压杆稳定z课件

1、压杆稳定z1压杆稳定z2第九章第九章压杆稳定压杆稳定压杆稳定z3第九章第九章 压杆稳定压杆稳定9-1 9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念9-2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式9-3 不同约束下现场细长压杆临界力的不同约束下现场细长压杆临界力的 欧拉公式欧拉公式*压杆的长度因数压杆的长度因数9-4 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围*临街应力总图临街应力总图9-5 实际压杆的稳定因数实际压杆的稳定因数9-6 压杆的稳定计算压杆的稳定计算*压杆的合理截面压杆的合理截面目录压杆稳定z4 压杆稳定问题，是工程上压杆稳定问题，是工程上受压杆件，尤其是细长杆，经受压杆件，尤其是细

2、长杆，经常碰到的一类问题。常碰到的一类问题。11-19-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆稳定z5工程中的压杆工程中的压杆 网架结构中的杆网架结构中的杆9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆稳定z6 悬悬索索桥桥的的索索塔塔工程中的压杆工程中的压杆9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆稳定z7铁塔中的杆铁塔中的杆工程中的压杆工程中的压杆9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆稳定z8 火车卧铺的撑杆火车卧铺的撑杆工程中的压杆工程中的压杆9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆稳定z9 灯杆和广告牌的立柱灯杆和广告牌的立柱工程中的压杆工程中的压杆9-1 压杆稳定性的概念

3、压杆稳定性的概念压杆稳定z10 吊车的顶杆吊车的顶杆工程中的压杆工程中的压杆9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆稳定z11工程中的压杆工程中的压杆9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆稳定z12工程中的压杆工程中的压杆9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆稳定z13工程中的压杆工程中的压杆9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆稳定z14 1. .1907年加拿大圣劳伦斯河在架跨年加拿大圣劳伦斯河在架跨度度548548m m的奎伯克桥时，由于悬臂桁架中的奎伯克桥时，由于悬臂桁架中的的一根压杆失稳一根压杆失稳，造成桥梁倒塌，造成桥梁倒塌， 75 75人死亡人死亡，9000

4、吨钢材变成一堆废墟。吨钢材变成一堆废墟。压杆失稳的实例压杆失稳的实例9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆稳定z152. .1922年冬天下大雪，美国华盛年冬天下大雪，美国华盛顿尼克尔卜克尔剧院由于屋顶结顿尼克尔卜克尔剧院由于屋顶结构中的构中的一根压杆超载失稳一根压杆超载失稳，造成，造成剧院倒塌，死剧院倒塌，死98人，伤人，伤100余人。余人。9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆稳定z16 3. .2000年年10月月25日日上午上午10时时30分，分，在南京电视台演播中心演播厅屋在南京电视台演播中心演播厅屋顶的顶的浇浇筑混凝土施工中，因筑混凝土施工中，因脚手架失稳脚手架失稳，造

5、成，造成演播厅屋演播厅屋顶顶模板倒塌，死模板倒塌，死5人，伤人，伤35人人。9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆稳定z179-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆稳定z181 1）什么叫压杆失稳？受压杆件为）什么叫压杆失稳？受压杆件为什么会失稳？什么会失稳？2 2）怎样建立考虑失稳情况下受压）怎样建立考虑失稳情况下受压杆件的强度条件？杆件的强度条件？两大课题两大课题9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆稳定z19压杆的稳定性试验压杆的稳定性试验9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆稳定z20不稳定平衡不稳定平衡稳定平衡稳定平衡 微小扰动就使小球远微小扰动就使小球远离原来

6、的平衡位置。离原来的平衡位置。 微小扰动使小球离开原微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到原平衡位置。后小球回复到原平衡位置。9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆稳定z21不稳定平衡不稳定平衡稳定平衡稳定平衡稳定平衡的判据稳定平衡的判据随遇平衡随遇平衡 动力学判据动力学判据 静力学判据静力学判据施加小干扰施加小干扰 能量判据能量判据考察平衡位置附近考察平衡位置附近小球的势能小球的势能临界状态临界状态9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆稳定z22压杆的失稳压杆的失稳压杆稳定z23理想弹性压杆（材料均匀、杆轴为直线、压力沿理想弹性压杆（材料

