阶系统的性能改善

1、二阶系统的性能改善高阶系统的时域分析arccos12 arctg1210,)sin(111)(2ttethdtndrt%100%100)()()(%21ehhthps(s+2n)n2r(s)c(s)图3-8 标准形式的二阶系统方块图_过阻尼 1112175. 41341ttttttss当欠阻尼 10dpt05. 05 . 3nst02. 05 . 4nst21nddrt%100%100)()()(%21ehhthp3.3.4 二阶系统的动态校正二阶系统的动态校正 对于特定的系统，位置控制系统(随动系统)其闭环传递函数ksstksm2)(kttkmmn121rtnn矛盾超调小，阻尼大速度慢kk矛

2、盾一定比例微分控制测速反馈控制3.3.4.1 比例微分控制（pd控制）proportional-plusderivative control1)(sr)(scstd)2(2nnss)(se图3-15 pd控制系统 ) 12() 1() 12() 1(2) 12(2) 1()2() 1()()()()(22ndndnnndnnndssstkssstssstssstshsescsg(3-33) 2nk 称为开环增益,n有关 闭环传递函数为22222222)2()1(2) 1()(1)()(nndndndnndndnststststssstsgsgs22222222)2()1(2) 1()(1)()

3、(nndndndnndndnststststssstsgsgs222ndnndttd2ndt(3-35) 令dtz1)2()(222nndnsszzs(3-36)结论 可通过适当选择微分时间常数dt，改变d阻尼的大小 比例微分控制可以不该变自然频率n，但可增大系统的阻尼比 由于pd控制相当于给系统增加了一个闭环零点，dtz1故比例微分控制的二阶系统称为有零点的二阶系统。 当输入为单位阶跃函数时szsszssrsscnnn12)()()(222)2(1)2(222222nnnnnnsssszsss)1sin(111)2(22222tesssdntdnnnndtezsszdntdnnndnnd22

4、2221sin1121时，得单位阶跃响应当1dteztethdntdndntdndnd22221sin1)1sin(111)( (3-37)222nndzzr)1sin(1)(2trethdntnd)1( )(122ddnddnarctgzarctg3.3.4.2 测速反馈控制 )(sr)(scskt)2(2nnss)(se图3-16 测速反馈控制的二阶系统 :tk为与测速发电机输出斜率有关的测速反馈系数。(电压/单位转速)系统的开环传递函数 skssksssssgtnnntnnnn)2()2(1)2()(22222tnnntnnkkss2222) 12(1(3-41) velocity fe

5、edback constantntnkk22(3-42) 相应的闭环传递函数，可用(3-41)式中的第一种表示方式2222)2()(1)()(nntnnskssgsgs(3-43) 令222ntnntknttk21(3-44) 测速反馈会降低系统的开环增益，从而会加大系统在斜坡输入时的稳态误差。 测速反馈不影响系统的自然频率 n不变 可增大系统的阻尼比 测速反馈不形成闭环零点，dttk 测速反馈与pd对系统动态性能的改善程度是不相同的。 结论 设计时，之间，在8 . 04 . 0d可适当增加原系统的开环增益，以减小稳态误差。 例3-2 图3-17(a)所示的系统，具有图3-17(b)所示的响应

6、，求k和t )(sr)(sc)(se) 1(tssk21254. 0%e4 . 0)254. 0ln(254. 0ln2221ndpt14. 14 . 01314. 3122pnt解：闭环传递函数 tkststkkstsksrsc1)()(22nnttk212 42. 114. 109. 109. 114. 14 . 0212122nntkt)(sr)(sc)(se) 1(tssk例3-3 控制系统如图3-18所示，其中输入 ，证明当时，稳态时系统的输出能无误差地跟踪单位斜坡输入信号。ttr)(ndk2)(sr)(sc)2(2nnssskd1解：图3-18 控制系统的方块图 闭环传递函数222

7、2)1 ()()(nnndsssksrsc21)(ssr222212)1 ()(sssskscnnnd)2(2)2()1 (1)()()(2222222222nnndnnnndsssskssssssksscsrsednnnndnsssskssksssee222lim)(lim22200只要令ndk2，就可以实现系统在稳态时无误差地跟踪单位斜坡输入。 例3-4 设一随动系统如图3-19所示，要求系统的超调量为0.2，峰值时间 ，求求增益k和速度反馈系数 。根据所求的 stp1.,dsrtttk时间值，计算该系统的上升和)(sr)(scs1) 1( ssk解： 2 . 021e 456. 0)1(

8、ln)1ln(22 stdp1 sradd/14. 3 21nd sraddn/53. 3456. 0114. 3122系统的闭环传递函数 kskskkskssksrscs)1 ()()()(2246.1253. 322nkkn12 178. 046.12153. 3456. 0212kn)(sr)(scs1) 1( ssk stdr65. 014. 3097. 114. 314. 3arccos14. 3 )05. 0(17. 253. 3456. 05 . 3)3(5 . 3stnns )02. 0(80. 253. 3456. 05 . 4)4(5 . 4stnnsstnd37. 053

