高考卷06普通高等学校招生全国统一考试湖北卷.理含详解

1、2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1至2页，第卷3至4页，共4页。全卷共150分。考试用时120分钟。第卷（选择题 共50分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2. 每小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。在每个小题给出的四个选项中，

2、只有一项是符合题目要求的。1已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则 ( b )a（） b（） c（） d（）2.若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则 ( d )a4 b2 c2 d43.若的内角满足，则 ( a )a. b c d4设，则的定义域为 ( b )a b c d5在的展开式中，的幂的指数是整数的项共有 ( c ) a3项 b4项 c5项 d6项6关于直线与平面，有以下四个命题： 若且，则；若且，则；若且，则；若且，则；其中真命题的序号是 ( d )a b c d7设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是 (

3、d )a bc d8有限集合中元素的个数记做，设都为有限集合，给出下列命题：的充要条件是；的充要条件是；的充要条件是；的充要条件是；其中真命题的序号是 ( b )a b c d9已知平面区域d由以为顶点的三角形内部边界组成。若在区域d上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则 (c )a2 b1 c1 d410关于的方程，给出下列四个命题： ( a )存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是a0 b1 c2 d3第卷（非选择题 共100分）注意事项：第卷用0.5毫米黑

4、色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。11设为实数，且，则 4 。12接种某疫苗后，出现发热反应的概率为080，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 0.94 。（精确到001）13已知直线与圆相切，则的值为 18或8 。14某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 20 。（用数字作答）15将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如右图所示的分数

5、三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中 r1 。令，则 。三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16（本小题满分12分）设函数，其中向量，。（）、求函数的最大值和最小正周期；（）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。 点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。 解：()由题意得，f(x)a(b+c)=(sinx,cosx)(sinxcosx,sinx3cosx) sin2x2sinxcosx+3cos2x2+cos2xsin2x

6、2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是.（）由sin(2x+)0得2x+k.，即x,kz，于是d（，2），kz.因为k为整数，要使最小，则只有k1，此时d（，2）即为所求.17（本小题满分13分）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）、求数列的通项公式；（）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2

7、,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，ansnsn1（3n22n）6n5.当n1时，a1s13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故tn（1）.因此，要使（1）（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.18（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。（）、试确定，使直线与平面所成角的正切值为；（）、在线段上是否存在一个定点q，使得对任意的，d1q在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理

8、运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。解法1：（）连ac，设ac与bd相交于点o,ap与平面相交于点，,连结og，因为pc平面，平面平面apcog,故ogpc，所以，ogpc.又aobd,aobb1，所以ao平面，故ago是ap与平面所成的角.在rtaog中，tanago，即m.所以，当m时，直线ap与平面所成的角的正切值为.（）可以推测，点q应当是aici的中点o1，因为d1o1a1c1, 且 d1o1a1a ，所以 d1o1平面acc1a1，又ap平面acc1a1，故 d1o1ap.那么根据三垂线定理知，d1o1在平面apd1的射影与ap垂直。19（本小题满分10分）在某校举行的数

9、学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。（）、试问此次参赛学生总数约为多少人？（）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250

10、.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。解：（）设参赛学生的分数为，因为n(70，100)，由条件知，p(90)1

11、p（90）1f(90)11(2)10.97720.228.这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28，因此，参赛总人数约为526（人）。（）假定设奖的分数线为x分，则p(x)1p（x）1f(90)10.0951，即0.9049，查表得1.31，解得x83.1.故设奖得分数线约为83.1分。20（本小题满分14分）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。（）、求椭圆的方程；（）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。（此题不要求在答题卡上画图）点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面

12、解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。解：（）依题意得 a2c，4，解得a2，c1，从而b.故椭圆的方程为 .（）解法1：由（）得a（2，0），b（2，0）.设m（x0，y0）.m点在椭圆上，y0（4x02）. 又点m异于顶点a、b，2x00，0，则mbp为锐角，从而mbn为钝角，故点b在以mn为直径的圆内。解法2：由（）得a（2，0），b（2，0）.设m（x1，y1），n（x2，y2），则2x12，2x22，又mn的中点q的坐标为（，），依题意，计算点b到圆心q的距离与半径的差(2）2（）2(x1x2)2(y1y2)2 （x12) (x22)y1y1 又

13、直线ap的方程为y，直线bp的方程为y，而点两直线ap与bp的交点p在准线x4上，即y2 又点m在椭圆上，则，即 于是将、代入，化简后可得.从而，点b在以mn为直径的圆内。21（本小题满分14分）设是函数的一个极值点。（）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（）、设，。若存在使得成立，求的取值范围。 点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。解：（）f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得b32a，则 f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3x(x3)(xa+1)

14、e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是极值点，所以x+a+10，那么a4.当a3x1，则在区间（，3）上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间（a1，）上，f (x)4时，x23x1，则在区间（，a1）上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间（3，）上，f (x)0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而f (0)（2a3）e30，f (3)a6，那么f (x)在区间0，4上的值域是（2a3）e3，a6.又在区间0，4上是增函数，且它在区间0，4上的值域