7、均匀、杆轴为直线、压力沿轴线），作用轴向轴线），作用轴向压力压力P，给一给一横向干扰力横向干扰力，若：，若： 干扰力撤消，压杆干扰力撤消，压杆能能恢复到原直线状态的平衡，恢复到原直线状态的平衡，即为：即为：稳定平衡稳定平衡；干扰力撤消，压杆干扰力撤消，压杆不能不能恢复到原直线状态的平衡，恢复到原直线状态的平衡，即为：即为：不稳定平衡不稳定平衡 。压杆稳定的静力学定义压杆稳定的静力学定义9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆稳定z24失失 稳稳注意：注意：临界压力不是力，它是压杆所具有的临界压力不是力，它是压杆所具有的维持稳定平衡能力的一个维持稳定平衡能力的一个力学指标力学指标。压杆丧失其

8、直线状态平衡而压杆丧失其直线状态平衡而过渡到曲线状态平衡的现象。过渡到曲线状态平衡的现象。压杆由稳定平衡过渡到不压杆由稳定平衡过渡到不稳定平衡的稳定平衡的压力临界值压力临界值临界压力是否是作用在杆上的力？临界压力是否是作用在杆上的力？屈屈 曲曲压压 杆杆 的的临界压力临界压力( (buckling) )（Fcr ）。）。( (Critical load) )9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆稳定z25yy两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力两端铰支受压杆件，给压杆一个横向的干扰力，使压杆发生弯曲变形，如果其轴向荷载 F 足够大，则当干扰力撤除时，压杆不能回复原直线平衡状态

9、，此时荷载 F 的最小值，就等于该压杆的临界力。9-2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式压杆稳定z26yy两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力最初的弯曲变形是横向干扰力引起的，而干扰力是随机出现的，大小也不确定 ，它的作用如何体现呢？欧拉的思路是：用干扰力产生的初始变形代替它，干扰力使压杆产生横向变形后，就从压杆上撤除，若它产生的弯曲变形还能保留，压杆就处于失稳状态。9-2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式压杆稳定z27yy两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力压杆要处于弯曲状态的平衡，其杆内必须要有弯矩；当横向干扰力撤除后，其弯矩由轴向压

10、力单独维持，其值为：)(xyFMFxyyxM(x)FN9-2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式压杆稳定z28两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力yyyEIM 2/3 2)(110 EIFyy压杆失稳挠曲线微分方程yyFxyyxM(x)FN9-2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式压杆稳定z29两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力0 EIFyy 二阶常系数齐次线性微分方程EIFk 2 令：02 yky其通解为：kxBkxAycossin9-2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式压杆稳定z3002 ykykxBkxAycossin

11、微分方程微分方程：边界条件：边界条件：通通 解解：0)( 0)0(lyy，两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力代入边界条件：代入边界条件： 0 0 0 1Byx：，）得kxAysin方程的解化为： 0sin 0 2klAylx：，）得9-2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式压杆稳定z3102 ykykxAysin微分方程微分方程：条条 件：件：方程的解方程的解：0sinklA两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力若：若：0A0y则：则：与假设矛盾与假设矛盾所以：所以：0sinkl），（ 3 2 1 nnkl9-2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧

12、拉公式压杆稳定z32），（ 3 2 1 nnkl两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力 lnk 2222lnEIFk），（ 3 2 1 222nlEInF9-2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式压杆稳定z33两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力），（ 3 2 1 222nlEInF临界压力为维持微弯平衡状态的最小轴向压力。欧拉公式（欧拉公式（Euler 1744）22lEIFcr临界压力：临界压力：9-2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式压杆稳定z34两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力02 ykykxBkxAycossin微分

13、方程微分方程：边界条件：边界条件：通通 解解：0)( 0)0(lyy，代入边界条件：代入边界条件：0cossin01 0 BklAklBA9-2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式压杆稳定z35两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力kxBkxAycossin通通 解解：0cossin01 0 BklAklBA0cossin10klkl该方程组若要有非零解，须有：该方程组若要有非零解，须有：0sinkl即：即：9-2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式压杆稳定z36失稳挠曲线：失稳挠曲线：)0( sinlxlxAy半正弦波曲线半正弦波曲线是微小的、不却确定的

14、量是微小的、不却确定的量max2yyAlx中点挠度：中点挠度：9-2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式压杆稳定z37对于梁弯曲：对于梁弯曲：梁弯曲与压杆稳定都用了梁弯曲与压杆稳定都用了EIMy EIxMy)( 力学上力学上 载荷直接引起了弯矩。载荷直接引起了弯矩。数学上数学上 求解是一个积分运算问题。求解是一个积分运算问题。EIyMy)( 力学上力学上 载荷在横向干扰力产生的变形上引起载荷在横向干扰力产生的变形上引起了弯矩。了弯矩。数学上数学上 是一个求解微分方程的问题。是一个求解微分方程的问题。但是含义不同。但是含义不同。对于压杆稳定：对于压杆稳定：9-2 细长压杆临界力的欧