9、. 3456. 07 . 017 . 013.4高阶系统的时域响应设高阶系统闭环传递函数的一般形式为)453(,)()(111|1110 mnasasasbsbsbsbsrscnnnnmmmm将上式的分子与分母进行因式分解，可得：)463(,)()()()()()()()(2121 mnsdsmpspspszszszsksrscnm点称为闭环传递函数的零mizi, 2 , 1 点称为闭环传递函数的极njpj, 2 , 1 ssr1)()473()2()()()(22111nkkkrrjqjimisspsszsksc为复数极点的对数。为实极点的个数，rqrqn,2将式（3-47）用部分分式展开，

10、得 )483(21)()(12210rknkkknkknkkkqjjjsscsbpsasascrkrkknktkknktkqjtpjttectebeaatcnkknkkj112210)493(01cos1sin)(由一阶系统（惯性环节）和二阶系统（振荡环节）的响应函数组成 rkrkknktkknktkqjtpjttectebeaatcnkknkkj112210)493(01cos1sin)(输入信号（控制信号）极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量 传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量。 闭环极点远离虚轴，则相应的瞬态分量衰减得快，系统的调整时间也就较短。 闭环零点只影响系统

11、瞬态分量幅值的大小和符号 所有闭环的极点均具有负实部 表示过渡结束后，系统的输出量（被控制量）仅与输入量（控制量）有关 闭环极点均位于s左半平面的系统，称为稳定系统 主导极点 如果系统中有一个(极点或一对)复数极点距虚轴最近，且附近没有闭环零点；而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以上，则此系统的响应可近似地视为由这个（或这对）极点所产生。 3.5 线形定常系统的稳定性稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。问题 分析系统的稳定性问题。 提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基 本任务之一 3.5.1 稳定的基本概念和系

12、统稳定的充要条件基本概念 控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的干扰，例如，负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。这些因素总是存在的，如果系统设计时不考虑这些因素，设计出来的系统不稳定，那这样的系统是不成功的，需要重新设计，或调整某些参数或结构。 设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。 基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。 线形系统的稳定性

13、取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。有关稳定性的定义和理论较多。 如果脉冲响应函数是收敛的，即有0)(limtgt表示系统仍能回到原有的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可知，系统的稳定与其脉冲响应函数的收敛是一致的。 系统仍能回到原有的平衡状态由于单位脉冲函数的拉氏反变换等于1，所以系统的脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏反变换。 令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点，则式(3-46)可改写为 )533()2()()()()(22111nknkkrkjqjimisspszskssgq+2r=n rknknkkknkknkkkqjjjsscsbpsasg1

14、222121)()(用部分分式展开 系统的脉冲响应函数为 )543(0,1sin1cos)(2211tectebeatgknktkkqjrknktktpjnkknkkj闭环特征方程式的根须都位于s的左半平面 0)(limtgt系统稳定不稳定系统 充要条件不稳定系统的结果 物理系统的输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，（而使线性微分方程不再适用。）由于非线性因素存在，仅表现为等幅振荡。 要有一个正实根或一对实部为正的复数根 发散 不稳定稳定4 . 04st0理论实际一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考

15、输入信号的加入而使其稳定性受到破坏？ssr1)(单位阶跃函数 分析 )2()()()()(22111nknkkrkjqjimisspsssskssgrkrkknktkknktkqjtpjttectebeaatcnkknkkj112210)493(01cos1sin)(3-47) 稳态分量瞬态分量瞬态分量系统的结构和参数确定 参考输入一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍将继续保持稳定 衰减 一个无限小的领域 3.5.2劳斯稳定判据(rouths stability criterion) 3.5.2.1劳斯表线性系统稳定闭环特征方程式的根必须都位于s的左半平面。 充要条件稳定判据 令系

16、统的闭环特征方程为)553(000122110 aasasasasannnnn如果方程式的根都是负实部，或实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。）改写为都是正值，则式（其中553,2121 pp0)()()()(22221111210 jsjsjsjspspsa)563(0)2)(2()(222222212112210 sssspspsa即证明 设,21pp 为实数根，2211,jj为复数根 不会有系数为零的项线性系统稳定必要条件将各项系数，按下面的格式排成老斯表)553(000122110 aasasasasannnnn10211321232134321275311

17、6420fseesdddscccsabbbsaaaasaaaasnnnn 121211141713131512121311170613150412130211,eeddefbbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaab 表中这样可求得n+1行系数 劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式根在s平面上的具体分布，过程如下：如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在s的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在s的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。 已知一调速系统的特征方

18、程式为0103 . 25175 .41423sss例3-5试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表401423103 . 25 .380103 . 25 .4105171ssss由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在s的右半平面，因而系统是不稳定的。已知某调速系统的特征方程式为 例3-60)1 (16705175 .4123ksss求该系统稳定的k值范围。解：列劳斯表)1 (167005 .41)1 (16705175 .410)1 (16705 .41051710123kskskss由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：0)1 (1670

19、0)1 (2 .40517kk9 .111k劳斯判据特殊情况 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项。解决的办法是以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在s右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。已知系统的特征方程式为02223sss试判别相应系统的稳定性。解：列劳斯表2)(022110123ssss例3-7由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。劳斯表中出现全零行 则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。例如，一个控制系统的特征方程为 0161620128223456ssssss列劳斯表1603