计算机控制系统的分析

1、教 材：课程性质： 本章首先介绍计算机控制系统中的信号变换过程与原则，导出计算机控制系统的模型框图；然后针对线性时不变的闭环控制系统，建立描述计算机控制系统的z传递函数；最后建立计算机控制系统稳定性、准确性、快速性性能指标与其数学模型的结构及其参数之间的定量和定性关系，并分析采样周期对系统性能的影响。 同连续控制系统理论一样，计算机控制系统性能分析和设计也都是以系统的数学模型为基础的。实际计算机控制系统虽然是由计算机等纯离散分系统和被控对象等纯连续分系统而构成的混合系统，但是为了分析和设计方便，通常都是将其等效地化为离散系统来处理。所以，本章中，“计算机控制系统”、“离散系统”和“采样系统”三

2、个术语具有等同含义。 2.1 计算机控制系统中信号的变换 2.1.1 模数转换(adc)与采样定理 图2-2 a/d变换过程 图2-3 a/d变换中信号形式的变化 2.1.1.1 采样定理1、采样过程:图2-4 图2-5 理想采样开关的特性.)(.)2()()()()2(.)(.)()(kttttttktkttk采样信号的表达:由于f(t)只有在脉冲发生时刻才在输出信号端有效，记为f(kt) f*(t) f(t)单位脉冲函数的筛选性质*( )( )( )( )()() ()kkftf t tf t tkf k tk ( ) t 由于在实际系统中，f(t)在t0时等于零，所以:采样信号的表达:0

3、*( )() ()kftf k tk 图2-6 理想采样过程脉冲幅值调制器 采样开关也可视为调制器，只有在采样瞬间，才允许输入信号f(t)（调制信号）通过采样器，其他时间输出等于零。因此，采样器的输出f*(t)是一系列窄脉冲（被调制的脉冲序列），而脉冲包络是与输入函数相等的。2、c.e.shannon采样定理 如果随时间变化的连续信号f(t)(包括噪声干扰在内)的最高频率为m，当采样频率s2m时，那么采样信号f*(t)足以不失真地代表(或恢复)原连续信号f(t)，即原连续信号f(t)可以用其采样信号f*(t)来表征。即 s2m 实际使用中 ，s(510)m香农（c.shannon）191620

4、01,mit教授，被誉为信息论之父。 若连续信号f(t)的频谱带宽有限，最高频率为m，当采样频率s2m时，那么采样后派生的高频频谱分量和基本频谱不重叠，如图2-7（b）和（c）示;当采样频率s 2m时，那么采样后派生的高频频谱分量和基本频谱混叠，如（d）示。 当派生的高频频谱分量和基本频谱不重叠时，则可以通过一个理想滤波器把所有的派生的高频频谱分量消除，只保留基本频谱。理想低通滤波器是一个在s/2处锐截止的低通滤波器采样信号通过理想滤波器恢复成原信号11)(2jf其幅频特性为 ：例21 画出f(t)=e-t (tb时，|f（j）|ux，则将最高位清零，同时转置次高位为1；如此由最高位至最低位逐

5、一比较。sar的输出数字量即为ux的转换数字量 双极性（有正、负）信息通常有4种编码方法：1) 符号数值码：与单极性原码表示法相比，增加一位符号位，其它数值一样。数值为正时，符号位为0；数值为负时，符号位为1。2) 改进的符号数值码：数值为正时，符号位为1；数值为负时，符号位为0。这种编码能保证精确的零输出，且在从小的正值变到负值或者相反变化时，变化的码位较少。3) 偏移二进制码：它是将单极性码用满量程值加以偏移实现双极性模拟量转换。4) 补码：此法即2的补码表示，与计算机内的补码相同。 表2-1列出了常用双极性编码法（三位加符号位）的代码。由于模拟信号要选择极性，故要正确建立代码与模拟信号之

6、间的关系。表2-1 常用的双极性编码的代码数数正基准正基准负基准负基准符号符号-数值码数值码2的补码的补码偏移偏移2进制码进制码+7+7/8-7/8011101111111+6+6/8-6/8011001101110+5+5/8-5/8010101011101+4+4/8-4/8010001001100+3+3/8-3/8001100111011+2+2/8-2/8001000101010+1+1/8-1/8000100011001+0+0-0000000001000-0-0+01000（0000）（1000）-1-1/8+1/8100111110111-2-2/8+2/81010111001

