高阶微分方程小结

1、高阶微分方程小结高阶微分方程小结 一基本要求：1 了解了解微分方程的基本概念微分方程的基本概念: : 微分方程的定义、阶、解、通解、积微分方程的定义、阶、解、通解、积分曲线、特解、初始条件、初值问题；分曲线、特解、初始条件、初值问题；2 会判断会判断变量可分离方程、齐次方程、变量可分离方程、齐次方程、一阶线性方程、一阶线性方程、 伯努利方程；伯努利方程；3 掌握掌握变量可分离方程和一阶线性方程变量可分离方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程和伯努利方程；的解法，会解齐次方程和伯努利方程；( )4 ( )( ,)( ,)nyf xyf x yyf y y 了了解解特特殊殊高高阶阶微微分分方方程程

2、的的降降阶阶法法：，5 理解理解二阶线性微分方程解的结构；二阶线性微分方程解的结构；6 掌握掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；二阶常系数齐次线性微分方程的解法；7 掌握掌握自由项为自由项为( )( )cosxnf xe p xx ( )( )xmf xpx e 、( )( )sinxnf xe p xx 或或的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式形式基本概念基本概念 一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.线性方程线性方程5.5.伯努利方程伯努利方程变量代换变量代换可降阶方程可

3、降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程及其根特征方程及其根对应的通解形式对应的通解形式f( (x) )的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程 待定系数法待定系数法特征方程法特征方程法二内容提要二内容提要1. 基本概念基本概念微分方程微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程的解：微分方程的解：通解通解特解特解初始条件初始条件初值问题初值问题(1) 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程2. 一阶微分方程的解法一阶微分方程的解法()dyyfdxx 形形如如(2)

4、 齐次方程齐次方程xyu 作变量代换作变量代换分离变量法分离变量法解法解法解法解法( )( )dyp x yq xdx形形如如(3) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxpcey（分离变量法分离变量法）解法解法非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为( )( )( )p x dxp x dxyeq x edxc （常数变易法）（常数变易法）(4) 伯努利伯努利( (bernoulli)方程方程( )( )ndyp x yq x ydx形形如如)1 , 0( n解法解法 需经过需经过变量代换变量代换化为线性微分方程化为线性微分方程,1 nyz 令令(

5、1) ( )(1) ( )( )(1).n p x dxn p x dxzeq xn edx c 1 ny 3.可降阶的高阶微分方程的解法可降阶的高阶微分方程的解法解法解法( ),yp x 令令特点特点. y不不显显含含未未知知函函数数 型型( )(1)( )nyf x 接连积分接连积分n次次, ,得通解得通解(2)( ,)yf x y 型型解法解法,dpypdx( ),yp x 令令.x不不显显含含自自变变量量(3)( ,)yf y y 型型解法解法,dydppy 4. 线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构(1) 二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构: :( )( )0(1)yp x

6、 yq x y 形形如如解的叠加解的叠加(2) 二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: :( )( )( ) (2)yp x yq x yf x *yyy 定理定理3 设设y*是是(2)的一个特解的一个特解, y是与是与(2)对应的齐次方程对应的齐次方程(1)的通解的通解,是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解的通解.那么那么叠加叠加5. 二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法0 qyypy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程解法解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通

7、解的方法称为特征方程法特征方程法. .02 qprr0 qyypy特征方程为特征方程为微分方程微分方程01)1(1)( ypypypynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnprprpr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项kr若若是是 重重根根rxkkexcxcc)(1110 kj 若若是是 重重共共轭轭复复根根xkkkkexxdxddxxcxcc sin)(cos)(11101110推广：推广： n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy 通解通解 yyy.yy 其其中中 是是

