留数及其应用

1、本章主要内容：本章主要内容：1、孤立奇点及其分类、孤立奇点及其分类2、留数概念及其计算、留数概念及其计算3、留数在计算定积分中的应用、留数在计算定积分中的应用1 1、孤立奇点的分类、孤立奇点的分类定义定义1 1.)(,0,)(0000的孤立奇点的孤立奇点为为则称则称内解析内解析的某个去心邻域的某个去心邻域但在但在处不解析处不解析在在若若zfzzzzzzfd d - - 例如例如的的孤孤立立奇奇点点；为为zezfz1)(0 .1sin1)(), 2, 1(1, 0的的奇奇点点都都是是zzfnnzz 的的孤孤立立奇奇点点；为为11)(1- - zzfzxyo这说明奇点未这说明奇点未必是孤立的必是孤

2、立的.的的奇奇点点存存在在，总总有有邻邻域域内内不不论论多多么么小小的的去去心心在在但但)(,0, 01limzfznn .1sin10的的孤孤立立奇奇点点不不是是故故zz 注注: : 若函数的奇点个数有限，则每一奇点都若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点是孤立奇点. .2 2、孤立奇点的分类、孤立奇点的分类可可以以展展开开成成洛洛朗朗级级数数：内内在在于于是是内内解解析析在在的的孤孤立立奇奇点点，则则存存在在为为若若ddd - - - - |0)(.|0)(,0)(000zzzfzzzfzfz)1(.)()()(10000 - - - - - - - - - -nnnnnnnnnzz

3、czzczzc.)()(100分分类类据据此此，将将孤孤立立奇奇点点进进行行的的主主要要部部分分的的性性质质完完全全体体现现在在级级数数在在点点 - - - -nnnzzczzf2.1 可去奇点：可去奇点：展式中不含展式中不含z-zz-z0 0 负幂项负幂项，即，即,|0,)()()1(000d - - - - zzzzczfnnn.)!12()1(! 5! 31sin242 - - - - - - nzzzzznn的可去奇点，这是因为的可去奇点，这是因为是是zzzsin0 ;)(0的的可可去去奇奇点点称称为为则则zfz特点特点?.1cos102的的可可去去奇奇点点和和是是zzzezz- -

4、- “可去可去”一词的一词的解释解释?2.2 极点：极点：展式中仅含有有限多个展式中仅含有有限多个z-zz-z0 0 负幂项负幂项，即，即点，这是因为级极点或者称为简单极的是10zezz;)(0级级极极点点的的称称为为则则mzfz特点特点?.)1(1102的的极极点点都都是是和和- - zzzz),1, 0()()()2(0 - - - - - - mczzczfmmnnn.!211!110 - - nzzznzzzennnz2.3 本性奇点：本性奇点：展式中含有无穷多个展式中含有无穷多个z-zz-z0 0 负幂项负幂项, ,的的本本性性奇奇点点，这这是是因因为为是是zez10 .)(0的的本

5、本性性奇奇点点称称为为则则zfz特点特点?.1sin0的的本本性性奇奇点点是是zz .!1!211211 - - - -nznzzez3 3、 函数在孤立奇点的性质函数在孤立奇点的性质.)(,)(000解解析析在在补补充充定定义义：zzfczf ;)(lim)()(0000czfzzczfzznnn - - 3.1z0为为 f (z) 的可去奇点的可去奇点的的主主要要部部分分为为零零；在在点点0)()(zzfi性质性质1若若z0为为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价：的孤立奇点，则下列条件等价：);()(lim)(000为为常常数数cczfiizz .)()(0的的某某去去心心邻邻域域内

6、内有有界界在在点点zzfiii3.2若若z0为为f (z)的的m (m 1) 级极点，则级极点，则mzzzhzfii)()()()(0- - . 1, 0)2(,)()()(00010 - - - - - - - - - - - mczzczzczzczfmnnnmm其其中中性质性质2若若z0为为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价的孤立奇点，则下列条件等价 （都是都是m级极点的特征级极点的特征）：）：).1,0()()()(0100 - - - - - - -mczzczzczzfimmm的的主主要要部部分分为为在在点点).0)()(00 zhzzh解解析析，在在422)1)(1(2)(

7、- - zzzzf例如：例如：z=1为为f (z)的一个的一个4级极点，级极点， z= i为为f (z)的简单极点的简单极点. 注意在判断孤立奇点类型时，不要一看到函数注意在判断孤立奇点类型时，不要一看到函数的表面形式就急于作出结论的表面形式就急于作出结论. 例如例如 利用洛朗展式容易知道，利用洛朗展式容易知道，z=0z=0分别是它们的简单分别是它们的简单极点，可去奇点，二级极点极点，可去奇点，二级极点. .1cos)(;sin)(;1)(433221zzzfzzzzfzezfz- - - - - - 性质性质3若若z0为为f (z)的孤立奇点，则的孤立奇点，则z0为为f (z)的极点的充要条

