用分离变量法解常微分方程

1、用分离变量法解常微分方程1直接可分离变量的微分方程1. 1形如(1.1)少=f x dx分别是的连续函数.的方程，称为变量分离方程，这里f x如果(y)工0,我们可将(1.1 )改写成虬=f X d(y)这样，变量就“分离”开来了 .两边积分，得到通解：-d(x)f(x)dx +c.(1.2)其中，c表示该常数,%，f(x)dx分别理解为,f x的原函数.常数(y)c的取值必须保证(1.2 )有意义.使 y0的y yo是方程(1.1)的解.例1求解方程 1 x2 dy1y2dx0的通解.dx.1(x 1，y 叭解：(1)变形且分离变量：dy1 y2(2)两边积分:dy2ydx=x7 c，arc

2、sin yarcs in x c.可以验证y1也是原方程的解，若视x和y是平等的，则x 1也是原方程的解.我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题.例2曲线L上的点P(x, y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平 分.求曲线L的方程.分析：这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ的方欢迎下载17程，用大写的(X,Y)表示法线上的动点，用小写的表示曲线L上的点，法为过点P(x,y)的法线的斜率.解：由题意得从而法线PQ的方程为1Y y (X x).y又PQ被y轴平分,PQ与y轴交点M的坐标为0上，代入上式，得22y 丄（o x）.2 y整理后，得yy 2x，分离变

3、量，解得其中c为任意正数，如图1.2变量可替换的微分方程2 x通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程下面，我们再介绍几种可化为变量分离方程的类型2. 1齐次方程形如dydx(1. 3)的微分方程，称为齐次微分方程.这里(u)是u的连续函数.对方程(1.3)做变量变换1.4)即y ux，于是dydxdu x -dx1. 5)将(1.4),(1.5) 代入(1.3)，则原方程变为dux -dx(u)，整理后，得到du(u) udx x1.6)方程(1.6 )是一个变量分离方程.可按前面(1.1)的方法求解，然后代回原来的变量，便得到(1.3)的解.例3求微分方程dydxxydy的通解

4、. dx解：原方程化为2xy xdydxdydxyxy 1x于是，令u丄，即yxxu ,u巴代入该方程，得dxduxdx整理，即有dux -dx分离变量，得duudxx两边积分，得u In uIn x将u 代回来，得xInCiIn “y ,Ciy_ycex，其中c为任意常数.的通解为y0即yycex.0也是原方程的解，但此解课包含于通解 c 0之中.故,方程2. 2形如(1.7)dy aix bi y Cidx a2X b2y C2的方程，这里ai1a21bi,b21ci1c2均为常数.此方程经变量变换可化为变量分离方程.我们分三种情形来讨论:2.2.1巴巴9 k常数的情形.b1 b2 c2这

5、时方程化为dy kdx有通解y kx c,其中c为任意的常数2. 2.2岂幻k勺的情形.b?C2令u a?x b?y，这时有du, dy, ku Cia? b?a? b2 -dxdxu c2是变量分离方程.2. 2. 3鱼b1的情形.bib2如果方程2.1中Ci,C2不全为零，方程右端分子、分母都是x,y的一次多项式,因此(1.8)-aix b2y Ci 0， -a2x b2y c20.代表Oxy平面上两条相交直线，设交点，.若令Xx ， L Y y则（2.2）化为a1X b1Y 0，a2 Xb2Y0.从而（2. 1）变为dXa2 X b2Y1. 9)因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量

6、即可得原方程（2.1)如果方程（2.1 ）中0可不必求解（2.2），直接取变换u上述解题的方法也适用于比方程（2.1 ）更一般的方程类型例4求解方程解：解方程组146，y 3于是，令代入方程（2.4），则有Y 再令u X，即丫 uX，两边积分，得因此dydxdydxa1x b1y Ga2x b2y c22x 2y 36x 6y 72x 2y 30,6xdydx则2.5化为lnX26y7 0,16 ,4J32X 2Y6X 6YdXXdu，1 2u u2ln u2 2u 1，X2 u22u 1 ec1，的解.丄即可.x(2. 0)2.1代回原变量，得CC2 4-3XyYX 1 - 62XY 224

