西安交大复变函数课件14区域

1、第四节 区 域一、区域的概念二、单连通域与多连通域三、典型例题四、小结与思考2一、区域的概念一、区域的概念1. 邻域邻域:. : )( , 000的邻域的邻域内部的点的集合称为内部的点的集合称为的圆的圆为半径为半径任意的正数任意的正数为中心为中心平面上以平面上以zzzz 说明说明. , 0 , 点的邻域点的邻域称为无穷远称为无穷远其中实数其中实数所有点的集合所有点的集合的的且满足且满足包括无穷远点自身在内包括无穷远点自身在内 mmz32.去心邻域去心邻域:. 0 00的去心邻域的去心邻域集合为集合为所确定的点的所确定的点的称由不等式称由不等式zzz 说明说明. . , , zmmz可以表示为可

2、以表示为域域称为无穷远点的去心邻称为无穷远点的去心邻的所有点的集合的所有点的集合仅满足仅满足内内不包括无穷远点自身在不包括无穷远点自身在43.内点内点:. , , . , 000的内点的内点称为称为那末那末于于该邻域内的所有点都属该邻域内的所有点都属的一个邻域的一个邻域存在存在如果如果中任意一点中任意一点为为为一平面点集为一平面点集设设gzgzgzg4.开集开集: 如果如果 g 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末那末g 称称为开集为开集. .55.区域区域: 如果平面点集如果平面点集d满足以下两个条件满足以下两个条件, ,则称则称它为一个区域它为一个区域. .(1) d是一个是

3、一个开集开集；(2) d是是连通的连通的, ,就是说就是说d中任何两点都可以用中任何两点都可以用完全属于完全属于d的一条折线连结起来的一条折线连结起来.6.边界点、边界边界点、边界: 设设d是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域, ,如果点如果点 p p 不不属于属于d, 但在但在 p p 的任意小的邻域内总有的任意小的邻域内总有d中的中的点点,这样的这样的 p p 点我们称为点我们称为d的的边界点边界点.6d的所有边界点组成的所有边界点组成d的的边界边界. .说明说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的的点所组成的. (2) 区域区

4、域d与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域 .dz 1c2c3cz 1c2c3c7以上基以上基本概念本概念的图示的图示1z 2z 区域区域 0z 邻域邻域p 边界点边界点边界边界7.有界区域和无界区域有界区域和无界区域:. , , 0, , 界的界的否则称为无否则称为无称为有界的称为有界的那末那末点都满足点都满足使区域的每一个使区域的每一个即存在即存在为中心的圆里面为中心的圆里面点点可以被包含在一个以原可以被包含在一个以原如果一个区域如果一个区域dmzmd 8(1) 圆环域圆环域:;201rzzr 0z 2r1r课堂练习课堂练习判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界?(2) 上半平

5、面上半平面:; 0im z(3) 角形域角形域:;arg0 z(4) 带形域带形域:.imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界.xyo9二、单连通域与多连通域二、单连通域与多连通域1. 连续曲线连续曲线:. , )( ),( , )( , )( )( 称为连续曲线称为连续曲线表一条平面曲线表一条平面曲线代代那末方程组那末方程组是两个连续的实变函数是两个连续的实变函数和和如果如果btatyytxxtytx 平面曲线的复数表示平面曲线的复数表示:)().()()(btatiytxtzz 102. 光滑曲线光滑曲线:.0, )( )( , , )( )( , 22称这曲线

6、为光滑的称这曲线为光滑的那末那末有有的每一个值的每一个值且对于且对于都是连续的都是连续的和和上上如果在如果在 tytxttytxbta 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线称为按段光滑曲线. .xyoxyo113. 简单曲线简单曲线:. )( )( , )()( :的起点和终点的起点和终点分别称为分别称为与与为一条连续曲线为一条连续曲线设设cbzazbtatzzc . )( , )()( , , 121212121的重点的重点称为曲线称为曲线点点时时而有而有当当与与的的对于满足对于满足ctztztzttttbtabta 没有重点的曲线没有重点

7、的曲线 c 称为简单曲线称为简单曲线( (或若尔或若尔当曲线当曲线).).12. , )( )( , 为简单闭曲线为简单闭曲线那末称那末称即即的起点和终点重合的起点和终点重合如果简单曲线如果简单曲线cbzazc 换句话说换句话说, 简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质: 任意一条简单任意一条简单闭曲线闭曲线 c 将复平面将复平面唯一地分成三个互唯一地分成三个互不相交的点集不相交的点集.xyo内部内部外部外部边界边界13课堂练习课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线判断下列曲线是否为简单曲线?答答案案简简单单闭闭简简单单不不闭闭不不简简单单闭闭不不简简单单不不闭

8、闭 )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz 144. 单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域复平面上的一个区域b, 如果在其中任作一如果在其中任作一条简单闭曲线条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于b, 就称为就称为单连通域单连通域. 一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域, 就称为就称为多连通域多连通域.单连通域单连通域多连通域多连通域15三、典型例题三、典型例题例例1 1 指明下列不等式所确定的区域指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是有界的还是无界的是无界的,单连通的还是多连通的单连通的还是多连通

9、的. 111)5(; 411)4(; 31)3(;3arg)2(; 1)re()1(2 zzzzzzz解解 , )1(时时当当iyxz ,)re(222yxz , 11)re(222 yxz无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).163arg)2( z,3arg33arg zz是角形域是角形域, 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).31)3( z,3131 zz, 31 ,的圆的外部的圆的外部半径为半径为是以原点为中心是以原点为中心无界的多连通域无界的多连通域. 17411)4( zz表示到表示到1, 1的距离之的距离之和为定值和为定值4的点的轨迹的点的轨迹, 是椭圆是椭圆,411 zz ,411表示该椭圆内部表示该椭圆内部 zz有界的单连通域有界的单连通域.18四、小结与