.(1)求 m，n 的值；(2)将 yf(x)的图像向左平移(0)个单位后得到函数 yg(x)的图像，若 yg(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为 1，求 yg(x)的单调递增区间解：(1)由题意知，f(x)msin 2xncos 2x.因为 yf(x)的图像过点12， 3和点23，2，所以3msin6ncos6，2msin43ncos43，即312m32n，2

9、32m12n，解得 m 3，n1.(2)由(1)知 f(x) 3sin 2xcos 2x2sin2x6 .由题意知，g(x)f(x)2sin2x26 .设 yg(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)由题意知，x2011，所以 x00，即到点(0，3)的距离为 1 的最高点为(0，2)将其代入 yg(x)得，sin26 1.邵东一中5 届高三理科月考数学试题教师卷6因为 0，所以6.因此，g(x)2sin2x2 2cos 2x.由 2k2x2k，kZ 得 k2xk，kZ，所以函数 yg(x)的单调递增区间为k2，k，kZ.18.（本小题满分 12 分）在直角坐标系xOy中，已知点)2 ,

10、3(),3 , 2(),1 , 1 (CBA，点),(yxP在ABC三边围成的区域（含边界）上（1）若0PAPBPC ，求OP ；（2）设),(RnmACnABmOP，用yx,表示nm，并求nm的最大值.18. 解： （1）因为0PAPBPC 所以()()()0OAOPOBOPOCOP 即得1()(2,2)3OPOAOBOC 所以| 2 2OP （2）OPmABnAC ( , )(2 ,2)x ymnmn即22xmnymn两式相减得：mnyx令yxt，由图可知，当直线yxt过点(2,3)B时，t取得最大值 1，故mn的最大值为 1.解：19(本小题满分 16 分)如图，为保护河上古桥 OA，规

11、划建一座新桥 BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两端 O 和 A到该圆上任意一点的距离均不少于 80m 经测量， 点 A 位于点 O邵东一中5 届高三理科月考数学试题教师卷7正北方向 60m 处，点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸)，4tan3BCO（1）求新桥 BC 的长；（2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分 16 分.解法一：(1) 如

12、图，以 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy.由条件知 A(0, 60)，C(170, 0)，直线 BC 的斜率 kBC=tanBCO=43.又因为 ABBC，所以直线 AB 的斜率 kAB=34.设点 B 的坐标为(a,b)，则 kBC=04,1703ba kAB=603,04ba解得 a=80，b=120. 所以 BC=22(17080)(0 120)150.因此新桥 BC 的长是 150 m.(2)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m,OM=d m,(0d60).由条件知，直线 BC 的方程为4(170)3yx ，即436800 xy由于圆 M 与直线

13、BC 相切，故点 M(0，d)到直线 BC 的距离是 r，即|3680|680355ddr.因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,所以80(60)80rdrd即68038056803(60)805dddd解得1035d故当 d=10 时,68035dr最大，即圆面积最大.所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.解法二:(1)如图，延长 OA, CB 交于点 F.因为 tanBCO=43.所以 sinFCO=45，cosFCO=35.因为 OA=60,OC=170，所以 OF=OC tanFCO=6803.CF=850cos3OCFCO,从而5003AFO

14、FOA.因为 OAOC，所以 cosAFB=sinFCO=45，邵东一中5 届高三理科月考数学试题教师卷8又因为 ABBC，所以 BF=AF cosAFB=4003，从而 BC=CFBF=150.因此新桥 BC 的长是 150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与 BC 的切点为 D，连接 MD，则 MDBC，且 MD 是圆 M 的半径，并设 MD=r m，OM=d m(0d60).因为 OAOC，所以 sinCFO =cosFCO，故由(1)知，sinCFO =3,68053MDMDrMFOFOMd所以68035dr.因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,所以80(6