15、拉公式细长压杆临界力的欧拉公式压杆稳定z381、轴向压力和横向干扰力的区别、轴向压力和横向干扰力的区别 压杆稳定中，轴向压力为内因，横向干扰力为外因；压杆稳定中，轴向压力为内因，横向干扰力为外因； 而一般的弯曲强度、刚度等问题中，横向载荷为外因。而一般的弯曲强度、刚度等问题中，横向载荷为外因。2、横向干扰力不直接显式处理，化为压杆的初始变形予、横向干扰力不直接显式处理，化为压杆的初始变形予以隐式地处理（干扰力作用后即撤销，用其产生的变以隐式地处理（干扰力作用后即撤销，用其产生的变形去推导）。形去推导）。3、轴向压力在横向干扰力产生的变形上，产生了一个纯、轴向压力在横向干扰力产生的变形上，产生了

16、一个纯轴向受压时不存在的弯矩，该弯矩的大小决定了平衡轴向受压时不存在的弯矩，该弯矩的大小决定了平衡是否稳定。是否稳定。4、近代科学的混沌、分岔学科的极好的开端。、近代科学的混沌、分岔学科的极好的开端。9-2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式压杆稳定z39欧拉公式的适用条件欧拉公式的适用条件理想压杆理想压杆（轴线为直线，压力与轴 线重合，材料均匀）线弹性，小变形线弹性，小变形两端为铰支座两端为铰支座9-2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式压杆稳定z40讨论：讨论：临界压力的精确解临界压力的精确解精确解精确解 EIxMy （近似解近似解）欧拉解欧拉解22crlEIF

17、精确失稳挠曲线微分方程？精确失稳挠曲线微分方程？EIxMyy)(11232 9-2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式压杆稳定z41FOymaxFcr欧拉解欧拉解精确解精确解讨论：讨论：临界压力的精确解临界压力的精确解9-2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式压杆稳定z42例题例题解： 截面惯性矩临界力269kNN102693按强度条件按强度条件,屈服压力屈服压力 461.4kNssFA9-2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式压杆稳定z43例题：例题：五根直径都为五根直径都为 d d 的细长圆杆铰接构成平面正方的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系形杆系

18、ABCDABCD，如各杆材料相同，弹性模量为如各杆材料相同，弹性模量为 E E。求图求图 （a a）、（）、（b b）所示两种载荷作用下杆系所能承受的最所示两种载荷作用下杆系所能承受的最大载荷。大载荷。压杆稳定z44解：解：（a a）BDBD杆受压其余杆受拉杆受压其余杆受拉BDBD杆的临界压力为：杆的临界压力为：PEIacr222222EIaPPcrmax222EIa243128adEPcr故杆系所能承受的最大载荷为：故杆系所能承受的最大载荷为：压杆稳定z45PEIacr22PPcrmax2243642adE（b b）BDBD杆受拉其余杆受压杆受拉其余杆受压四个杆的临界压力分别为：四个杆的临界

19、压力分别为：故杆系所能承受的最大载荷为：故杆系所能承受的最大载荷为：压杆稳定z4690sincos21PNPN例题：例题：图示结构，、两杆截面和材料相同，为细图示结构，、两杆截面和材料相同，为细长压杆（设长压杆（设00/2/2），），求载荷求载荷P P为最大值时的为最大值时的角。角。解：解：由静力平衡条件可解得由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为：两杆的压力分别为：压杆稳定z47PEIlPEIlcrcr12122222，最大，即：都达到临界压力时、PNN21）（）（2sin1cos222212lIEPlIEP，便得：除以式将式) 1 ()2(2221ctg)(tgll)tg(ctgarc290

20、两杆的临界压力分别为：两杆的临界压力分别为：压杆稳定z48不同约束条件下细长压杆的临界力不同约束条件下细长压杆的临界力9-39-3不同约束下现场细长压杆临界力的不同约束下现场细长压杆临界力的 欧拉公式欧拉公式*压杆的长度因数压杆的长度因数其他约束压杆稳定z49一端固定、一端自由细长压杆的临界力一端固定、一端自由细长压杆的临界力x 截面上的弯矩为：)0( )()(yyFxMlxxyyFxl-xMFyF代入挠曲线近似微分方程：一固定一自由EIyFEIMy)( EIFyEIFy 9-39-3不同约束下现场细长压杆临界力的不同约束下现场细长压杆临界力的 欧拉公式欧拉公式*压杆的长度因数压杆的长度因数压