8、件是的极点的充要条件是.)(lim0 zfzz 在判断函数的极点时，请比较性质在判断函数的极点时，请比较性质2和性质和性质3.4 4、 零点与极点的关系零点与极点的关系2定定义义.)(0)()(000的的零零点点为为则则称称，解解析析，若若在在点点设设zfzzfzzf .)(,0)()1, 1 ,0(0)()(00)(0)(0级级零零点点的的为为则则称称但但，解解析析，若若在在点点设设mzfzzfmnzfzzfmn - - .)(,10的的单单零零点点也也称称为为zfzm ),()()(0zzzzfm- - . 0)()(00 zzzm点点解解析析，在在为为正正整整数数，其其中中可可以以表表示

9、示为为如如下下形形式式邻邻域域内内，的的某某级级零零点点的的充充要要条条件件是是在在为为以以)()(00zfzmzzf处处的的泰泰勒勒展展式式为为在在点点级级零零点点，故故的的为为若若00)()(zzfmzfz证明证明: :先证明必要性先证明必要性. . ).()()()()()()(00101010zzzzzcczzzzczzczfmmmmmmmm- - - - - - - - - - 性质性质4 4.)(0点点解解析析显显然然在在 zz.)1()(103与与三三级级零零点点的的一一级级分分别别是是与与- - zzzfzz例如：例如：. 0)(, 0, 0)(00)( zczfmm即即必要性

10、证毕必要性证毕.充分性请自己完成充分性请自己完成.结论：一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的结论：一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的.)(0)()()(000的的某某一一邻邻域域内内不不为为零零在在于于是是，连连续续，点点解解析析，则则在在事事实实上上，zzzzzz .)()()(000处处为为零零在在的的该该邻邻域域内内仅仅在在所所以以zzzzzzfm- - 级级零零点点，则则的的是是若若mzfz)(0性质性质5.)(10级级极极点点的的是是mzfz证明：证明：)()()(0zzzzfm- - 由于由于z0为为f (z)的的m 级零点，所以级零点，所以 .0)(,)(00 zzz且且解解析

11、析在在),()()(:)(1)(1)(1000zzzzzhzzzzfmm - - - - .0)(,)(00 zhzzh且且解解析析在在.)(10级级极极点点的的是是从从而而mzfz 在判断函数的极点级数时，下列结论有时是非在判断函数的极点级数时，下列结论有时是非常有用的常有用的.级级零零点点；的的是是级级零零点点，则则级级和和的的和和分分别别是是若若nmzgzfznmzgzfz )()()1()()(00.)(/ )()2(0级级极极点点的的是是时时，当当mnzgzfznm- - ，设设23)1(sin)1()(- - zezzzzf例如，例如，;1sin0;5)1(023级级零零点点的的为

12、为分分子子级级零零点点的的为为分分母母容容易易判判断断zzezzz - - .4)(0级级极极点点的的为为所所以以zfz .)(lim)(0 不不存存在在，也也不不为为负负幂幂次次项项的的洛洛朗朗级级数数有有无无穷穷多多项项zfzfzz性质性质6z0为为 f (z) 的本性奇点的本性奇点注注：在求复变函数的极限时，也有同实函数类似：在求复变函数的极限时，也有同实函数类似的的罗必塔法则罗必塔法则.，则则数数，且且两两个个不不恒恒为为零零的的解解析析函函和和若若0)()()()(00 zgzfzgzf. )()( )( lim)()(lim00 或或者者两两端端都都为为zgzfzgzfzzzz由性

13、质由性质1 1和性质和性质3 3，得，得.级级数数如如果果是是极极点点，指指出出它它的的孤孤立立奇奇点点，奇奇点点类类型型，练练习习：考考察察下下列列函函数数的的).1()3(sin;)2(;9)1(2242-zezzzz本讲小结：本讲小结：;2方方法法、知知道道奇奇点点类类型型的的判判定定,1分分类类情情况况、熟熟悉悉奇奇点点的的概概念念以以及及 非非孤孤立立奇奇点点本本性性奇奇点点，极极点点，可可去去奇奇点点，孤孤立立奇奇点点奇奇点点1 1、 留数的定义留数的定义.0,)()()(000rzzzzczfzfznnn - - - - - - 则则的的一一个个有有限限孤孤立立奇奇点点，是是设设