7、10-3-3/8+3/8101111010101-4-4/8+4/8110011000100-5-5/8+5/8110110110011-6-6/8+6/8111010100010-7-7/8+7/8111110010001-8-8/8+8/8100000002.1.2 数模转换（dac)与零阶保持器 dac是解码与保持的组合。解码（器）是把数字量转换成幅值等于该数字量的模拟脉冲信号（电压或电流）；保持（器）是将信号保持规定的时间，从而使时间上离散的信号变成时间上连续的信号。 在实际系统里，由于da变换器的结构不同，可能是如上图所示的先解码后保持，也可能是先数字保持后解码。解码解码保持保持图2

8、-10 解码解码过程涉及到d/a转换原理：uo或 io输出d/ad0d1dn1输入)2222(00112211oddddkunnnnud/ad/a转换器的构成转换器的构成t t形电阻网络形电阻网络d/ad/a转换器转换器主要由四部分组成主要由四部分组成:基准电压基准电压vref，r-2r t形电阻网络，电子开关形电阻网络，电子开关ki ( i=0,1,n-1)和运算放大器和运算放大器a。基准电压基准电压2rra2rrb2rrc2r2rdk0k1k3k2d0d1d2d3arfbudi1时，时， ki切换到右端（虚地），切换到右端（虚地），di0时，时， ki切换到左端（地）。切换到左端（地）。不

9、论哪一端，切换电压不变，只切换电流。不论哪一端，切换电压不变，只切换电流。vref基准电压基准电压2rra2rrb2rrc2r2rdk0k1k3k2d0d1d2d3arfbuvrefi0i1i2i3irefirvirefref基准电压基准电压2rra2rrb2rrc2r2rdk0k1k3k2d0d1d2d3arfbuvrefi0i1i2i3irefi基准电压基准电压2rra2rrb2rrc2r2rdk0k1k3k2d0d1d2d3arfbu只有当只有当ki切换到右端，才能给切换到右端，才能给运算放大器运算放大器输入端提供电流。输入端提供电流。当满量程输入一个当满量程输入一个n位二进制时，流入位

10、二进制时，流入运放运放的电流为：的电流为：rvrvrvinrefrefref2.222)21.212121(32nrefrvvrefi基准电压基准电压2rra2rrb2rrc2r2rdk0k1k3k2d0d1d2d3arfbu当当rfb=r时，相应的输出电压为：时，相应的输出电压为：irvout)22.2(2011nnrefvvrefvouti由于数字信号由于数字信号di(i=0,1,n-1 )1或或0，故，故d/a转换器的输出电转换器的输出电压压vout与输入二进制数字量与输入二进制数字量d= dn-1 d0的关系式为：的关系式为：基准电压基准电压2rra2rrb2rrc2r2rdk0k1k

11、3k2d0d1d2d3arfbu)22.2(2001111dddvvnnnrefoutrefnvd2所以，输出电压所以，输出电压v voutout除了与输入的二进制数除了与输入的二进制数d d有关外，还与运有关外，还与运放的反馈电阻放的反馈电阻r rfbfb、基准电压、基准电压 有关。有关。当为当为8 8为为a/da/d转换器时，转换器时，d=02d=028 8-1-1即即0ff0ffh hvrefvoutvref在a/d中，当被测信号变化较快，而a/d转换都要一定的时间才能完成转换过程，用s/h对变化的模拟信号进行快速“采样”，并在转换过程中“保持”该信号。采样保持器的基本组成电路如图：由输

12、入输出缓冲器a1、a2和采样开关k、保持电容ch组成。2. 在d/a中，保持器是将时间上离散的信号变成时间上连续的信号。在d/a中，保持器是必须的。 零阶保持器是常用的低通滤波器之一。零阶保持器将某一时刻kt的采样值，恒值地保持到下一个采样时刻（k+1）t。零阶保持器的时域方程：0( )(),(1)hftf kkttkt计算机控制系统中的信号变换小结：计算机控制系统中的信号变换小结：p24 图 2-15采采样样量量化化编编码码解解码码保保持持a/d变换中信号形式的变化变换中信号形式的变化d/a变换中信号形式的变化变换中信号形式的变化 ad和da变换中，最重要的是采样、量化和保持3个变换过程。编

13、码和解码仅是信号表现形式的改变，其变换过程可看作无误差的等效变换关系，因此在系统的分析中可略去。 计算机控制系统初步分析和设计时，可简化为：控制算法、信号处理控制算法、信号处理p24 图 2-16典型的计算机控制系统数学描述方框图 2.2 计算机控制系统的z传递函数 线性离散系统的数学描述形式和线性连续系统的数学描述形式是相对应的，通常有差分方程、z传递函数(又称脉冲传递函数)、单位脉冲响应序列(又称权序列)、离散状态空间表达式等4种数学描述形式。分别与连续系统的4种数学描述形式相对应。典型的计算机控制系统数学描述方框图 2.2.1 数字控制器的z传递函数 2.2.1.1 在z域中设计的数字控