21、杆稳定z50 二阶常系数非齐次线性微分方程EIFk 2 令：EIFyky 2其通解为：一端固定、一端自由细长压杆的临界力一端固定、一端自由细长压杆的临界力EIFyEIFy kxBkxAycossin9-39-3不同约束下现场细长压杆临界力的不同约束下现场细长压杆临界力的 欧拉公式欧拉公式*压杆的长度因数压杆的长度因数压杆稳定z51边界条件：x = l y ( l ) = -x = 0 y (0) = 0 y (0) = 0一端固定、一端自由细长压杆的临界力一端固定、一端自由细长压杆的临界力kxBkxAycossin通解：00cossin000 011 0 BklAklBAkBAkxkBkxkA

22、ysincos9-39-3不同约束下现场细长压杆临界力的不同约束下现场细长压杆临界力的 欧拉公式欧拉公式*压杆的长度因数压杆的长度因数压杆稳定z5200cossin000 011 0 BklAklBAkBA一端固定、一端自由细长压杆的临界力一端固定、一端自由细长压杆的临界力该方程组若要有非零解，须有：该方程组若要有非零解，须有：00cossin00110klklk0cosklk即：即：9-39-3不同约束下现场细长压杆临界力的不同约束下现场细长压杆临界力的 欧拉公式欧拉公式*压杆的长度因数压杆的长度因数压杆稳定z53一端固定、一端自由细长压杆的临界力一端固定、一端自由细长压杆的临界力0cosk

23、lk0klk222)2(lIEFk0minn22)2( lIEFcr ) 2 1 0( 21，nnklEIFk 29-39-3不同约束下现场细长压杆临界力的不同约束下现场细长压杆临界力的 欧拉公式欧拉公式*压杆的长度因数压杆的长度因数压杆稳定z54一端固定、一端自由细长压杆的临界力一端固定、一端自由细长压杆的临界力00cossin000 011 0 BklAklBAkBA可得：可得：BA 0) 12(cos)(xlxy( 0 x l )lk29-39-3不同约束下现场细长压杆临界力的不同约束下现场细长压杆临界力的 欧拉公式欧拉公式*压杆的长度因数压杆的长度因数压杆稳定z55lxxyyF一端固定

24、、一端自由细长压杆的临界力一端固定、一端自由细长压杆的临界力) 12(cos)(xlxy9-39-3不同约束下现场细长压杆临界力的不同约束下现场细长压杆临界力的 欧拉公式欧拉公式*压杆的长度因数压杆的长度因数压杆稳定z56AlB半个正弦波MA=MB=0MA=MA =0相当长为2l的两端简支杆对比：对比：22)2( lEIPcr22lEIPcrAAll个正弦波41压杆稳定z57图形比拟 ：失稳时挠曲线上拐点处的弯矩为0，故可设想此处有一铰，而将压杆在挠曲线上两个拐点间的一段看成为两端铰支的杆，利用两端铰支的临界压力公式，就可得到原支承条件下的临界压力公式。两拐点间的长度 l 称为原压杆的，即相当

25、 l 这么长的两端铰支杆。2)5.0(2crlEIF两端固定l0.5lFcr压杆稳定z5822cr2 lEIF lFcr拐点拐点拐点拐点2l4l4lFcrF =NcrFcrFNcr4l4lFNcr2lF =NcrFcr9-39-3不同约束下现场细长压杆临界力的不同约束下现场细长压杆临界力的 欧拉公式欧拉公式*压杆的长度因数压杆的长度因数压杆稳定z59两端固定2)5.0(2crlEIFFcrl0.5l一端固定，一端铰支2)7 .0(2crlEIFl0.7lFcr压杆稳定z60统一形式 不同约束情况下，细长杆的临界压力欧拉公式可统一写成：22cr)(lEIF 反映不同反映不同杆端约束杆端约束对临界

26、压力的影响。对临界压力的影响。9-39-3不同约束下现场细长压杆临界力的不同约束下现场细长压杆临界力的 欧拉公式欧拉公式*压杆的长度因数压杆的长度因数压杆稳定z619-39-3不同约束下现场细长压杆临界力的不同约束下现场细长压杆临界力的 欧拉公式欧拉公式*压杆的长度因数压杆的长度因数压杆稳定z62理想压杆理想压杆（轴线为直线，压力与轴 线重合，材料均匀）线弹性，小变形线弹性，小变形11-2 11-2 细长压杆的临界力细长压杆的临界力统一形式的欧拉公式的适用条件统一形式的欧拉公式的适用条件压杆稳定z63一端固定、一端铰支细长压杆的临界力一端固定、一端铰支细长压杆的临界力11-2 11-2 细长压