14、；则则所所围围成成的的区区域域内内解解析析，及及在在若若0)()( cdzzfcczf1.1 1.1 引入引入？未未必必为为内内有有的的奇奇点点，则则在在若若 ccdzzfdzzfczf)(.0)()().1,2, 1,0)(1(0 - - nindzzzncn为为整整数数，则则设设.2)()()(,10100 - - - - - - - - - - - - - ccnnncnnnciczzdzcdzzzcdzzzcdzzfc得得：逐逐项项积积分分两两边边沿沿曲曲线线闭闭曲曲线线，则则的的一一条条简简单单内内，且且包包含含为为取取00|0zrzzc - - (*),)(21),(re10dzz

15、ficzzfsc - -故故1.2 1.2 定义定义1 1)0(,)()(0)(00000rzzzzczfrzzzzfznnn - - - - - - - - ，使使得得的的某某一一邻邻域域在在的的有有限限孤孤立立奇奇点点，则则存存是是设设).(),(,)()(000110zfreszzfresresiduezzfczzzz - - - -或或者者记记作作）留留数数（处处的的在在是是的的系系数数称称上上述述展展开开式式中中.|000闭闭曲曲线线的的一一条条简简单单内内，且且包包含含为为其其中中zrzzc - - .!4120,re2131|13 iezsidzezzzz例例如如，注：注：一一个

16、个求求积积分分的的新新方方法法；的的重重要要意意义义在在于于提提供供了了(*)1(.)3(的的留留数数以以后后再再讨讨论论至至于于无无穷穷远远孤孤立立奇奇点点处处孤孤立立奇奇点点来来说说的的，此此处处的的定定义义只只是是对对有有限限；的的有有限限可可去去奇奇点点，则则为为若若0),(re)()2(100 - -czzfszfz. 00 ,sinre1 - -czzs例例如如，2 2、 留数定理留数定理)1(),(re2)(,)(,)(,121 nkkcnzzfsidzzfcczfzzzczfc则则上上解解析析内内及及在在除除此此以以外外有有限限个个孤孤立立奇奇点点内内有有在在函函数数是是一一条

17、条简简单单闭闭曲曲线线设设定理定理1)., 2 , 1(), 2 , 1(,nkcznkcnckkk，内内在在奇奇点点，使使得得，闭闭曲曲线线互互不不相相交交的的正正向向简简单单条条互互不不包包含含内内作作在在 证明证明dcznz1z3z2 nkknkcczzfsdzzfidzzfik11),(re)(21)(21 nccccdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()(21由复合闭路定理得：由复合闭路定理得：于是，得于是，得. ),(re2)(1 nkkczzfsidzzf故故留数定理非常重要，也为求积分提供了新方法！留数定理非常重要，也为求积分提供了新方法！ 求沿闭曲线求沿闭曲线c的积分

18、，归之为求在的积分，归之为求在c中各孤立中各孤立奇点的留数奇点的留数. 理论上讲，只要知道将理论上讲，只要知道将 f (z) 在在 z0 邻域内的洛朗邻域内的洛朗级数，也就求出了级数，也就求出了f (z) 在该点处的留数在该点处的留数, , 实际上，实际上，展开式有时候并不是很好求的展开式有时候并不是很好求的. .；的的有有限限可可去去奇奇点点，则则为为若若0),(re)()1(00 zzfszfzz以下就三类孤立奇点进行讨论：以下就三类孤立奇点进行讨论：3 3、 留数的计算留数的计算.),(re)()3(00zzfsmzfzz求求法法级级极极点点时时，常常用用以以下下方方的的为为若若 则则级

19、级极极点点的的是是若若,)(0mzfz定理定理2 .)()(lim)!1(1),(re01100zfzzdzdmzzfsmmmzz- - - - - -.),(re)()2(00zzfszfzz方方法法求求展展开开的的的的本本性性奇奇点点，往往往往采采用用为为若若 .210 ,1cosre1- - - -czzs例例如如，证明证明: 由条件由条件,得得)0(,)()()()()(0101012020 - - - - - - - - - - - - - - - -mmmczzcczzczzczzczf得得于于是是,.)()()()()(00101010 - - - - - - - - - - -

20、 - -mmmmmzzczzczzcczfzz,)( !)!1()()(,)1(01011 - - - - - - - - - -zzmcmzfzzdzdmmmm得得阶阶导导数数两两边边求求 .)2(,)!1()()(lim10110式式成成立立- - - - - - -cmzfzzdzdmmmzz)|0(0rzz - - 注注:).()(lim),(re,)(,10000zfzzzzfszfzmzz- - 则则的的单单极极点点时时是是即即当当.)( )(),(re,)(,0)( ,0)(,0)(,)(),()()()(00000000zqzpzzfszfzzqzqzpzzqzpzqzpzf

