高中数学分类讨论

1、2思想方法概述1.分类讨论思想是一种重要的数学思想方法分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.其基本思其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割或分割)成若干个基成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综或综合性问题合性问题)分解为小问题分解为小问题(或基础性问题或基础性问题)，优化解题思，优化解题思路，降低问题难度路，降

2、低问题难度.2.分类讨论的常见类型分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论由数学概念引起的分类讨论.有的概念本身是分类有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论.有的有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的项和公式、函数的单调性等单调性等.(3)由数学运算要求引起的分类讨论由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算

3、中如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等一个正数、负数，三角函数的定义域等.(4)由图形的不确定性引起的分类讨论由图形的不确定性引起的分类讨论.有的图形类有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等线、面的位置关系等.(5)由参数的变化引起的分类讨论由参数的变化引起的分类讨论.某些含有参数的某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数

4、的取值问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法运用不同的求解或证明方法.(6)由实际意义引起的讨论由实际意义引起的讨论.此类问题在应用题中，此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.3.分类讨论的原则分类讨论的原则(1)不重不漏不重不漏.(2)标准要统一，层次要分明标准要统一，层次要分明.(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论则地讨论.4.解分类问题的步骤解分类问题

5、的步骤(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论行分类讨论.(2)对所讨论的对象进行合理的分类对所讨论的对象进行合理的分类.(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决.(4)归纳总结，将各类情况总结归纳归纳总结，将各类情况总结归纳. 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显

6、的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a0、a0、a2时分a0、a0和a1和和0a1的讨论；等比数列中的讨论；等比数列中分公比分公比q1和和q1的讨论的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；的讨论；(7)平面解析几何：直线点斜式中平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直分存在和不存在，直线截距式中分线截距式中分b0和和b0的讨论；轨迹方程中含参数时的讨论；轨迹方程