极限的计算方法

1、a1极限的计算方法极限的计算方法主要有一下几种一.利用四则法则计算二.利用两个重要极限计算三.利用等价无穷小代换计算四.利用罗必塔法则计算a2利用四则运算法则计算极限定理：若 存在，则，)(lim)(limxgxf)(lim)(lim)()(lim1.xgxfxgxf)(lim)(lim. 2xfcxfc)(lim)(lim)()(lim. 3xgxfxgxf)(lim)(lim)(lim)()(lim. 4xgxgxfxgxf（0)a3 （注：以上极限过程可以为 例1计算下列极限）或x0 xx2323lim12243lim).1 (3221124323xxxxxxxxxx利用四则运算法则计算

2、极限a4mnmnmnbabxbxbxbaxaxaxammmmnnnnx0lim0011101110一般的：利用四则运算法则计算极限a5162)1 ()1 ()2(lim) 1() 1() 12(lim) 24821827817841482784xxxxxxxxxxx（利用四则运算法则计算极限a63) 1()2)(1(lim2lim3)212321xxxxxxxxxx（21) 11() 11 (lim) 11() 11)(11(lim11lim4)2220 x22220 x220 xxxxxxxxxx（利用四则运算法则计算极限a7利用两个重要极限计算exexxxxxxxx100)1 (lim)1

3、1 (lim)2(1sinlim) 1 (a8利用两个重要极限计算极限1.1sinlim0 xxx0000000sin ( )lim( )0,lim1( )tgxlim1xxxxxxxxx一般地：若则，另，特征：极限为“ ”型未定式注：若极限形式不是“ ”型，则不能利用上述公式计算。a9利用两个重要极限计算例如：0sinlimsinlim, 1sinlim10110110事实上，xxxxxxxxxexexxxxx1)1 (lim)1 (lim. 201a10利用两个重要极限计算上述两个极限为幂指函数型极限，他有以下三个特征：（1) 极限形式为： 型未定式，（2) 括号内第一项为数1（3) 括号

4、内变量为1/x(或x)与指数x（或1/x）符 号相同且互为倒数 注：若极限形式不是 型，则不能利用上述 公式计算. ”“1”“1a11利用两个重要极限计算例如：exexxxxx1)1 (lim)1 (lim10，例2：计算下列极限23333sinlim2123sinlim1)00 xxxxxx（4141)(sinlim2sin2lim2cos1lim)2(22220222020 xxxxxxxxxa12利用两个重要极限计算2141)(sin2lim2sin2limcos1limcos1limsinlim) 1(sinlimsinlim) 3 (22220222002003cos1030 xxx

5、xxxxxxxxxxxxxxxxxxtgxa13利用两个重要极限计算41212sin2lim211112sinlim) 11(2sin11lim) 11(2sin) 11)(11(lim2sin11lim) 4 (00000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxa14利用两个重要极限计算5353lim53lim53sinlim)55()33sin(lim0,:53sinlim)5(05533sin000ttttttgtttgttxtxxtgxttttgtttttx原式时令a15利用两个重要极限计算 例3计算下列极限2)2(000)2-1lim)2-1lim21lim) 1 (211exxxx

6、xxxxx（3)3()x2-1lim)2(lim)2(lim)2(23232exxxxxxxxxx（43133)1(13131)1(lim)1(lim)1()1(lim)11(lim)31(lim)3(3eeexxxxxxxxxxxxxxxxxxxa16利用两个重要极限计算exxxxxxxxxln)1 (limln)1 (lnlim)1ln(lim)4(1100011010ln)1ln(lim)1ln(lim0, 1,11(lnlimlnlnlim1lnlim)5(1eeeteetttextteexexexxtttexexexexexexex原式时，令：）a17利用等价无穷小代换计算极限如果：

7、时下列无穷小等价：在常用等价无穷小代换：是等价无穷小量，记为与时则称在而0.)()(xx1)()(lim0)(lim, 0)(lim0000 xxxxxxxxxxxxxa18利用等价无穷小代换计算极限212121)sinx (2)sin(3)sin(4)(5)(6)1 cos(7) 11(8)ln(1) (9)1(10)csinnnxxkxkxxxtgxxtgkxkxxxxxxxexarxx（注：利用等价无穷小代换，可以将左边比较复杂的无穷小用右边较简单的无穷小等价代换，使极限计算简单化a19利用等价无穷小代换计算极限 例4：计算下列极限2022221122212210211(2)lim1co