21、且且的的单单极极点点是是则则处处解解析析在在设设定理定理3证明证明:,)(1,)(0)( 0)(0000的的单单极极点点为为从从而而的的单单零零点点为为，及及zqzzqzzqzq .0)()()(1)(1,000 - - zzzzzzzq处处解解析析且且在在因因此此),0)(,)()()()(1)(000 - - zgzzpzzgzgzzzf且且解解析析在在故故 .0)( )( )()()()(lim)()(lim),(re000000000 - - - - - zqzqzpzzzqzqzpzfzzzzfszzzz或或者者它它的的注注，知知道道由由定定理理的的单单极极点点为为则则1,)(0zf

22、z证毕证毕. .,12izzeresz 求求例例1解解:简单极点，是容易知道1)(2zezzfizz.2lim)()(lim),(reizizizeizezzfizizfs - - .2)1(),(re2iizzezezizfs 另另解解：.0,1为为自自然然数数，其其中中练练习习题题：求求nzeresnz 级级极极点点，的的是是提提示示：容容易易知知道道)1()(01 nzezfznz.)1(:32 - - zzdzzzei计计算算例例2解解:. 1203)1()(2 - - zzzzzezfz级级极极点点和和一一个个极极点点的的内内部部有有一一个个单单在在; 1)1(lim)(lim0),

23、(re200 - - zezfzzfszzz)1()1()!12(1lim 1),(re221- - - - zzezzfszz;0)(lim1 zezz.21),(re0),(re2)(2izfszfsidzzfz .)1(25:22 - - - zdzzzzi求求练练习习. 01),(re0),(re2 zfszfsii提提示示：.cos13 zdzzzi计计算算例例3解解:级级极极点点，为为只只以以30cos)(3 zzzzf.0),(re2izfsii- - 故故,21)(cos21)(!210),(re003- - zzzzfzzfs. )(tan为为正正整整数数计计算算nzdzin

24、z 例例4解解:为为极极点点，只只以以),2,1,0(21cossintan kkzzzz,tan21的的单单极极点点为为并并且且zkz ), 1, 0(.1)(cossin21,tanre21 - - kzzkzskz .422,tanre22121ninikzsiink- - - - .0sin)(6处处的的留留数数在在计计算算 - - zzzzzf例例5解解: - - - - - - - zzzzzzzzf1!511!31)!51!31(1)(3536 .!510),(re- - zfs另解另解:,3)(0级级极极点点的的是是容容易易看看出出：zfz .sinlim)!13(10),(r

25、e230 - - - zzzzfsz由由定定理理 - - - 66550sinlim)!16(10),(rezzzzdzdzfsz另解另解: 由定理由定理2 的推导过程知，在使用时，可将的推导过程知，在使用时，可将 m 取得比实际级数高，有时可使计算更简单取得比实际级数高，有时可使计算更简单.例如取例如取 m=6,.! 51)cos(lim! 51)sin(lim! 510550- - - - - - zzzdzdzz?)1(sin:13 - - zzdzezzi思思考考1 1、 留数的定义留数的定义2 2、 留数定理留数定理3 3、 留数的计算规则留数的计算规则本讲小结本节主要内容：本节主要

26、内容：考察三种类型的实函数的定积分的计算考察三种类型的实函数的定积分的计算.;)sin,(cos120的的积积分分、形形如如dr ;)(2的的积积分分、形形如如dxxr - -).0()(3 - -adxexraix的的积积分分、形形如如的的积积分分、形形如如dri)sin,(cos120 这类积分可以化为单位圆上的复变函数积分这类积分可以化为单位圆上的复变函数积分. .则则令令,iez .2 , 0cos,sin)cos,(sin上上连连续续在在的的有有理理函函数数，且且为为这这里里r,izddedzi ,zidzd - - - -ieeii2sin,212ziz - - - -2cosii

27、ee,212zz 的的有有理理函函数数，为为则则设设zzfzizzzizrzf)(,1)21,21()(22 - - 1|.)(zdzzfi且且在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解.下面用复变函数的方法求解该下面用复变函数的方法求解该题题. .解：解：).10(cos212cos202 - - pdppi计计算算例例1 1则则令令,iez . 0cos21, 102 - - ppp故故由由于于),1(2122cos2222zzeeii - -),1(212coszzeeii - -dzzipzzpzziz - - - - 122221212112，单

