类对面积的曲面积分

1、10.4 第一类第一类(对面积对面积)的的曲面积分曲面积分surface integral概念的引入概念的引入对面积的曲面积分的定义对面积的曲面积分的定义对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法小结小结 思考题思考题 作业作业第第1010章章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分实例实例解解 第一步第一步: : 将将分为许多分为许多极其微小的子域极其微小的子域,以以ds为为代表代表,ds的质量为的质量为:mmd 第二步第二步: : 求和取极限求和取极限.d),( szyxm 则则szyxd),( ,d),(szyx 取取 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面

2、有切平面,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时,切平面也连续转动切平面也连续转动. .它的面密度为连续函数它的面密度为连续函数),(zyx 求它的质量求它的质量.一、概念的引入一、概念的引入曲面构件质量曲面构件质量若曲面若曲面是是光滑光滑的的,1. 定义定义上上任任为为设设点点iiiis ),( ,),(iiiisf ,),(1iiiniisf ,0时时 函数函数 f (x, y, z)在在上上意取定的点意取定的点,并作和并作和如果当各小块曲面的直径如果当各小块曲面的直径这和式的极限存在这和式的极限存在, 则则的最大值的最大值(1)(2)(3)(4)二、对面积的曲面积分的定义二、对

3、面积的曲面积分的定义第第i 小块曲面的面积小块曲面的面积),作乘积作乘积设曲面设曲面是是(si同时也表示同时也表示有界有界.把把 任意分成任意分成n小块小块si xyoz ),(:yxzz ),(iii ) ,(ii is xydxyi)( 光滑的光滑的,定义定义10.3或或.d),( szyxf记为记为即即如曲面是如曲面是 曲面面积元素曲面面积元素被积函数被积函数则积分号写成则积分号写成iiiniisf ),(lim10 szyxfd),(积分曲面积分曲面iiiniisf ),(1 称称极限为函数极限为函数f (x, y, z)在在对面积的曲面积分对面积的曲面积分第一类曲面积分第一类曲面积分

4、. .闭曲面闭曲面, ,曲面曲面上上2. 存在条件存在条件若若是分片光滑曲面是分片光滑曲面,今后今后, 假定假定f (x, y, z)在在上上连续连续. . 1d),( szyxf szyxfd),(则函数则函数3. 对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质.d),(2 szyxf函数函数f (x, y, z)定理定理10.7在光滑曲面在光滑曲面上上连续连续 (或除有限条分段或除有限条分段光滑曲线光滑曲线外外, f (x, y, z)在在上上连续连续, 且在且在上上有界有界), f (x, y, z)在在上的第一类上的第一类(对面积对面积)曲面积分存在曲面积分存在. .若若可分为分片光滑的

5、曲面可分为分片光滑的曲面1及及2, 则则4. 对面积的曲面积分的几何意义对面积的曲面积分的几何意义空间曲面空间曲面的面积的面积: : sad1 d122 dyxzz5. 对面积的曲面积分的物理意义对面积的曲面积分的物理意义面密度为连续函数面密度为连续函数;d),( szyxm,1),(时时当当 zyxf的质量的质量m为为: 的光滑曲面的光滑曲面),(zyx其质心坐标为其质心坐标为:,d),(1 szyxxmx,d),(1 szyxymy.d),(1 szyxzmz 补充补充设分片光滑的设分片光滑的 szyxfd),(x的奇函数的奇函数,x的偶函数的偶函数.d),(21 szyxf. 0),(:

6、1 zyxx 其中其中 , 0则则曲面曲面关于关于yoz面对称面对称,当当f (x, y, z)为为当当f (x, y, z)为为.d4d)a(1 sxsx 研究生考题研究生考题(选择题选择题3分分),0)(:2222 zazyx设设限中的部分限中的部分, 则有则有1为为在第一卦在第一卦.d4d)b(1 sysy.d4d)c(1 sxsz 1.d4d)d( sxyzsxyz 分析分析 关于平面关于平面 yoz与与xoz对称对称, 而而(a)(b)(d)左端的被积函数或关于左端的被积函数或关于x是奇函数或关于是奇函数或关于y是奇函是奇函数数. 故故(a)(b)(d)左端的积分均为左端的积分均为0

