解非线性方程二分法和牛顿法

1、非线性方程求根非线性方程求根 / solutions of nonlinear equations /邹昌文邹昌文 的的正正根根考考虑虑三三次次方方程程03x3xxxf23 )(032f041f )(,)(,*21x 正正根根?).(,. 51f51221考考查查取取中中点点二分法二分法 / bisection method /原理：原理：若若 f ca, b，且，且 f (a) f (b) 0，则，则 f 在在 (a, b) 上必有一根。上必有一根。abx1x2abwhen to stop?11xxkk 2)(xf 或或不能保证不能保证 x 的精的精度度x* 2xx*误误差差估估计计二二分分

2、法法的的收收敛敛性性分分析析与与 能能否否收收敛敛到到根根考考察察二二分分法法构构造造的的点点列列，某某根根为为设设方方程程)(*)()(,)(kx0bfafbax0 xf )()(ba21x1 )(*)(ab21xx1 )()(*)(ab21ab2121xx22 )(*)(ab21xxkk 0 xxkk )(lim*)(简单简单; 对对f (x) 要求不高要求不高(只要连续即可只要连续即可) .无法求复根及偶重根无法求复根及偶重根 收敛慢收敛慢 用二分法求根，最好先给出用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大草图以确定根的大概位置。或用搜索程序，将概位置。或用搜索程序，将a,

3、b分为若干小区间，对每分为若干小区间，对每一个满足一个满足 f (ak)f (bk) 0 的区间调用二分法程序，可找出的区间调用二分法程序，可找出区间区间a, b内的多个根，且不必要求内的多个根，且不必要求 f (a)f (b) 0 。总结总结？，则至少要迭代多少次，则至少要迭代多少次求准确到求准确到求模最小的实根，若要求模最小的实根，若要的有根区间，用二分法的有根区间，用二分法例：求方程例：求方程3231007741x838x111xxf .)( 的的符符号号计计算算，结结果果如如下下：解解：对对方方程程的的根根做做搜搜索索)(xf6543210 x,6543323个有根区间为：个有根区间为

4、：,32 显显然然模模最最小小的的实实根根3k102321 )(10k1023k 牛顿法牛顿法/ newton - raphson method /0 x0 xf选选择择一一估估计计值值为为起起点点考考虑虑方方程程 )()()( )()(20000 xxoxxxfxfxftaylor 展展开开)( )()(000 xxxfxfxl 令令截断到一阶截断到一阶原理：原理：将非线性方程线性化将非线性方程线性化 taylor 展开展开 / taylors expansion /的的根根的的根根近近似似代代替替用用0 xf0 xl )()()( )(,)( )(00010 xfxfxx0 xf 当当)( )(,)( )(）（）（）（）（同同理理，当当11121xfxfxx0 xf )( )(,)( )(）（）（）（）（，当，当kkk1kkxfxfxx0 xf 几何意义几何意义收敛性分析收敛性分析 0 xfcxfxxk )( ,)( ,*)(且且若若点点列列)( )(*xfxfxxk