28、单极极点点级级极极点点内内有有两两个个极极点点在在)(),2(01|)(pzzzzf - - - 1|124.)()(1(21zzdzzfdzpzpzziz于是于是,)1(21)()(lim),(re224ppipzfpzpzfspz- - - - ,21)(1(21lim)(lim0),(re224020pippzpzizzfzzfszz - - - - - 因此因此.1221)1(2122222224pppipppipii- - - - - .?cos45cos0为为正正整整数数思思考考：mdxxxmi - - .23cos45cos2120midxxxmi - - ，提提示示：的的积积分

29、分、形形如如 - - dxxri)(2不失一般性，设不失一般性，设.2)(次次至至少少比比分分子子的的次次数数高高次次数数的的有有理理函函数数，且且分分母母的的为为这这里里xxr.,)(现现在在来来说说明明其其求求法法积积分分是是存存在在的的在在实实轴轴上上没没有有奇奇点点时时并并且且，当当zr. 2,)(1111 - - - - -nmbzbzazazzrmmmnnn.011没没有有实实数数解解分分子子、分分母母互互质质，且且 - -mmmbzbz)1(. ),(re2)()( - - rrckkrzzrsidzzrdxxr根据留数定理，得到根据留数定理，得到xyo-rr.3z.2z1zrc

30、.为为半半径径的的上上半半圆圆周周是是以以原原点点为为圆圆心心，示示，其其中中我我们们取取积积分分路路径径如如图图所所rcr.)(在在该该半半圆圆内内都都包包含含的的所所有有极极点点上上半半平平面面内内可可使使充充分分大大时时，当当kzzrr.的的增增大大而而改改变变的的半半径径这这个个等等式式不不因因rcr rcrdzzr.0)(lim所所以以,|1|1|1|)(|221111zmzbzbzazazzrznmmmnnnm - - - - - - -足足够够大大，则则，只只要要因因为为.为为某某一一正正常常数数其其中中m为为充充分分大大的的圆圆周周上上，有有因因此此，在在半半径径 r rrcc

31、rmrrmdszrdzzr.|)(|)(2再由（再由（1 1），得），得. ),(re2)( - - kkzzrsidxxr. ),(re)()(0 kkzzrsidxxrxr为为偶偶函函数数，则则如如果果. 0, 0,)(2022222 babxaxdxxi其其中中计计算算例例解：解：因为被积函数是偶函数因为被积函数是偶函数,.21)(21122222ibxaxxi记记为为所所以以 - -)()(22222bzazzzr其位于上其位于上半平面半平面的奇点是的奇点是: :, biai（均为单极点）均为单极点）.)(2211baii .),(re),(re21bizrsaizrsii 则则,)(

32、2)()(lim),(re2222222baiabzazzaizaizrsaiz- - - - 而而,)(2),(re22abibbizrs- - 同同理理可可得得于是于是.125)1614873(2 - - - iiii,48733),(reiizrs- - 而而于是于是.91023242dxxxxxi - - - - 计计算算例例解：解：9102)(242 - - zzzzzr其位于上其位于上半平面半平面的奇点是的奇点是: :,3,ii（均为单极点）均为单极点）,161),(reiizrs - - 问题的处理方法：同第二种类型一样，通过引进辅问题的处理方法：同第二种类型一样，通过引进辅助半

33、圆周，得到一个闭合路径（半圆周加实轴）上的复助半圆周，得到一个闭合路径（半圆周加实轴）上的复变函数的积分，然后取极限（令半径趋于无穷），并且变函数的积分，然后取极限（令半径趋于无穷），并且可证明：可证明：的的积积分分、形形如如 - - )0()(3adxexriiax.1)(分分子子、分分母母互互质质次次至至少少比比分分子子的的次次数数高高次次数数的的有有理理函函数数，且且分分母母的的为为这这里里xxr.,)(现现在在来来说说明明其其求求法法积积分分是是存存在在的的在在实实轴轴上上没没有有奇奇点点时时并并且且，当当zr.0)(lim rcaxirdxexr事实上事实上.2sin,20 有有时时

34、注注意意到到：当当,| )(|1zmzrznm - -足足够够大大，则则只只要要，样样，因因为为如如同同处处理理上上一一个个问问题题一一.为为某某一一正正常常数数其其中中m为为充充分分大大的的圆圆周周上上，有有因因此此，在在半半径径 r - - rrrccayiazciazdsermdsezrdzezr|)(|)(.不不等等式式jordan- - - -.220sin0sindemdemarar - - - 于是于是 rcrdzzr.0)(lim所所以以 - - - - 20)/2().1(2)(ararciazearmdemdzezrr)2(. ,)(re2)( - - kkiaziaxzezrsidxexr故故.)(在