7、 一 3y47x 18因此，方程（2.3 ）的通解为2xy2y其中，c为任意常数.通过上述的求解，我们发现以上的方法是非常的准确的， 但是对于像例5这种形式的的方程，我们发现还可以用另一种方法一一凑微分进行求解.凑微分当方程dy aix bi y Cidx a2x b2y c2满足：aib2（ 2.2）时，方程会有更简便的求解方法（全微分的知识的运用）.即：将a2d代入方程史a1xbiy J 中dxa2xb2yc2有dyaix a2ycidxa2x b2y c2即(aix biyCi)dx(a2X b2y C2)dy展开，得a1 xdx b| ydxc1dxa2xdy b2ydy c2dy（2

8、.3）有条件(2.6)可知，a2d(xy) a2xdy a2ydx a2xdy ddx(2.4)将(2.8)代入(2.7)中，得2 2d(2a2xy dy2c2y a1x2c1x) 0.很显然，这是一个全微分方程，从而原方程的通解为2a2xy b2y2 2c2y a1x2 2c1x C，其中 C 为任意常数. 例5求解方程眇.dx x y 8解法一：该方程属于(2.2.2)的情形.于是，令u x y.则du dx dy 所以，原方程可化为du 3dx u 8这是一个分离变量方程.整理可得u216u 6x.将u x y代入，可得(x y)216(x y) 6x即，通解为x2 y2 2xy 10x

9、 16y c .其中c为任意常数.观察例6可以发现，方程也满足条件(2.6)，于是用凑微分的方法同样可以 求解.解法二：原方程变形为(x y 8)dy(x y 5)dx.整理得(xdy ydy) ydy 8dy xdx 5dx 0.所以d(xy 1 y2 8y 1 x2 5x)0.两边积分，得原方程的通解为xy - y 8y - x 5x=C，其中C为任意常数.2 2以上的两种方法都是求解微分方程的常用方法，下面再介绍几种比较常见的课分离变量的方程.2.3 形如 dX hfaxby c的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，这里的a,b,c均为常数.做变量变换ax by这时有i dydxdud

10、xdx.dub f是变量分离方程.而当1时,dydxaxbyc为其特殊形式.例7求解方程dxxy解：因为dydxxy2.5)可以化为dydx于是，令y2 12. 6)巴 2x 2y巴 2x 2xu,dxdx2. 7)将(2. 9)代入(2. 11)可以知道，这是一个分离变量方程.12udu xdx.两边同时积分，得In uCi.2. 8)再将(2. 10)代入(2. 12)，得ln x2所以ex2 c整理得,22 Cex，其中C为任意常数.2. 4其他几种变量能分离的方程类型2. 4. 1形如yf xy dx xg xy dy0,(2.9)的方程同样可已经变量替换化为变量分离方程将(2. 13

11、)变形为3.0)dyxg xydxyf xy做变量替换u xy.这时有3. 1), xdu udxdy x将(2. 15)代入(2. 14)中，得型 du Idx. ug u uf u xx2dyf xy ,3. 2)是变量分离方程.2. 4. 2形如的方程是变量分离方程做变量替换则代入原方程，得u xy ,dy xdu udxdxx2(3. 3)du丄dx.x是变量分离方程.2. 4. 3形如dydxx3. 4)的方程是变量分离方程做变量替换则，有3. 5)2dy x du 2xudx ,将(2. 19)代入(2. 18)中，得!dx，x所以，原方程同样是变量可替换方程2. 4. 4形如（其中满足可令dy ax）的方程.，方程（2.20）化为齐次方程by3. 6)dz 1 dx事实上,由于dz xdx所以dydxbybzdzdxaxdzdx，bz ，bz，dzdx再，设，可化为变量