27、杆的临界力细长压杆的临界力FxyLRFxyx反弯点反弯点RMRL-xyFF一固定一铰支压杆稳定z64一端固定、一端铰支细长压杆的临界力一端固定、一端铰支细长压杆的临界力11-2 11-2 细长压杆的临界力细长压杆的临界力RMRL-xyFFx 截面上的弯矩为：)0( )()(yFyxLRxM代入挠曲线近似微分方程：EIxLRyEIFEIxMy)()( EIxLRyEIFy)( 压杆稳定z65 二阶常系数非齐次线性微分方程EIFk 2 令：EIxLRyky)(2 其通解为：)(cossinxLFRkxBkxAy一端固定、一端铰支细长压杆的临界力一端固定、一端铰支细长压杆的临界力11-2 11-2

28、细长压杆的临界力细长压杆的临界力EIxLRyEIFy)( 压杆稳定z66一端固定、一端铰支细长压杆的临界力一端固定、一端铰支细长压杆的临界力11-2 11-2 细长压杆的临界力细长压杆的临界力边界条件：x = L y ( L ) = 0 x = 0 y (0) = 0 y (0) = 0通解：00cossin010 01 0 FRBklAklFRBAkFRLBA)(cossinxLFRkxBkxAyFRkxkBkxkAysincos压杆稳定z67该方程组若要有非零解，须有：该方程组若要有非零解，须有：00cossin1010klklkLklkl tan即：即：00cossin010 01 0

29、FRBklAklFRBAkFRLBA压杆稳定z68一端固定、一端铰支细长压杆的临界力一端固定、一端铰支细长压杆的临界力11-2 11-2 细长压杆的临界力细长压杆的临界力49. 4kLEIFk 2klkl tan2249. 4LEIFk22222249. 449. 4LEILEIEILFcr7 . 049. 422)7 . 0 (LEIFcr 压杆稳定z6900cossin010 01 0 FRBklAklFRBAkFRLBA可得：可得：crcrFRLBkFRA )(cossin)(xLFRkxBkxAxy)(cossinxLFRkxFRLkxkFRcrcrcr压杆稳定z70)(cossin)

30、(xLFRkxFRLkxkFRxycrcrcrkxFRLkkxFkRxycrcrcossin)(2 求反弯点位置：求反弯点位置： （M M0 0）0cossin)(2 kxFRLkkxFkRxycrcr0cossinkxkLkx49.4tan klkx35. 11kx35. 149. 41xL49. 42kx49. 449. 42xLLx3 . 01Lx 2压杆稳定z71Fxy0.3L0.7LLx3 . 01Lx 2一端固定、一端铰支细长压杆的临界力一端固定、一端铰支细长压杆的临界力11-2 11-2 细长压杆的临界力细长压杆的临界力压杆稳定z72FxylFFM0MxFF0M0M11-2 11

31、-2 细长压杆的临界力细长压杆的临界力两端固定细长压杆的临界力两端固定细长压杆的临界力两端固定压杆稳定z7311-2 11-2 细长压杆的临界力细长压杆的临界力x 截面上的弯矩为：)0( )(0yMFyxM代入挠曲线近似微分方程：EIMyEIFEIxMy0)( EIMyEIFy0 两端固定细长压杆的临界力两端固定细长压杆的临界力FFM0M压杆稳定z74 二阶常系数非齐次线性微分方程EIFk 2 令：EIMyky02 其通解为：FMkxBkxAy0cossin11-2 11-2 细长压杆的临界力细长压杆的临界力EIMyEIFy0 两端固定细长压杆的临界力两端固定细长压杆的临界力压杆稳定z7511

32、-2 11-2 细长压杆的临界力细长压杆的临界力边界条件：x = 0 y (0) = 0 y (0) = 0通解：0sincos 00cossin 000klkBklkAkAFMklBklAFMBFMkxBkxAy0cossinkxkBkxkAysincos两端固定细长压杆的临界力两端固定细长压杆的临界力x = l y (l) = 0 y (l) = 00sin 01cos 0klAklFMB压杆稳定z760sin 01cos 0klAklFMBnklAnklFMB 02 0) 3 2 1(n 2，nkl求临界力求临界力，“k”应取的最小应取的最小正正值值，即：，即：2kl2222)2/(4l