7、,而右端的积分均而右端的积分均大于大于0. 因此因此(a)(b)(d)均不成立均不成立.反观反观(c), 其左端的被积函数其左端的被积函数zzyxf ),(x与与y不出现不出现)可看作可看作x或或y的偶函数的偶函数,故有故有反观反观(c), 其左端的被积函数其左端的被积函数zzyxf ),(x与与y不出现不出现)可看作可看作x或或y的偶函数的偶函数,故有故有 szdz 1d4 s1 又又有有轮换对称性轮换对称性, 故故,dd11 sxsz从而选从而选(c).xyzo, yxf szyxfd),(则则按照曲面的不同情况分为以下四种按照曲面的不同情况分为以下四种:思想是思想是:yxzzsyxdd1

8、d22 化为二重积分计算化为二重积分计算. .),(yxzyxzzyxdd122 xyd),(yxzz (1)三、三、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法曲面的面积元素曲面的面积元素曲面曲面选好投影面选好投影面 算出曲面面积元素算出曲面面积元素将曲面方程代入将曲面方程代入被积函数被积函数若曲面若曲面: : ,zxf szyxfd),(则则 ,zyf szyxfd),(则则xzdyzd),(zyxzyxxzydd122 (2)(3),(zyxx ),(zxyzxyyzxdd122 ),(zxyy 若曲面若曲面: :若曲面若曲面: : szyxfd),(4),(vuxx ),(vuyy

9、 ),(vuzz ,),(uvdvu 则则 uvdvuzvuyvuxf),(),(),(.dd),(),(),(),(),(),(222vuvuyxvuxzvuzy 若曲面若曲面: :确定投影域并写出确定投影域并写出 然后算出曲面面积元素然后算出曲面面积元素; ;最后将曲面方程代入最后将曲面方程代入被积函数被积函数, ,对面积的曲面积分时对面积的曲面积分时, ,首先应根据首先应根据化为二化为二曲面曲面选好投影面选好投影面, ,曲面曲面的方程的方程, ,重积分进行计算重积分进行计算. .xyzo例例解解yz 5投影域投影域:25| ),(22 yxyxdxy5,d)( zyszyx为为平平面面其

10、其中中计计算算 2522 yx被柱面被柱面所截得的部分所截得的部分.: 曲面曲面 szyxd)(xydy 52yxdd故故 )(yxyxzzsyxdd1d22 xydyxxdd)5(2.2125 二重积分二重积分的对称性的对称性 xydyxdd52对称性对称性yxdd2 zxyo计算曲面积分计算曲面积分szyxid)(222 其中其中是球面是球面.2222azzyx )0( a解解的方程的方程方程是方程是:222yxaaz 方程是方程是:投影域投影域222:ayxdxy 222yxaaz 记记上半球面上半球面为为1,下半球面下半球面为为2,不是单值的不是单值的. .的值的值.对对上半球面上半球

11、面yxzzsyxdd1d22 yxyxaadd222 得得 1d)(222 szyx对对下半球面下半球面 2d)(222 szyxyxyxayxaaadd)(22222222 222:ayxdxy xydxydazzyx2222 是球面是球面yxyxayxaaadd)(22222222 222yxaaz 222yxaaz az2所以所以 aaa022203dd4 极坐标极坐标 i 1 2 2223dd4yxayxa.84a yxyxayxaaadd)(22222222 yxyxayxaaadd)(22222222 xydxydxyd222:ayxdxy 解解 依依对称性对称性知知 成成立立 1

12、 422yxz | xyz ,d|sxyz计计算算).10(22 zyxz为为抛抛物物面面其其中中 例例抛物面抛物面有有被积函数被积函数1为第一卦限部分曲面为第一卦限部分曲面.xyzo关于关于xoz面、面、 yoz面均面均对称对称;关于关于y、x为偶函数为偶函数.yxyxsdd)2()2(1d22 sxyzd41 xy4极坐标极坐标 d41sincosd41022220 xyd )(22yx yxyxdd)2()2(122 sxyz d| 投影域：投影域：0, 0, 1| ),(22 yxyxyxdxy d41d2sin2210502 uuud)41(41251 .42015125 u积分曲面