15、0)80rdrd即68038056803(60)805dddd解得1035d故当 d=10 时,68035dr最大，即圆面积最大.所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.20.某唱片公司要发行一张名为春风再美也比不上你的美的唱片，包含想你的夜 、 荷塘月色等 10 首创新经典歌曲。该公司计划用x（百万元）请李子恒老师进行创作，经调研知：该唱片的总利润y（百万元）与2)3(xx成正比的关系，当2x时32y.又有txx, 0)3(2，其中t是常数，且2 , 0t.(）设 yf x，求其表达式，定义域（用t表示） ；(）求总利润y的最大值及相应的x的值.【答案】 （）23,ykx x当

16、2x 时，32.8yk23248yxx定义域：0,2 3xtx6021txt (）2420yx x02xx或讨论：若6221tt，即12t 时( )f x在0 2)（ ，单调递增，在6(2,)21tt 上单调递减.所以 322max fy若6221tt，即01t 时0)(/xf，所以( )f x在60)21tt （ ，上为增函数。邵东一中5 届高三理科月考数学试题教师卷932max12864126ttttfy综上述：当21t时， 322max fy；当10t时，32max12864tty21 、2014浙江卷 已知函数 f(x)x33|xa|(aR)(1)若 f(x)在1，1上的最大值和最小值

17、分别记为 M(a)，m(a)，求 M(a)m(a)；(2)设 bR，若f(x)b24 对 x1，1恒成立，求 3ab 的取值范围22解：(1)因为 f(x)x33x3a，xa，x33x3a，xa，所以 f(x)3x23，xa，3x23，xa.由于1x1，(i)当 a1 时，有 xa，故 f(x)x33x3a，此时 f(x)在(1，1)上是增函数，因此， M(a)f(1)43a， m(a)f(1)43a， 故 M(a)m(a)(43a)(43a)8.(ii)当1a1 时，若 x(a，1)，则 f(x)x33x3a.在(a，1)上是增函数；若 x(1，a)，则 f(x)x33x3a 在(1，a)上

18、是减函数所以，M(a)maxf(1)，f(1)，m(a)f(a)a3.由于 f(1)f(1)6a2， 因此， 当1a13时， M(a)m(a)a33a4； 当13a1时，M(a)m(a)a33a2.(iii)当 a1 时，有 xa，故 f(x)x33x3a，此时 f(x)在(1，1)上是减函数，因此，M(a)f(1)23a，m(a)f(1)23a，故 M(a)m(a)(23a)(23a)4.综上，M(a)m(a)8，a1，a33a4，1a13，a33a2，13a1，4，a1.(2)令 h(x)f(x)b，则 h(x)x33x3ab，xa，x33x3ab，xa，3x23，xa.因为f(x)b24

19、 对 x1，1恒成立，即2h(x)2 对 x1，1恒成立，所以由(1)知，(i)当 a1 时，h(x)在(1，1)上是增函数，h(x)在1，1上的最大值是 h(1)43ab，最小值是 h(1)43ab，则43ab2 且 43ab2，矛盾邵东一中5 届高三理科月考数学试题教师卷10(ii)当10，t(a)在0，13 上是增函数，故 t(a)t(0)2，因此23ab0.(iii)当13a1 时， h(x)在1， 1上的最小值是 h(a)a3b， 最大值是 h(1)3ab2，所以 a3b2 且 3ab22，解得28271.21解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexln xaxex

20、bx2ex1bxex1.由题意可得 f(1)2，f(1)e，故 a1，b2.(2)证明：由(1)知，f(x)exln x2xex1，从而 f(x)1 等价于 xln xxex2e.设函数 g(x)xln x，则 g(x)1ln x，所以当 x0，1e 时，g(x)0.故 g(x)在0，1e 上单调递减，在1e，上单调递增，从而 g(x)在(0，)上的最小值为 g1e 1e.设函数 h(x)xex2e，则 h(x)ex(1x)所以当 x(0，1)时，h(x)0；当 x(1，)时，h(x)0 时，g(x)h(x)，即 f(x)1.102014浙江卷 设函数 f1(x)x2，f2(x)2(xx2)，f3(x)13|sin 2x|，aii99，i0，1，2，99.记 Ik|fk(a1)fk(a0)|fk(a2)fk(a1)