33、EIlEIPcr = 0.5压杆稳定z77挠曲线：挠曲线：FMkxBkxAxy0cossin)(crcrFMkxFM00coskxFMkycrcos02 Fxyl压杆稳定z780coskx21kx221xl232kx2322xl41lx 432lx 求反弯点位置：求反弯点位置： （M M0 0）0cos02 kxFMkycrFxy4l2l4l压杆稳定z79问题：问题：压杆为空间实体，在轴向力作用下压杆为空间实体，在轴向力作用下如果失稳，它朝哪个方向弯？如果失稳，它朝哪个方向弯？F11-2 11-2 细长压杆的临界力细长压杆的临界力压杆稳定z80 xz平面内弯曲xy平面内弯曲截面绕z轴转动截面绕

34、y轴转动FF压杆稳定z81临界压力公式中的临界压力公式中的 I 是是对哪根轴的对哪根轴的 I ？为维持微弯平衡状态最小的压力为维持微弯平衡状态最小的压力。各方向约束情况相同时：各方向约束情况相同时： 为常数，为常数，IImin 最小形心主惯性矩最小形心主惯性矩。各方向约束情况不同时：各方向约束情况不同时：使使Pcr最小的方向最小的方向为实际弯曲方向，为实际弯曲方向，I 为为弯弯曲时横截面对其中性轴的惯性矩。曲时横截面对其中性轴的惯性矩。失稳时朝哪个方向弯曲失稳时朝哪个方向弯曲11-2 11-2 细长压杆的临界力细长压杆的临界力22)( lEIPcr 压杆稳定z82压杆的临界力：压杆的临界力：例

35、题：例题：求下列细长压杆的临界力。求下列细长压杆的临界力。, 123hbIy =1.0，解解：绕绕 y 轴，两端铰支轴，两端铰支：222LEIPycry, 123bhIz =0.7，绕绕 z 轴，左端固定，右端铰支轴，左端固定，右端铰支：212)7 . 0(LEIPzcrz) , min(crzcrycrPPP yzhbyzL1L2x压杆稳定z8349123minm1017. 410121050I21min2)(lEIPcr48minm1089. 3zII22min2)(lEIPcr例题：例题：求下列细长压杆的临界力，材料求下列细长压杆的临界力，材料E E200GPa200GPa。解：解：图图

36、(a)：图图(b)：kN14.67)5 . 07 . 0(20017. 422kN8 .76)5 . 02(200389. 02250图图(a)图图(b)10PLPL(45 45 6) 等边角钢等边角钢yz压杆稳定z8411-3 11-3 压杆的临界应力压杆的临界应力11-3 最小惯性半径最小惯性半径 AlEI22 22 ilE AIi il 压杆的压杆的柔度柔度或或细长比细长比反映了杆端的反映了杆端的约束情况约束情况、杆的长度杆的长度、横截面的尺寸和横截面的尺寸和形状形状等因素对临界应力的综合影响，是等因素对临界应力的综合影响，是无量纲量无量纲量。 22 E cr AFcr 细长压杆的临界应

37、力细长压杆的临界应力压杆稳定z8511-3 11-3 压杆的临界应力压杆的临界应力对临界应力的理解对临界应力的理解（1）和）和强度问题中的屈服极限、强度极限类似，强度问题中的屈服极限、强度极限类似， 除以安全系数就是稳定问题中的许用应力。除以安全系数就是稳定问题中的许用应力。（2）同作为常数的）同作为常数的屈服极限、强度极限不同，屈服极限、强度极限不同， 临界应力还临界应力还依赖于压杆的几何尺寸和支撑依赖于压杆的几何尺寸和支撑 条件。条件。压杆稳定z8611-3 11-3 压杆的临界应力压杆的临界应力欧拉公式的适用范围：欧拉公式的适用范围：即：即：pcr p E p 记：记： pp E 满足满

38、足 p的压杆，称为的压杆，称为大柔度杆大柔度杆（细长杆细长杆）。）。只与材料本身的性质有关只与材料本身的性质有关 22 E称为称为临界柔度临界柔度只有大柔度杆，才能应用欧拉公式计算临界应力只有大柔度杆，才能应用欧拉公式计算临界应力（临界力），即：（临界力），即：22 Ecrp 时，时，当当压杆稳定z8711-3 11-3 压杆的临界应力压杆的临界应力同时，应该看到，压杆的临界应力是不能同时，应该看到，压杆的临界应力是不能无限增大的，无论杆如何短、如何粗，只无限增大的，无论杆如何短、如何粗，只要杆内应力达到屈服极限，就已经破坏了。要杆内应力达到屈服极限，就已经破坏了。显然，柔度越大，临界应力越小