13、积分曲面)10(:22 zyxz d4122104 例例,d2sx 求求2222:azyx 解解积分曲面方程中的变量积分曲面方程中的变量x、y、z具有具有轮换轮换对称对称szyxd)(222 szyxsxd)(31d2222 31提示提示即三个变量轮换位置方程不变即三个变量轮换位置方程不变. sx d2.4322aa 轮换对称性轮换对称性, ,3sd2a例例所围成的空间立体的表面所围成的空间立体的表面. ,dsx计算计算, 122 yx是圆柱面是圆柱面其中其中 02 zxz及及平平面面zxyozxyozxyo2 xz0 z122 yx解解 2d sx 1 2 3 1d sx dyxxdd0 d

14、yxxdd110 0 z2 xz122 yx投影域投影域1:22 yxd例例所围成的空间立体的表面所围成的空间立体的表面. ,dsx计算计算, 122 yx是圆柱面是圆柱面其中其中 02 zxz及及平平面面对称性对称性zxyozxyo(左右两片投影相同左右两片投影相同)zxyyszxdd1d22 zxxdd112 sxd1:223 yx 将将投影域投影域选在选在注注21xy 分成左、右两片分成左、右两片 3d sx sxd31 sxd32 31 2 x2xzdzxxdd112 zxxxdd122 01 2 x12 xz sxd.00 对称性对称性xzo11 所以所以xoz面上面上zxyo计算计

15、算,d)(23szyxx 其中其中为球面为球面222yxaz 之位于平面之位于平面 曲面曲面的方程的方程在在xoy面上的面上的投影域投影域2222:hayxdxy 解解222yxaz 2222:hayxdxy )0(ahhz 上方的部分上方的部分.zxyo2222:hayxdxy 于是于是 szd00 222yxa yxyxaadd222 x3是是x的奇函数的奇函数, x2y是是y的奇函数的奇函数.szyxxd)(23 222yxaz xyd因曲面因曲面关于关于yoz面及面及xoz面对称面对称;yxzzsyxdd1d22 yxyxaadd222 ).(22haa .d)(23szyxx 计算计

16、算研究生考题研究生考题,计算计算,6分分xyxyxz22222 在在柱柱体体为为锥锥面面设设 .d, sz求曲面积分求曲面积分内的部分内的部分解解 积分曲面积分曲面22:yxz 在在xoy面上的面上的投影域投影域:xyxdxy2:22 22yxz 由由2222yxyyz d2d s,2222yxxxz zxyo szd xyd22yx d2 cos2022dd2. 2932322316 积分曲面积分曲面,:22yxz d2d sxyxdxy2:22 dcos2316203 极坐标极坐标 对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分的计算 对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念四、小结四、小结四

17、步四步: 分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限思想思想: 化为化为二重积分计算二重积分计算; 对面积的曲面积分的几何意义与物理意义对面积的曲面积分的几何意义与物理意义曲面方程四种形式的计算公式曲面方程四种形式的计算公式思考题思考题 定积分、二重积分、三重积分、对弧长的定积分、二重积分、三重积分、对弧长的是非题是非题 niiipfpf10|)(limd)( .,)( pppfii为为点点函函数数其其中中是是 因为若因为若为直线上的区间为直线上的区间a, b, 则则 ),()(xfpf 故故.)(limd)(d)(10| niiibapfxxfpf 曲线积分、对面积的曲面积分可统一

18、表示为曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为思考题思考题定积分、二重积分、三重积分、对弧长的定积分、二重积分、三重积分、对弧长的是非题是非题 niiipfpf10|)(limd)( .,)( pppfii 为为点点函函数数其其中中是是 若若是平面区域是平面区域g,),()(yxfpf 则则故故 niiiiniiifpf10|10|),(lim)(lim .dd),(yxyxfg 曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为思考题思考题定积分、二重积分、三重积分、对弧长的定积分、二重积分、三重积分、对弧长的是非题是非题 niiipfpf10|)(limd)( .,)( ppp