大学物理第2版朱峰主编3—2

1、3.2.1 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律3.2 刚体定轴转动动力学刚体定轴转动动力学3.2.2 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理3.2.4 例题分析例题分析3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律3.2.1 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律1. 力矩力矩对于定点转动而言：对于定点转动而言： MFdM rmF do遵守右手螺旋定则它的方向,FrM sinFr 对于定轴转动而言：对于定轴转动而言： zorFP/F FFrM Fr注意注意: : ( (1) )力矩是对点或对轴而言的力矩是对点或对轴而言的; ( (2) )由于是定轴转

2、动由于是定轴转动, ,力矩只有两个方向力矩只有两个方向, ,因因此此一般规定，使刚体逆时针绕定轴转动一般规定，使刚体逆时针绕定轴转动时时 ；使刚体顺时针绕定轴转动时；使刚体顺时针绕定轴转动时 . . 0 M0 M2. 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 对质元对质元 ，由，由牛顿第二运动定律得牛顿第二运动定律得 im iiamFF 内内力力外外力力zoir内力内力Fi im i 外力外力F ,其中其中 是质元是质元 绕绕轴作圆运动的加速度，轴作圆运动的加速度，写为分量式如下：写为分量式如下： iaim iiiiiniiiamFFamFFsinsincoscos内内力力外外力力内内力力

3、外外力力 其中其中 和和 是质元是质元 绕轴作圆运动绕轴作圆运动的法向加速度和切向加速度，所以的法向加速度和切向加速度，所以 ina iaim iiiiiiiirmFFrmFFsinsincoscos2内力内力外力外力内力内力外力外力切向：切向：法向：法向： 2sinsiniiiiiirmrFrF 内内力力外外力力法向力的作用线过转轴法向力的作用线过转轴, ,其力矩为零其力矩为零. . iiiiiiiiirmrFrF2sinsin内内力力外外力力内力矩为零内力矩为零外力矩为外力矩为M J转动惯量转动惯量 JM 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 转动惯量是刚体作转动时对惯性的量度转动

4、惯量是刚体作转动时对惯性的量度描述描述. . 3. 转动惯量转动惯量 iiirmJ2 mdmrJ2适用于离散分布刚体转动惯量的计算适用于离散分布刚体转动惯量的计算适用于连续分布刚体转动惯量的计算适用于连续分布刚体转动惯量的计算 在国际单位制在国际单位制（SI）中，转动惯量的单中，转动惯量的单位为千克二次方米，即位为千克二次方米，即 . . 2mkg 刚体转动惯量的大小与下列因素有关：刚体转动惯量的大小与下列因素有关： （1）形状大小分别相同的刚体形状大小分别相同的刚体, ,质量大质量大的转动惯量大；的转动惯量大； （2）总质量相同的刚体，质量分布不同，总质量相同的刚体，质量分布不同，离轴越远转

5、动惯量越大；离轴越远转动惯量越大； （3）对同一刚体而言，转轴不同，质量对同一刚体而言，转轴不同，质量对轴的分布就不同，转动惯量的大小就不同对轴的分布就不同，转动惯量的大小就不同. . 3.2.4 例题分析例题分析mM 1.一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量分别为分别为m 和和M 的物体，且的物体，且 . . 滑轮可滑轮可看作是质量均匀分布的圆盘，其质量为看作是质量均匀分布的圆盘，其质量为 ，半径为半径为R ，转轴垂直于盘面通过盘心，如，转轴垂直于盘面通过盘心，如图所示图所示. .由于轴上有摩擦，滑轮转动时受到由于轴上有摩擦，滑轮转动时受到了摩擦阻力矩了摩擦阻力矩

6、 的作用的作用. . 设绳不可伸长设绳不可伸长且与滑轮间无相对滑动且与滑轮间无相对滑动. .求物体的加速度及求物体的加速度及绳中的张力绳中的张力. . 阻阻Mm mG1TMG2T1a2a阻阻MRm mMo 解解 受力分析如图所示受力分析如图所示. .对于上下作平动的两物体，对于上下作平动的两物体，可以视为质点，由牛顿第可以视为质点，由牛顿第二运动定律得二运动定律得 2211MaTMgMmamgTm：对对：对对 若以顺时针方向转的若以顺时针方向转的力矩为正，逆时针转的方力矩为正，逆时针转的方向为负，则由刚体定轴转向为负，则由刚体定轴转动的转动定律得动的转动定律得 21221RmJMRTRT阻阻