39、，压杆越显然，柔度越大，临界应力越小，压杆越容易失稳；反之，柔度越小（杆短而粗），容易失稳；反之，柔度越小（杆短而粗），临界应力就越大，越不容易失稳。临界应力就越大，越不容易失稳。压杆稳定z8811-3 11-3 压杆的临界应力压杆的临界应力如果压杆的柔度足够小，小到即使压杆屈如果压杆的柔度足够小，小到即使压杆屈服破坏，也不会失稳，这样的压杆称其为服破坏，也不会失稳，这样的压杆称其为小柔度杆小柔度杆（粗短杆粗短杆），这类压杆不会出现），这类压杆不会出现失稳现象，应按失稳现象，应按强度问题强度问题进行计算。进行计算。因此，小柔度杆的临界应力可以认为是：因此，小柔度杆的临界应力可以认为是：scr

40、若压杆的柔度取的很恰当，使得压杆屈服若压杆的柔度取的很恰当，使得压杆屈服的同时，刚好失稳，此时的柔度记为：的同时，刚好失稳，此时的柔度记为： sscrs 时，时，当当压杆稳定z8911-3 11-3 压杆的临界应力压杆的临界应力 cra bO s cr p crs cr 22E ps大大柔柔度度杆杆小小柔柔度度杆杆中中柔柔度度杆杆压杆稳定z9011-3 11-3 压杆的临界应力压杆的临界应力 cr ba a、b 是只与材料本身的性质有关的常量，是只与材料本身的性质有关的常量，其值一般通过实验测量。其值一般通过实验测量。中柔度杆的临界应力经验公式：中柔度杆的临界应力经验公式：即：即：记：记：只与

41、材料本身的性质有关只与材料本身的性质有关bas ssba scrp ba满足满足 s p 的压杆称为的压杆称为中柔度杆中柔度杆（中长杆中长杆）。）。压杆稳定z91临界应力计算小结临界应力计算小结11-3 11-3 压杆的临界应力压杆的临界应力s 小柔度杆小柔度杆sP 中柔度杆中柔度杆P 大柔度杆大柔度杆欧拉公式欧拉公式22 Ecr bacr 直线经验公式直线经验公式强度问题强度问题scr il 压杆柔度压杆柔度AIi 的四种取值情况的四种取值情况临界柔度临界柔度PPE 2 P 比例极限比例极限bass s 屈服极限屈服极限压杆稳定z92临界应力总图临界应力总图11-3 11-3 压杆的临界应力

42、压杆的临界应力O s cr p crs cra b cr 22E ps大大柔柔度度杆杆小小柔柔度度杆杆中中柔柔度度杆杆压杆的临界应力随着其柔度的增大而减小。压杆的临界应力随着其柔度的增大而减小。压杆稳定z93lilAFcrcr11-3 11-3 压杆的临界应力压杆的临界应力压杆稳定z94例题：例题：图示用图示用 No.28a 工字钢制成的立柱，两端固定，工字钢制成的立柱，两端固定， 试求试求：立柱的临界压力。立柱的临界压力。解：解： 1. .求求 查表查表： 属于中柔度杆属于中柔度杆3.5mFABzyNo.28a2cm 4 .55 Acm 50. 2min yiiiil 50. 2105 .

43、35 . 02 70 查表查表：100p 60 s Q235钢钢p s2. .求求Fcr查表查表：MPa 304 aMPa 12. 1 b ba crMPa 7012. 1304 MPa 226 AFcrcr N 104 .551022646 kN 1252 cm 50. 2 i压杆稳定z9511-4 11-4 压杆的稳定校核压杆的稳定校核11-4稳定安全系数法稳定安全系数法stcrFnFFstcrnFFnF 工作压力工作压力 工作应力工作应力Fcr临界压力临界压力 cr 临界压力临界压力n 压杆的工作（实际）安全系数压杆的工作（实际）安全系数nst规定的稳定安全系数规定的稳定安全系数压杆的稳

44、定条件为：压杆的稳定条件为：或者或者stncr或者或者压杆稳定z9611-4 11-4 压杆的稳定校核压杆的稳定校核稳定计算的三类问题稳定计算的三类问题1. .稳定校核稳定校核2. .选择截面选择截面3. .确定许用载荷确定许用载荷压杆稳定z9711-4 11-4 压杆的稳定校核压杆的稳定校核稳定计算的一般步骤稳定计算的一般步骤 分别计算各个弯曲平面内的柔度分别计算各个弯曲平面内的柔度 y 、 z ，从而得到从而得到 max； 计算计算 s 、 p ，根据根据 max确定计算压杆临界确定计算压杆临界应力的公式，小柔度杆应力的公式，小柔度杆 cr= s，中柔度杆中柔度杆 cr= a b ，大柔度

