正弦函数余弦函数的性质

1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二）1.1.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性；掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性；2.2.会利用三角函数的单调性判断一组数的大小，会求给会利用三角函数的单调性判断一组数的大小，会求给出的三角函数单调区间出的三角函数单调区间. .1.1.请回答：什么叫做周期函数？请回答：什么叫做周期函数？2.2.正弦函数、余弦函数是否是周期函数？周期是多少？正弦函数、余弦函数是否是周期函数？周期是多少？最小正周期是多少？最小正周期是多少？对于函数对于函数 ，如果存在一个非零常数，如果存在一个非零常数t t，使得当，使得当 取定义取定义域内的每一个值时，都有域内的每

2、一个值时，都有 ，那么函数，那么函数 就就叫做周期函数，非零常数叫做周期函数，非零常数t t就叫做这个函数的周期就叫做这个函数的周期. .( )f xx()( )f x tf x( )f x正弦函数、正弦函数、 余弦函数都是周期函数，余弦函数都是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是都是它的周期，最小正周期是 .2(0)kkzk且23.3.函数的周期性对于研究函数有什么意义？函数的周期性对于研究函数有什么意义？对于周期函数，如果我们能把握它的一个周期内的情况，对于周期函数，如果我们能把握它的一个周期内的情况，那么整个周期内的情况也就把握了那么整个周期内的情况也就把握了. .这是研究周期函数的这

3、是研究周期函数的一个重要方法，即由一个周期的情况，扩展到整个函数一个重要方法，即由一个周期的情况，扩展到整个函数的情况的情况. .一、奇偶性探究一、奇偶性探究1.1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 正弦曲线关于原点正弦曲线关于原点o o对称对称yxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 余弦曲线关于余弦曲线关于 轴对称轴对称y2.2.根据图象的特点，猜想正余弦函数分别有什么性质？如何根据图象的特点，猜想正余弦函数分别有什么性质？如何从理论上验证？从理论

4、上验证？sin(-x)= - sinx (x r) y=sinx (x r) 是奇函数是奇函数cos(-x)= cosx (x r) y=cosx (x r) 是偶函数是偶函数定义域关于原点对称定义域关于原点对称二、单调性探究二、单调性探究1.1.当当 时，正弦函数在哪些区间上是增函数？时，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？在哪些区间上是减函数？xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 y=sinx3,22x 增区间增区间: :,2 2 减区间：减区间：3,225335,222 222 2,2,22kkkzxyo-1234-2-312 23 25 27

5、2 23 25 y=sinx2.2.由上面的正弦曲线你能得到哪些正弦函数的增区间和由上面的正弦曲线你能得到哪些正弦函数的增区间和减区间？怎样把它们整合在一起？减区间？怎样把它们整合在一起？增区间：增区间：减区间：减区间：3357,222222 32,2,22kkkz周期性周期性xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 y=sinx3.3.正弦函数有多少个增区间和减区间？观察正弦函数的正弦函数有多少个增区间和减区间？观察正弦函数的各个增区间和减区间，函数值的变化有什么规律？各个增区间和减区间，函数值的变化有什么规律？正弦函数有无数多个增区间和减区间正弦函数有无数多个增区间和

6、减区间. .在每个增区间，函数值从在每个增区间，函数值从 增大到增大到 ，11在每个减区间，函数值从在每个减区间，函数值从 减小到减小到 . .11 正弦函数在每一个闭区间正弦函数在每一个闭区间 上都是上都是函数，其值从函数，其值从-1-1增大到增大到1 1；在每一个闭区间在每一个闭区间 上都是上都是函数，函数，其值从其值从1 1减小到减小到-1. -1. 2,2,()22kkkz32,2,()22kkkz4.4.余弦函数可以得到怎样相似的结论呢？余弦函数可以得到怎样相似的结论呢？2,2,kkkz 2,2,kkkz 在每个区间在每个区间_上都是减函数，上都是减函数， yxo-1234-2-31