14、制器的z传递函数 12012121201.( )( ) ( )1.1mmllmiiiliiibb zb zb zu zd ze za za za zb za z2.2.1.2 在s域中设计的数字控制器的z传递函数1、数字控制器的连续化设计技术 数字控制器的连续化设计是忽略控制回路中所有的零阶保持器和采样器，在s域中按连续系统进行初步设计，求出连续控制器，然后通过某种近似，将连续控制器离散化为数字控制器，并由计算机来实现。由于广大工程技术人员对s平面比z平面更为熟悉，因此数字控制器的连续化设计技术被广泛采用。 数字控制器的连续化设计步骤为：(1) 设计连续控制器d(s)。 (2) 选择采样周期t

15、。(3) 将d(s)离散化为d(z) 。(4) 校验。 2、将d(s)化为d(z)的离散化方法 (1) 双线性变换法(2) 后向差分法2121212122ststststeeezststst112zzts112)()(zztssdzd(111ststzeste1zstztzzssdzd1)()(2.2.2 连续部分的z传递函数 计算机控制系统中的连续部分是由连续被控对象和保持器串联构成的 )(1)()()(00sgsesgsgsgtsh连续部分的z传递函数01( ) ( )( )tseg zz g szg ss(a) 连续部分不能等效为离散环节 (b) 等效为离散环节 注意：一个连续环节或系统

16、只要其输入是离散信号，则不论其输出端有无采样开关，都可以等效为一个离散环节或系统，而且其输出与输入之间的动态关系可用z传递函数来描述；若连续环节或系统的输入是连续信号，则不论其输出端有无采样开关，不可等效为离散环节或系统，其输出与输入之间的动态关系也不能用z传递函数描述，而且也不存在z传递函数。图图2-20 不同情况下连续环节的等效不同情况下连续环节的等效z传递函数传递函数2.2.3 闭环z传递函数 ( )( ) ( )( )( )1( ) ( )c zd z g zzr zd z g z( )( ) ( )( )( )1( )( )c zd z g zzr zd z gh z10110( )

17、( )( )( )( )( )1( )( )( )( )hhd z gz g gzc zzr zg h zd z gz g gz与连续系统不同，在采样系统中，要注意采样开关在系统中所设置的位置。)()(),()(szzszzee2.3 计算机控制系统的特性分析2.3.1 稳定性2.3.1.1 s域到z域的变换 )sin(cos)(tjteeezttjst2.3.1.2 离散系统稳定的充分必要条件 2.3.1.3 采样周期对闭环系统稳定性的影响 采样周期的大小不仅影响系统动态性能的好坏，而且还关系到系统能否稳定。【例2-3】 判断图示系统在采样周期t=1s和t=4s时的稳定性。 从这个例子可以看

18、出，一个原来稳定的离散反馈系统，当加大采样周期时，如超过一定程度，系统就会不稳定。这说明增大采样周期对系统稳定不利，而减小采样周期对稳定有利，当ts0，采样系统就成为连续系统了。这也说明，稳定的连续系统经采样构成数字系统后不一定稳定。 2.3.1.4 离散系统的稳定性判据 11wwz11zzw1. w变换与w域中的劳思判据 经过w变换之后，判别系统特征方程的所有根是否在z平面上的单位圆内转换为判别特征方程1+gh(w)=0的所有根是否位于左半w平面。正好与在s平面上应用劳思稳定判据的情况一样，所以根据w域中的特征方程系数，可以直接应用劳思判据判断离散系统的稳定性，称之为w域中的劳思稳定判据。

19、2. 朱利稳定判据 直接根据离散系统闭环特征方程的系数，判别其根是否位于平面上的单位圆内，从而判断系统是否稳定。 表2-3 朱利阵列行数z0 z1 z2 z3 zn-k zn-1 zn1234562n-52n-42n-3a0 a1 a2 a3 an-k an-1 anan an-1 an-2 an-3 ak a1 a0b0 b1 b2 b3 bn-k bn-1 bn-1 bn-2 bn-3 bn-4 bk-1 b0 c0 c1 c2 c3 cn-k cn-2 cn-2 cn-3 cn-4 cn-5 ck-2 c0 p0 p1 p2 p3p3 p2 p1 p0q0 q1 q2 2.3.2 稳态误差 线性定常离散系统的稳态误差，与系统本身的结构和参数有关，与输入序列的形式及幅值有关，而且与采样周期的选取也有关。 利用终值定理 例： )()1 (lim)(lim)(11*zezteezt)()()()()()(zezgzrzczrze)(1 )() 1(lim)()1 (lim)(lim)(111*zgzzrzzezteezzt)( 1)(tatrtatr)(2