7、Raaaa 21 据题意可知，绳与滑轮间无相对滑动，据题意可知，绳与滑轮间无相对滑动，所以滑轮边缘上一点的切向加速度和物体的所以滑轮边缘上一点的切向加速度和物体的加速度相等，即加速度相等，即 联立以上三个方程，得联立以上三个方程，得 2)(mmMRMgmMa 阻阻2)22()(1mmMRmMmgmMagmT 阻阻2)22()(2mmMRMMMgmmagMT 阻阻 注意：注意：当不计滑轮的质量和摩擦阻力矩当不计滑轮的质量和摩擦阻力矩时，此时有时，此时有 ，物理学中称这样的滑轮，物理学中称这样的滑轮为为“理想滑轮理想滑轮”，称这样的装置为，称这样的装置为阿特伍德阿特伍德机机. . 21TT 2.求

8、长为求长为L ，质量为，质量为m 的均匀细棒的均匀细棒AB 的的转动惯量转动惯量. . （2）对于通过棒的中点与棒垂直的轴对于通过棒的中点与棒垂直的轴. . （1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴；对于通过棒的一端与棒垂直的轴；解解 （1）如图所示，以过如图所示，以过A 端垂直于棒的端垂直于棒的 为轴，沿棒长方向为为轴，沿棒长方向为x 轴，原点在轴上，在轴，原点在轴上，在棒上取长度元棒上取长度元 ，则由转动惯量的定义有，则由转动惯量的定义有: :dxoo xo odxxdmLAB mdmxJ2端点端点 LdxLmx02231mL （2）如图所示，以过如图所示，以过中点中点垂直于棒的垂直于棒的 为轴

9、，沿棒长方向为为轴，沿棒长方向为x 轴，原点在轴上，在轴，原点在轴上，在棒上取长度元棒上取长度元 ，则由转动惯量的定义有，则由转动惯量的定义有: :dxoo mdmxJ2端点端点 222LLdxLmx2121mL xo odxxdm2LAB2LRo 3.试求质量为试求质量为m 、半径为、半径为R 的匀质圆环的匀质圆环对垂直于平面且过中心轴的转动惯量对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. . dm解解 作示意图如右作示意图如右, ,由于质由于质量连续分布，所以由转动量连续分布，所以由转动惯量的定义得惯量的定义得 mdmRJ2 RdlRmR 20222mR lo 4.试求质量为试求质量为m 、半径为、

10、半径为R 的匀质圆盘的匀质圆盘对垂直于平面且过中心轴的转动惯量对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. . rRdr解解 如图所示如图所示, , 由于质由于质量连续分布，设圆盘的量连续分布，设圆盘的厚度为厚度为l，则圆盘的质量，则圆盘的质量密度为密度为 lRm2 mdmrJ2 Rldrrr022 lR421 221mR 例5：电风扇接通电源后一般经5s后到达定额转速n0=300r.min-1，而关闭电源后经10s后风扇停止转动，已知电风扇的转动惯量为0.5kg.m2，设起动时的电磁力矩M和各种阻力矩Mf均为常数，求起动时的电磁力矩M。 例6：如图，质量均为m的两物体A、B，A放在倾角为的光滑斜面上，

11、通过定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连。定滑轮是半径为R的圆盘，其质量也为m。物体运动时，绳与滑轮无相对滑动。求绳中张力T1和T2及物体的加速度a（轮轴光滑）AB3.2.2 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理1. 刚体定轴转动的动能刚体定轴转动的动能( 转动动能转动动能 ) oo irim iv对于第对于第i 个质元个质元, ,动能为动能为221iikivmE 2221 iirm NikikEE121221 Niiirm对于整个刚体对于整个刚体, ,动能为动能为221 J 2. 刚体定轴转动时力矩所做的功及功率刚体定轴转动时力矩所做的功及功率oyxr dPrd FrdFdW dsF)co