7、2 23 25 27 2 23 25 cosyx在每个区间在每个区间_上都是增函数，上都是增函数，其值从其值从_增大到增大到_11其值从其值从_减小到减小到_11正弦函数当且仅当正弦函数当且仅当 _时取得最大值时取得最大值_当且仅当当且仅当 _时取得最小值时取得最小值_x x 三、最大值和最小值探究三、最大值和最小值探究xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 sinyxzkk,221zkk,221余弦函数当且仅当余弦函数当且仅当 _时取得最大值时取得最大值_当且仅当当且仅当 _时取得最小值时取得最小值_x x 三、最大值和最小值探究三、最大值和最小值探究2,kkz12,

8、kkz1yxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 cosyx例例1 1 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量值、最小值时自变量x x的集合，并说出最大值、最小值分别的集合，并说出最大值、最小值分别是多少是多少. .(1)cos1,yxxr(2)3sin2 ,yx xr 解：解：这两个函数都有最大值、最小值这两个函数都有最大值、最小值.(1)(1)使函数使函数 取得最大值的取得最大值的 的集合为的集合为cos1,yxxrx2,x xkkz 使函数使函数 取得最小值的取得最小值的 的集合为的集合为c

9、os1,yxxrx2,x xkkz最大值为最大值为1 12. 最小值为最小值为1 10. (2)3sin2 ,yx xr 解：解：（2 2）令）令 ，2zx2,2z zkkz 由由 得，得，222xzk .4xk 使函数使函数 取得最大值的取得最大值的的集合是的集合是3sin ,yz zr z因此使函数因此使函数 取得最大值的取得最大值的 的集合为的集合为x3sin2 ,yx xr ,.4x xkkz 最大值为最大值为3.3.想一想：想一想：最小值最小值的的 的集合怎么的集合怎么求？求？x(2)3sin2 ,yx xr 解：解： 同理使函数同理使函数 取得最小值的取得最小值的 的集合为的集合为

10、x3sin2 ,yx xr ,.4x xkkz最小值为最小值为-3.-3.例例2 2 根据函数单调性，比较下列各组数的大小：根据函数单调性，比较下列各组数的大小： (1) sin( ) 与与 sin( )1810(2) cos( ) 与与cos( ) 235174解：解：（1 1）因为）因为021018 又又 y=sinx 在在 上是增函数上是增函数, ,02 sin( ) sin( ).1810所以所以解解: (2)(2) cos( )=cos =cos 23523535cos( )=cos =cos 1741744因为因为30,45cos cos 4所以所以35又又 y=cosx 在在 上

11、是减函数上是减函数0, cos( ) cos( ) .235174即即例例3 3 求函数求函数 的单调递增区间的单调递增区间. .1sin,2 ,223yxx 解：解：令令1,23zx函数函数 的递增区间是的递增区间是sinyz2,2.22kk由由1222232kxk得得544,.33kxkkz设设2 ,2a 544,33bkxkkz 可得可得5,.33ab 所以原函数的单调递增区间为所以原函数的单调递增区间为5,.33 1.1.观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的区间观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的区间: :(1)sin0 x (2)sin0 x (3)cos0 x (4)c

12、os0 x 2,2,kkkz 2,22,kkkz2,2,22kkkz32,2,22kkkz2.2.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值各是多少写出最大值、最小值各是多少. .(1)2sin ,yx xr2,2x xkkz最大值为最大值为2 22,2x xkkz 最小值为最小值为-2-2(2)2cos,3xyxr答案：答案：（1 1）36,x xkkz最大值为最大值为3 36,x xkkz最小值为最小值为1 1答案：答案：（2 2）3.3.比较下列各组中两个三角函数值的大小：比较下列各组中两个三角函数值的大小：(1)sin250 _sin2601514(2)cos_cos89(3)cos515 _cos5305463(4)sin_sin784.4.（1 1）求