类曲线积分教学

1、第六节第六节 第一型线积分与第一型线积分与面积分面积分6.16.1第一型线积分第一型线积分1 1曲线形物体的质量曲线形物体的质量设曲线形物体在设曲线形物体在 oxy面上是一段面上是一段曲线弧曲线弧 l， 它的端点为它的端点为 a、b，其线密度为连续函数，其线密度为连续函数),(yxf， 求该物体的质量求该物体的质量 m. oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l分割分割,121inlmmm ,),(iiil .),(iiiisfm 求和求和.),(1 niiiisfm 取极限取极限.),(lim10 niiiidsfm 近似近似,max 1inisd 令令2 2第一型曲线积分的定义

2、第一型曲线积分的定义 设设 l 为为oxy面上的一条光滑（或分段光滑）曲线弧，面上的一条光滑（或分段光滑）曲线弧， ),(yxf在在 l 上上有界有界. .任取点列任取点列121 , , , nmmm，把，把 l 分为分为小小 n段段) , , 2 , 1(nili ，并以，并以iils 表表示示 的弧的弧 长长. . 任取任取iiis ),(，作和式，作和式 ) ,( 1 niiiisf ，设，设 max1inisd ，如果当，如果当时时 0d，和式的极限总存在，和式的极限总存在， 则称此极限为则称此极限为),(yxf在曲线弧在曲线弧 l 上上的的第一型曲线积分第一型曲线积分 niiiidl

3、sfsyxf10 ),(limd ),( 被积函数被积函数弧长元素弧长元素积分弧积分弧第一型曲线积分的性质第一型曲线积分的性质. d),(d),(d),( ),( lllsyxgsyxfsyxgyxf , d),(d),(d),( 21 lllsyxfsyxfsyxf则有则有为常数为常数又又可积可积设设 , , , , gf)( 1 线性性质线性性质性质性质则有则有首尾相接成首尾相接成与与设设 , 21lll)( 2 可加性可加性性质性质. d 的的长长度度lsl 3 性质性质. d),( 21 lllsyxf简简记记为为.d),( ),( lsyxflyxf为为上上对对弧弧长长的的曲曲线线积

4、积分分记记在在闭闭曲曲线线第一型曲线积分的计算第一型曲线积分的计算,d)()(d22ttytxs .d)()()(),(d),(22ttytxtytxfsyxfl .d)(1),(d),( ,d)(1d , , )( )( 22yyxyyxfsyxfyyxsydycyxxlldc 为为参参数数则则取取给给出出由由方方程程若若.d)(1)(,d),( ,d)(1d , , ) ( )( . 222xxyxyxfsyxfxxysxbxaxyyllba 为参数为参数则取则取给出给出由方程由方程若若 d)()(sin)(,cos)(d ),(22 fsyxflttztytxtztytxfszyxfld

5、)()()()(),(),(d ),(222 ,d41d , ,10 :22xxsxyxxybo 解解：boaboal oxaby1 x2xy 0 y,dd , 0 ,100 :xsyxyoa ,dd , ,101 :ysyyyxab xxxyyxd41dd 01 0 21 0 1 0 ).755(121)155(121320 oxaby1 x2xy 0 y oaabbolsyd 故故yoxab,dd)(cos)sin(d22tttts 2422dcosdttesxelyx.)221(e ,cos 22texeyx 被积函数被积函数.) 22 ,22 ( 1 ) 1 0, ( ,d . 222

6、22处处的的一一段段劣劣弧弧到到沿沿圆圆周周是是从从其其中中计计算算例例 byxalsxelyx解法解法 2 2 l的极坐标方程为的极坐标方程为 1 ，24 ， ,ddd22 s.)221(dcosd 2422eesxelyx yoxab,cos 22 exeyx 被被积积函函数数 1 22221d1d22yyyesxelyxyoxab解解法法 3 3 l：21 yx ，122 y， .)221(e ,12yyxy ,1dd1d22yyyxsy ,1 222yexeyx 被被积积函函数数 .1 , 142)21(22xzyx).20( .cos221 ,sin2 ,cos221 ttztytx

7、其参数方程为其参数方程为. 1 29 , d)( . 3 222222的的交交点点与与平平面面为为球球面面其其中中计计算算例例 zxzyxlszyxl,d2d)sin2()cos2()sin2(d222ttttts llsszyxd 29 d)( 222故故.18d229 20 t llsxysd 2d12 lsxy d)212(l关于关于y轴对称，被积函数轴对称，被积函数xy关于关于x为奇函数为奇函数 .12012aa （代入（代入l的方程）的方程） lsxyyxd)243(22. d)243( , , 134 . 42222的的值值求求其其周周长长为为为为椭椭圆圆设设例例 lsxyyxayxl而而平平面面0 zyx通通过过原原点点， . 0d )(31ddd szyxsysxszllllszyxszsxsylllld )(31ddd222222 lsrd312,3223132rrr .32ddd)( 322rsyszsyzlll 故故22200()d3sin