面角及其度量

1、3.23.2.4二面二面角及角及其度其度量量32.4二面角及其度量二面角及其度量 山体滑坡是一种常见的自然灾害甲、山体滑坡是一种常见的自然灾害甲、乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的度，甲站在水平地面上的a处，乙站在山坡处，乙站在山坡斜面上的斜面上的b处，处，a、b两点到直线两点到直线l(水平地面水平地面与山坡的交线与山坡的交线)的距离的距离ac和和bd分别为分别为30 m和和40 m，cd的的长为长为60 m，ab的长为的长为80 m.问题问题1：平面：平面bcd与平面与平面acd的交线是直线的交线是直线cd吗？吗？提示：是提示：

2、是问题问题2：如何求水平地面与斜坡面所成的角：如何求水平地面与斜坡面所成的角？1二面角的相关概念二面角的相关概念(1)二面角及其平面角二面角及其平面角半平面半平面平面内的一条直线把平面分成两部分，平面内的一条直线把平面分成两部分， 都叫做半平面都叫做半平面二面角二面角从从 所组成的图形叫做二所组成的图形叫做二面角，面角， 叫做二面角的棱，叫做二面角的棱， 叫叫做二面角的面棱为做二面角的面棱为l，两个面分别为，两个面分别为，的二面角，的二面角，记作记作 ，若，若a，b，则二面角也可以记作，则二面角也可以记作平面角平面角在二面角在二面角l的棱上的棱上 ，在两半平面内分，在两半平面内分别作射线别作射

3、线oal，obl，则，则 叫做二面角叫做二面角l的平面角的平面角其中的每一其中的每一一条直线出发的两个半平面一条直线出发的两个半平面这条直线这条直线每个半平面每个半平面lalb任取一点任取一点oaob部分部分 (2)二面角的范围二面角的范围 设二面角为设二面角为，则，则 2直二面角直二面角 平面角是平面角是 的二面角叫直二面角的二面角叫直二面角 3二面角的度量二面角的度量 (1)分别在二面角分别在二面角 l的面的面，内，作向量内，作向量n1l，n2l，则可以用，则可以用n1，n2来度量二面角来度量二面角l. (2)设设m1，m2，则，则m1，m2与二面角与二面角l大大小小 或或 0180直角直

4、角相等相等互补互补 1二面角是图形，它是由两个半平面和一条棱构二面角是图形，它是由两个半平面和一条棱构成的成的 2二面角的大小通过平面角的大小来度量二面角的大小通过平面角的大小来度量 3将二面角转化为两个平面的法向量的夹角求解将二面角转化为两个平面的法向量的夹角求解时，应注意二面角是锐角还是钝角的判断时，应注意二面角是锐角还是钝角的判断 例例1如图：如图：abcd是正方形，是正方形，v是平面是平面abcd外一点，外一点，且且vavbvcab，求二面角，求二面角avbc的余弦值的余弦值 思路点拨思路点拨先判断先判断vab，vbc为等边三角形，为等边三角形，取取vb的中点的中点e，连接，连接ae，

5、ce，再证明，再证明aec是二面角是二面角的平面角的平面角一点通一点通用定义求二面角的步骤：用定义求二面角的步骤：(1)作作(找找)出二面角的平面角；出二面角的平面角；(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角；证明所作平面角即为所求二面角的平面角；(3)解三角形求角解三角形求角1在本例中，若点在本例中，若点e为为vb的中点，求二面角的中点，求二面角eacb的的大小大小解：解：连接连接bd，记，记acbdo，则，则acbd.又又vaabvbbcvc，vbae，vbec，vb平面平面eac，aeec.连接连接eo，则，则eoac， 2.如图，在四棱锥如图，在四棱锥vabcd中，底面中，底面abc

6、d是正方形，侧面是正方形，侧面vad是正三是正三角形，平面角形，平面vad底面底面abcd.(1)证明证明ab平面平面vad；(2)求面求面vad与面与面vdb夹角的正切夹角的正切解：解：(1)证明：证明：平面平面vad平面平面abcd，交线为，交线为ad.ab平面平面abcd，abad.ab平面平面vad. 例例2矩形矩形abcd中，中，ab4，ad3，沿对角线，沿对角线ac折起，使折起，使d在平面在平面abc上的射影上的射影e恰好落在恰好落在ab上，如图所示，求上，如图所示，求二面角二面角bacd的余弦值的余弦值3如图所示，甲站在水库底面上的点如图所示，甲站在水库底面上的点a处，乙站在水坝

7、斜面上的点处，乙站在水坝斜面上的点b处，处，从从a，b到直线到直线l(库底与水坝的交线库底与水坝的交线)的距离的距离ac和和bd分别为分别为a和和b，cd的长为的长为c，ab的长为的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值求库底与水坝所成二面角的余弦值 例例3如图，四棱锥如图，四棱锥pabcd中，中，底面底面abcd为平行四边形，为平行四边形，dab60，ab2ad，pd底面底面abcd. (1)证明：证明：pabd； (2)若若pdad，求二面角，求二面角apbc的余弦值的余弦值 思路点拨思路点拨(1)先由先由bd2ad2ab2得到得到bdad，进而证得进而证得bd平面平面pad.(2)求出平

8、面求出平面apb的法向量的法向量n，平面，平面pbc的法向量的法向量m，由，由cosm，n求得求得 一点通一点通设设n1、n2分别是平面分别是平面、的法向量，则向量的法向量，则向量n1与与n2的夹角的夹角(或其补角或其补角)就是两个平面夹角的大小就是两个平面夹角的大小 解题步骤如下：解题步骤如下：4(2012广东高考广东高考)如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥pabcd中，中，底面底面abcd为矩形，为矩形，pa平面平面abcd，点，点e在线段在线段pc上，上，pc平面平面bde.(1)证明：证明：bd平面平面pac；(2)若若pa1，ad2，求二面角，求二面角bpca的正切值的正切值解：解：(1)证明：证明：pa平面平面abcd，bd平面平面abcd，pabd.同理由同理由pc平面平面bde可证得可证得pcbd.又又papcp，bd平面平面pac.(2)如图，分别以射线如图，分别以射线ab，ad，ap