15、是a2，（a2）e4，由于（a2）（a6）a2a（）20，所以只须仅须（a2）（a6）0，解得0a0，可知a这锐角，所以sinacosa0，又，故选a4设，则的定义域为 ( b )a b c d解：f（x）的定义域是（2，2），故应有22且22解得4x1或1x0，b0，于是，由可得ax，b3y，所以x0，y0又（a，b）（x，3y），由1可得故选d8有限集合中元素的个数记做，设都为有限集合，给出下列命题：的充要条件是；的充要条件是；的充要条件是；的充要条件是；其中真命题的序号是 ( b )a b c d解：集合a与集合b没有公共元素，正确集合a中的元素都是集合b中的元素，正确集合a中至少有一个

16、元素不是集合b中的元素，因此a中元素的个数有可能多于b中元素的个数，错误集合a中的元素与集合b中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，错误选b9已知平面区域d由以为顶点的三角形内部以及边界组成。若在区域d上有无穷多个点可使目标函数zxmy取得最小值，则 (c )a2 b1 c1 d4解：依题意，令z0，可得直线xmy0的斜率为，结合可行域可知当直线xmy0与直线ac平行时，线段ac上的任意一点都可使目标函数zxmy取得最小值，而直线ac的斜率为1，所以m1，选c10关于的方程，给出下列四个命题： ( a )存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数，使得方程恰有

17、4个不同的实根；存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是a0 b1 c2 d3解：关于x的方程可化为（1）或（1x1）（2） 当k2时，方程（1）的解为，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根 当k时，方程（1）有两个不同的实根，方程（2）有两个不同的实根，即原方程恰有4个不同的实根 当k0时，方程（1）的解为1，1，方程（2）的解为x0，原方程恰有5个不同的实根 当k时，方程（1）的解为，方程（2）的解为，即原方程恰有8个不同的实根选a第卷（非选择题 共100分）注意事项：第卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在

18、试题卷上无效。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。11设为实数，且，则 4 。解：，而 所以，解得x1，y5，所以xy4。12接种某疫苗后，出现发热反应的概率为080，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 0.94 。（精确到001）解：p0.9413已知直线与圆相切，则的值为 18或8 。解：圆的方程可化为，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，由已知可得，所以的值为18或8。14某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程

19、的不同排法种数是 20 。（用数字作答）解：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有20种不同排法。15将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中 r1 。令，则解：第一个空通过观察可得。（11）（）（）（）（）（）（1）（）2（）（1）（）（）（）1所以三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16（本小题满分12分）设函数，其中向量，。（）、求函数的最大值和最小正周期；（）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小

20、的。 点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。 解：()由题意得，f(x)a(b+c)=(sinx,cosx)(sinxcosx,sinx3cosx) sin2x2sinxcosx+3cos2x2+cos2xsin2x2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是.（）由sin(2x+)0得2x+k.，即x,kz，于是d（，2），kz.因为k为整数，要使最小，则只有k1，此时d（，2）即为所求.17（本小题满分13分）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）、求数

21、列的通项公式；（）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，ansnsn1（3n22n）6n5.当n1时，a1s13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故tn（1）.因此，要使（1）（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10

22、.18（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。（）、试确定，使直线与平面所成角的正切值为；（）、在线段上是否存在一个定点q，使得对任意的，d1q在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。解法1：（）连ac，设ac与bd相交于点o,ap与平面相交于点，,连结og，因为pc平面，平面平面apcog,故ogpc，所以，ogpc.又aobd,aobb1，所以ao平面，故ago是ap与平面所成的角.在rtaog中，tanago，即m.所以，当m时，直线ap与平

23、面所成的角的正切值为.（）可以推测，点q应当是aici的中点o1，因为d1o1a1c1, 且 d1o1a1a ，所以 d1o1平面acc1a1，又ap平面acc1a1，故 d1o1ap.那么根据三垂线定理知，d1o1在平面apd1的射影与ap垂直。19（本小题满分10分）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。（）、试问此次参赛学生总数约为多少人？（）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表01234567891.21.31.41.92.02.10.88490

24、.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.

25、97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。解：（）设参赛学生的分数为，因为n(70，100)，由条件知，p(90)1p（90）1f(90)11(2)10.97720.228.这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28，因此，参赛总人数约为526（人）。（）假定设奖的分数线为x分，则p(x)1p（x）1f(90)10.0951，即0.9049，查表得1.31，解得x83.1.故设奖得分数线约为83.1分。20（本小题满分14分）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。（）、求椭圆的方程；（）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。（此题不要求在答题卡上画图）点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。解：（）依题意得 a2c，4，解得a2，c1，从而b.故椭圆的方程为 .（）解法1：由（）得a（2，0），b（2，0）.设m（x0