12、s( dFr)sin( MddW 0MdW MdtdMdtdWN 3. 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理0kkkEEEWW 内内力力外外力力,0 MdW外力外力, 0 内内力力W,21200 JEk .212 JEk 20222121210 JJMdJdMd积积分分形形式式：微微分分形形式式： 5. 如图所示，一质如图所示，一质量为量为M 、半径为、半径为R 的匀的匀质圆盘形滑轮，可绕一质圆盘形滑轮，可绕一无摩擦的水平轴转动无摩擦的水平轴转动. . 圆盘上绕有质量可不计圆盘上绕有质量可不计绳子，绳子一端固定在绳子，绳子一端固定在滑轮上，另一端悬挂一滑轮上，另一端悬挂一质量为质量为m

13、 的物体，问物的物体，问物体由静止落下体由静止落下h 高度时高度时, ,物体的速率为多少？物体的速率为多少？ RMh 物体下降的加速度的物体下降的加速度的大小就是转动时滑轮边缘大小就是转动时滑轮边缘上切向加速度，所以上切向加速度，所以GTao RMh 解法一解法一 用牛顿第二运动用牛顿第二运动定律及转动定律求解定律及转动定律求解. .分分析受力如图所示析受力如图所示. . 对物体对物体m用牛顿第二用牛顿第二运动定律得运动定律得 maTmg 对匀质圆盘形滑轮用对匀质圆盘形滑轮用转动定律有转动定律有 JTR 物体物体m 落下落下h 高度时的速率为高度时的速率为 Ra ahv2 221MRJ 圆盘的

14、转动惯量为圆盘的转动惯量为 联立以上五式，可得物体联立以上五式，可得物体m 落下落下h 高度高度时的速率为时的速率为mMmghv22 .2gh小于物体自由下落的速率小于物体自由下落的速率解法二解法二 利用动能定理求解利用动能定理求解. . 对于物体对于物体m 利用质点的动能定理有利用质点的动能定理有2022121mvmvThmgh 其中其中 和和 是物体的初速度和末速度是物体的初速度和末速度. . 0vv对于滑轮由刚体定轴转动的转动定理有对于滑轮由刚体定轴转动的转动定理有2022121 JJTR 其中其中 是在拉力矩是在拉力矩TR 的作用下滑轮转的作用下滑轮转过的角度，过的角度， 和和 是滑轮

15、的初末角速度是滑轮的初末角速度. . 0 由于滑轮和绳子间无相对滑动，所以物由于滑轮和绳子间无相对滑动，所以物体落下的距离应等于滑轮边缘上任意一点所体落下的距离应等于滑轮边缘上任意一点所经过的弧长，即经过的弧长，即 . . Rh, 00 v又又因因为为, 00 ,Rv .212MRJ 联立以上各式，可得物体联立以上各式，可得物体 m 落下落下h 高度高度时的速率为时的速率为mMmghv22 解法三解法三 利用机械能守恒定律求解利用机械能守恒定律求解. . 若把滑轮、物体和地球看成一个系统，若把滑轮、物体和地球看成一个系统，则在物体落下、滑轮转动的过程中，绳子的则在物体落下、滑轮转动的过程中，绳

16、子的拉力拉力T 对物体做负功对物体做负功（ ），对滑轮做正，对滑轮做正功功（ ）即内力做功的代数和为零，所以即内力做功的代数和为零，所以系统的机械能守恒系统的机械能守恒. . Th Th 若把系统开始运动而还没有运动时的状若把系统开始运动而还没有运动时的状态作为初始状态，系统在物体落下高度态作为初始状态，系统在物体落下高度h 时时的状态作为末状态，则的状态作为末状态，则 0212121222 mghmvRvMR解之可得物体解之可得物体 m 落下落下h 高度时的速率高度时的速率. .3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律1. 角动量角动量( 动量矩动量矩 ) 对于定

17、点转动而言：对于定点转动而言： LPrL rmvmP sinro vmr 在国际单位制在国际单位制（SI）中，角动量的单位为中，角动量的单位为12smkg irim ivzLiiiivmrL krmii 2 对于绕固定轴对于绕固定轴oz 转转动的整个刚体而言动的整个刚体而言: : 对于绕固定轴对于绕固定轴oz的的转动的质元转动的质元 而言而言: : im JrmLNiii 2 角动量的方向沿轴的正向或负向角动量的方向沿轴的正向或负向, ,所以所以可用代数量来描述可用代数量来描述. . 2. 角动量定理（动量矩定理）角动量定理（动量矩定理） dtdJM dtJd dtdL dLJdMdt 微微分