45、杆大柔度杆 计算计算Pcr= crA，利用稳定条件：利用稳定条件：22crEstcrnFF 进行稳定计算。进行稳定计算。压杆稳定z9811-4 11-4 压杆的稳定校核压杆的稳定校核折减系数法折减系数法 工程中为了简便起见，对压杆的稳定计工程中为了简便起见，对压杆的稳定计算还常采用算还常采用折减系数法折减系数法。即将材料的压缩许。即将材料的压缩许用应力用应力 c乘上一个小于乘上一个小于1的折减系数的折减系数 作为作为压杆的许用临界应力，即：压杆的许用临界应力，即： y 如果木柱失稳，将在垂直于屏幕平面内绕 z 轴失稳。229610 101108 10ppEz p 应采用欧拉公式计算 2296c

46、r223.1410 106.734 10 Pa6.734MPa121E663crcr6.734 10120200 10162 10 N162kNPA11-4 11-4 压杆的稳定校核压杆的稳定校核例题例题压杆稳定z115例题：例题：机车连杆结构如图，已知：机车连杆结构如图，已知：P=120kNP=120kN，L=200cmL=200cm，L1=180cmL1=180cm，b=2.5cmb=2.5cm，h=7.6cmh=7.6cm。材料为材料为A3A3钢，弹性模量钢，弹性模量E=206GPaE=206GPa，若规定若规定n nstst=2=2，试校核稳定性。试校核稳定性。LL1压杆稳定z116m

47、mhi94.2112解：解：、 求求：（1 1）xyxy平面内失稳，平面内失稳，z z为为中性轴：中性轴： =1=1bhbhAIiz12/32 .91194.22001 11iL例题：例题：机车连杆结构如图，已知：机车连杆结构如图，已知：P=120kNP=120kN，L=200cmL=200cm，L1=180cmL1=180cm，b=2.5cmb=2.5cm，h=7.6cmh=7.6cm。材料为材料为A3A3钢，弹性模量钢，弹性模量E=206GPaE=206GPa，若规定若规定n nstst=2=2，试校核稳定性。试校核稳定性。（a a）L=200PPxyyxbh压杆稳定z117（2 2）xz

48、xz平面内失稳，平面内失稳，y y为中性轴：为中性轴： =0.5=0.5bhhbAIiy12/37 .1247217. 01805 . 0 212iL由于由于1 12 2，故先在故先在xzxz平面内，以平面内，以y y为为中性轴弯曲。中性轴弯曲。cmbi7217. 012L1=180bzx（b b）P压杆稳定z118、求临界应力、校核稳定性：、求临界应力、校核稳定性：用欧拉公式：用欧拉公式：p=100p=1002 2MPaEcr7 .13022实际工作应力：实际工作应力：MPabhP16.63076. 0025. 0120000stcrcrnPpn07. 216.637 .130满足稳定条件。

49、满足稳定条件。压杆稳定z119例题：例题：一连杆如图所示，材料为一连杆如图所示，材料为35钢，最大压力钢，最大压力F=60kN， nst=4，试校核此连杆的稳定性。试校核此连杆的稳定性。解：解： 1. .求求 ，确定失稳平面确定失稳平面(1) 在在xy平面内失稳时平面内失稳时 连杆在连杆在xz平面内失稳平面内失稳(2) 在在xz平面内失稳时平面内失稳时11 5 . 02 h=45b=20l =8001xyFl1l =7702xz Fl2AIizz 32h mm 99.12 zzil11 6 .61 32biy mm 77. 5 yyil22 7 .66 zy max查表：查表：100p 为为中

50、柔度杆中柔度杆600 pmax0 y压杆稳定z1201. .求求 ，确定失稳平面确定失稳平面2. .校核稳定性校核稳定性连杆连杆安全安全查表：查表：h=45b=20l =8001xyFl1l =7702xz Fl27 .66 y MPa 461 aMPa 568. 2 byba crMPa 7 .289 AFcrcr kN 261 FFncr 35. 4 stn 例题：例题：一连杆如图所示，材料为一连杆如图所示，材料为35钢，最大压力钢，最大压力F=60kN， nst=4，试校核此连杆的稳定性。试校核此连杆的稳定性。解：解： 压杆稳定z121例题：例题：图示结构，图示结构，CFCF为铸铁圆杆，直径为铸铁圆杆，直径d1=10cmd1=10cm， c=120MPac=120MPa，E=120GPaE=120G