8、对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解，是是非非齐齐次次的的特特解解用用待定系数法待定系数法求特解求特解 y(1)( )( )xmf xepx 型型( ),kxmyx eqx 设设特特解解形形式式012k 不不是是特特征征根根是是特特征征单单根根是是特特征征重重根根( )( )mmqxpx其其中中是是与与同同次次的的待待定定多多项项式式. .)(xfqyypy (2)( )( )cosxmf xepxx 型型(1)(2)( )cos( )sin,kxmmyx erxxrxx (1)(2)( ),( )mmrx rxm其其中中是是 次次多多项项式式，0;1.iki 不不是是特特征征方方程程的的根根

9、时时是是特特征征方方程程的的单单根根时时( )sinxmepxx 或或设特解的形式设特解的形式)(xfqyypy 12312,( )( )( ),y yyyp x yq x yf xc c 设设线线性性无无关关函函数数都都是是的的解解. .为为任任意意常常数数，则则该该方方程程的的通通解解是是 112233112212311221231122123.;.;.1;.1ac yc yc ybc yc yccycc yc yccydc yc yccy 答：选择答：选择c问题问题1三三 问题与思考问题与思考问题问题2. . 以以12,xxyeyxe 为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为为特解的二阶常系

10、数齐次线性微分方程为 20yyy 答：正确答：正确. .12,xxyeyxe 121rr 特特征征根根为为0)1(2 r2210,rr即即20yyy21.2yyy 求求通通解解例例1解解.x方方程程不不显显含含,dpypypdy 令令则则代入方程，得代入方程，得,212ypdydpp 211,pc y解解得得，, 11 ycp11,dyc ydx 即即故方程的通解为故方程的通解为.12211cxycc 四典型题目四典型题目( )f x 设设连连续续函函数数满满足足例例2解解2211( )( )xxf tf txdtxdttt 积积分分变变形形为为方程两边求导方程两边求导221( )( )( )

11、xf tf tfxdtxtx 两边再求导，得两边再求导，得( )( )0 xfxfx 由原方程和由原方程和(1)(1)式式, ,得初始条件得初始条件(1)1(1)1ff 21( )( )1,( ).xf tf xxdtf xt 求求( ).f x连连续续， 右右端端积积分分可可导导求解初值问题求解初值问题( )( )0(1)1,(1)1xfxfxff ( ),dzzfxxzdx 令令方方程程变变为为1,zc x 解解之之，得得11,c 由由初初始始条条件件，得得( )zxfxx 于于是是，即即221( )2f xxc 从从而而21,2c 由由初初始始条条件件，得得 21( )12f xx 因因

12、此此，所所求求函函数数为为例例3 试确定以试确定以 sin 2yx 解解 1sin22yxri 由由为为一一个个特特解解, ,可可知知为为特特征征根根. .22ri 由由于于复复根根总总是是成成对对出出现现的的, ,所所以以也也是是特特征征根根， 220riri因因此此特特征征方方程程为为240r 即即从而相应的二阶常系数线性齐次微分方程为从而相应的二阶常系数线性齐次微分方程为40yy 为特解的二阶常系数齐次线性方程为特解的二阶常系数齐次线性方程. .14(cos2 ).2yyxx 求求解解方方程程例例4解解 特征方程特征方程, 042 r特征根特征根,22,1ir 对应的齐次方程的通解为对应

13、的齐次方程的通解为.2sin2cos21xcxcy 设原方程的特解为设原方程的特解为.*2*1*yyy *1(),ya 则则, 0)(*1 y142yyx 代代入入，得得，xbax2144 yaxb*1(1),设设由由，04 b，214 a解得解得，0 b，81 a;81*1xy *2(2)( cos2sin2 ),yx cxdx设设*2()(2)cos2(2 )sin2 ,ycdxxdcxx 则则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy 14cos22yyx 代代入入，得得故原方程的通解为故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxcxcy ,2cos212sin42cos4xxcxd 由由，04 c，214 d即即，81 d，0 c;2sin81*2xxy yp x yf xxxp xf x21( )( )(1)( ),( )(2). 设设有有一一特特解解为为，对对应应的的齐齐次次方方程程有有一一特特解解为为，试试求求：的的表表达达式式；此此方方程程的的通通解解例例5解解 (1