8、s2011,1cos2(2 )21lim(2 )4xxxxxxxxxxxx 时，原式32limsin2lim) 1 (320320 xxxxtgxxa20利用等价无穷小代换计算极限xxxxxx00lim)1ln(lim)3(21lim11limsin1sin1lim) 4 (2221022020 xxxxxxxxxx21)(lim)1 (cos1lim)5(22100 xxxexxxxxa21利用等价无穷小代换计算极限0limsinsinlim,21limcos)cos1 (sinlim1(sinlimsinsinlim)6(303032210303cos1030 xxxxxtgxxxxxxx

9、xxxxxtgxxxxxxxx但是）注：等价无穷小代换是将分子或分母中的乘积形式的无穷小因子整体代换，而对于分子或分母中的两个无穷小之差，不能直接代换，应先化简再代换a22利用罗必塔法则计算极限罗必塔法则是计算 型极限未定式的最有效方法之一1.”或“00条件：的某一邻域内满足以下在设罗必塔法则：”型极限未定式：”或“0)(),(00 xxgxf；的某一邻域内存在且在）（或（0)()(),()2(0)(lim)(lim1)000 xgxxgxfxgxfxxxxa23利用罗必塔法则计算极限导数比的极限即函数比的极限等于其则）存在；或AxgxfxgxfAxgxfxxxxxx)()(lim)()(li

10、m,()()(lim) 3(000a24利用罗必塔法则计算极限例5：计算下列极限11limlimlim) 1 (221111222xxarctgxxxxxxx616lim31lim321lim) 1(2) 1(lim)2(0202030 xexeexexexexeexeexxxxxxxxxxxxxxxa25利用罗必塔法则计算极限 注：在使用罗必塔法则前，应先检查极限是 否为 型未定式，并且在连续使用时，每步都需检查，若不是未定式则停止使用，此时极限已求出。”或“00a26利用罗必塔法则计算极限172lim7ln2lnlim7ln2lnlim)3(712100 xxxxxxxxtgxtg3lim

11、cos1limsinlimsin)cos1 (limsincoslim)4(22122302230221000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxa27利用罗必塔法则计算极限 注2：将罗必塔法则与等价无穷小代换结合 起来使用极限计算将更简单。10101limcos1sin1lim,sin1cos1limcossinlim)5(11xxxxxxxxxxxxxx原式但不存在a28利用罗必塔法则计算极限1)1)1lim,limlimlim)6(2211xxexexxxxxxxxxxxxxxxxxeeeeeeeeeeeeee（原式但出现循环a29利用罗必塔法则计算极限 注3：当:应改用其他方

12、法求之。而原极限未必不存在，法则失效，或出现循环时，罗必塔不存在，)()(lim0 xgxfxx）（）（则若（”型未定式”和“)(100)(1)(g)()()(,0)()(1)02xfxgxxfxgxfxgxfa30利用罗必塔法则计算极限例6：计算下列极限1)lim1lim) 1(lim1)011122111eeeexxxxxxxxxx（1000sin10011000ln22100lnln2) lim sinlnlimlimlimlimsin0sinsinlim sinlnlimlimlncoslimlimlnlnxxxxxxxxxxxxxxxxxxcsextgxxcsexctgxxxxxxx

13、xxxx （但 是 ，无 结 果 。a31利用罗必塔法则计算极限 注4：在 型中若乘积因子含有lnx，lnf(x)则其只能作分子而不能将其倒到分母中。例7 求下列极限:型或利用通分化成若00,)()(:)2(xgxf212lim21lim1lim) 1(1lim)111(lim1)002000 xxxexxeexxeexxxxxxxxxxx（0a32利用罗必塔法则计算极限02lim2cos1limsinlimsinsinlim)1sin1(lim2)221002000 xxxxxxxxxxxxxxxxxx（21lim1ln11lnlimln) 1(1lnlim)ln11(lim3)211111111xxxxxxxxxxxxxxxxxx（a33利用罗必塔法则计算极限 3. 幂指函数的极限；00000( )0( )1( )( )lim ( ),(0 ,0 ,1 ) ( ),ln( )ln ( )(0. )ln ( )limlnlim ( )ln ( )limlim ( )g xxxg xxxxxxxg xg xkxxf xyf xyg xf xf xyg xf xkf xe令则a34利用罗必塔法则计算极限例8 求下列极限:11111111111111)lim(1 )ln,ln1lnlim lnlimlim111limxxxxxxxxxxxyxyxxyxxe （令a35利用罗