18、分形形式式：00 JJMdttt 积积分分形形式式：00LLMdttt 或或3. 角动量守恒定律角动量守恒定律 0 M若：若： .0常常量量或或，则则： JLJddL即系统所受的合外力矩为零即系统所受的合外力矩为零.角动量守恒的条件角动量守恒的条件 角动量守恒的内容角动量守恒的内容 注意：注意：在推导角动量守恒定律的过程中在推导角动量守恒定律的过程中受到了刚体、定轴等条件的限制，但它的适受到了刚体、定轴等条件的限制，但它的适用范围却远远超过了这些限制用范围却远远超过了这些限制. . 如如: : 滑冰运动员的表演滑冰运动员的表演. . 3.2.4开普勒定律开普勒定律 1.开普勒第一定律 每一行星

19、绕太阳作椭圆轨道运动,太阳是椭圆轨道的一个焦点.-轨道定律 2.开普勒第二定律 行星运动过程中,行星相对于太阳的位置矢量在相等的时间内扫过的面积相等.-面积定律 3.开普勒第三定律 行星绕太阳公转时,椭圆轨道半长轴的立方与公转周期的平方成正比,即 -周期定律 为开普勒常数。其中2234.sMGkkTa 6. 哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个椭圆，如图所示，它距离太阳最近的距离是椭圆，如图所示，它距离太阳最近的距离是 , , 速率速率；它离太阳最远时的速率；它离太阳最远时的速率，这时它离太阳的距离，这时它离太阳的距离 m1075. 810 近近日日r1-4sm10

20、46. 5 近近日日v1-2sm1008. 9 远远日日v？远远日日 r远日远日v近日近日v近日近日r远日远日r解解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了彗星受太阳引力的作用，而引力通过了太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运行的过程中角动量守恒行的过程中角动量守恒. . 于是有于是有 远远日日远远日日近近日日近近日日vrvr 远日远日远日远日近日近日近日近日，因为因为vrvr 远远日日近近日日近近日日远远日日所所以以vvrr m1026. 512 远日远日r代入数据可代入数据可, 得得 7 已知银河系中有一天体是均匀球体已知银河系中有一天体是均匀球体,现现

21、在半径为在半径为R,绕对称轴的自转周期为绕对称轴的自转周期为T,由由于引力凝聚于引力凝聚,它的体积不断收缩但质量它的体积不断收缩但质量M不变不变.假定一万年后它的半径缩小为假定一万年后它的半径缩小为r,试试问一万年后它的自转周期比现在大还是问一万年后它的自转周期比现在大还是比现在小比现在小? 8.如图所示，一个长为如图所示，一个长为l 、质量为、质量为M 的的匀质杆可绕支点匀质杆可绕支点o自由转动自由转动. .一质量为一质量为m 、速、速率为率为v 的子弹以与水平方向成角的子弹以与水平方向成角 的方向射的方向射入杆内距支点为入杆内距支点为a 处，使杆的偏转角为处，使杆的偏转角为 . . 问子弹

22、的初速率为多少？问子弹的初速率为多少？ 060030解解 把子弹和匀质杆作为把子弹和匀质杆作为一个系统一个系统, , 分析可知在碰分析可知在碰撞过程中角动量守恒撞过程中角动量守恒. . 设子弹射入杆后与杆设子弹射入杆后与杆一同前进的角速度为一同前进的角速度为 , ,则则 030060lav 2203160cosmaMlavm 子弹在射入杆后与杆一起摆动的过程中子弹在射入杆后与杆一起摆动的过程中只有重力做功，所以由子弹、杆和地球组成只有重力做功，所以由子弹、杆和地球组成的系统机械能守恒，因此有的系统机械能守恒，因此有 0022230cos1230cos13121 lMgmgamaMl 联立上述这两个方程得子弹的初速率为联立上述这两个方程得子弹的初速率为 22326322maMlmaMlgmav 9. 如图所示，一根质量为如图所示，一根质量为M 、长为、长为2l 的的均匀细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心均匀细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心的光滑水平轴转动，开始时细棒静止于水平的光滑水平轴转动，开始时细棒静止于水平位置位置. . 今有一质量为今有一质量为m 的小球，以速度的小球，以速度 垂垂直向下落到了棒的端点，设小球与棒的碰撞直向下落到了棒的端点，设小球与棒的碰撞为完全弹性碰撞为完全弹性碰撞. . 试求碰撞后小球的回跳速试求碰撞后小球的回跳速度度 及棒绕轴转