高等代数北大版6.7

1、引入引入有有两种情形：两种情形：由维数公式由维数公式设设 为线性空间为线性空间v的两个子空间，的两个子空间，12,v v121212dimdimdim()dim()vvvvvv 12121) dim()dimdimvvvv 此时此时 12dim()0,vv 即，必含非零向量即，必含非零向量. 12vv 情形情形2）是子空间的和的一种特殊情况）是子空间的和的一种特殊情况直和直和12122) dim()dimdimvvvv 此时此时 12dim()0,vv 不含非零向量，即不含非零向量，即 12vv 120vv 设设 为线性空间为线性空间v的两个子空间，若和的两个子空间，若和12,v v12vv

2、12112,vv 是唯一的，和就称为是唯一的，和就称为直和直和，记作，记作 12.vv 12vv 若有若有 ,1212111222,vv 则则 1122,. 分解式分解式 唯一的，意即唯一的，意即 12 中每个向量的分解式中每个向量的分解式 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立都成立. 例如，例如，r3的子空间的子空间11222333(,),(,),()vlvlvl 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) 这里，这里，在和中，向量的分解式不唯一，如在和中，向量的分解式不唯一，如12vv (2,2,2)(2,3,0)(0, 1,2)(2

3、,1,0)(0,1,2) 所以和不是直和所以和不是直和.12vv 而在和中，向量而在和中，向量 (2,2,2) 的分解式是唯一的，的分解式是唯一的，13vv (2,2,2)(2,2,0)(0,0,2) 事实上，对事实上，对12313(,),a a avv 故是直和故是直和.12vv 123(,0)(0,0,).a aa 都只有唯一分解式：都只有唯一分解式：分解式唯一，即若分解式唯一，即若1211220,vv 1、(定理定理8) 和是直和的充要条件是零向量和是直和的充要条件是零向量12vv 则必有则必有120.1211220,vv 若若证证：. 12vv 是直和是直和, 12,vv 的分解式唯一

4、的分解式唯一.120,0. 而而0有分解式有分解式 0 0= =0 00 0, ,. 故是直和故是直和. 12vv ,1212111222,vv 设，它有两个分解式设，它有两个分解式12vv 有有11220,0. 其中其中 111222,vv 于是于是 1122()()0由零向量分解成唯一，且由零向量分解成唯一，且 0 0= =0 00 0, ,即即 1122, 的分解式唯一的分解式唯一. 2、和是直和和是直和 12vv 120vv . .则有则有 12120vv 120, 即即 12vv 是直和是直和. “”任取任取 12,vv 证证：“”若若 1211220,.vv于是零向量可表成于是零向

5、量可表成 120(),.vv 由于是直和，零向量分解式唯一，由于是直和，零向量分解式唯一， 12vv 0. 故故 120 .vv 证：由维数公式证：由维数公式3、和是直和和是直和 12vv 1212dim()dimdimvvvv 121212dimdimdim()dim()vvvvvv 有，有，1212dim()dimdimvvvv12dim()0vv 120vv 12vv 是直和是直和. （由（由2、得之）得之），设为线性空间，设为线性空间v v的子空间，则下面的子空间，则下面12,v v四个条件等价四个条件等价:2）零向量分解式唯一零向量分解式唯一1）是直和）是直和 12vv 3） 120

6、vv 4）1212dim()dimdimvvvv4、(定理定理10) 设设u是线性空间是线性空间v的一个子空间，的一个子空间，称这样的称这样的w为为u的一个的一个. 则必存在一个子空间则必存在一个子空间w，使，使 .vuw证：取证：取u的一组基的一组基,12m 把它扩充为把它扩充为v的一组基的一组基,121mmn ,12(),mmnwl 令令则则 .vuw余子空间余子空间 一般不是唯一的一般不是唯一的( (除非除非u是平凡子空间是平凡子空间) ).注意：注意：如，在如，在r3中，设中，设121122(,),(),(),ulwlwl 令令1212(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(

7、0,0,1) 31212,ruwuwww 则则 但但5、设设 分别是分别是线性子空间线性子空间;1212,rs 12,v v的一组基，则的一组基，则是直和是直和12vv 1212,rs 线性无关线性无关.证：由题设，证：由题设， ,1121(,), dimrvlvr 2122(,), dimsvlvs ,121212(,).rsvvl 若线性无关，若线性无关，1212,rs 则它是则它是 的一组基的一组基.12vv 从而有从而有反之反之, ,若若 直和，则直和，则12vv 1212dim()dimdimvvvvrs从而的秩为从而的秩为rs . .1212,rs 所以线性无关所以线性无关.121

8、2,rs 是直和是直和. .12vv1212dim()dimdimvvrsvv 中每个向量的分解式中每个向量的分解式121sisivvvv 都是线性空间都是线性空间v的子空间，若和的子空间，若和12,sv vv是唯一的，则和就称为直和，记作是唯一的，则和就称为直和，记作1siiv 12svvv ,121,2,siiv is 四个条件等价四个条件等价:2）零向量分解式唯一，即零向量分解式唯一，即3） 0 ,1,2,ijj ivvis 4）1dimdimsiiwv 设都是线性空间设都是线性空间v v的子空间，则下面的子空间，则下面12,sv vv1）是直和）是直和 1siiwv 0,1,2,iis

9、 必必有有,120,siiv 例例1、每一个每一个n维线性空间都可以表示成维线性空间都可以表示成n个一维个一维子空间的直和子空间的直和.证：设是证：设是n维线性空间维线性空间v的一组基的一组基, ,12,n 则则 ,12(,)nvl 12()()()nlll 而而 dim ()1,1,2,ilin 1dim ()dimsiilnv 故故12()()().nvlll 得证得证. .例例2、已知，设、已知，设n nap ,12,0nnvax xpvx xpax 2）当）当 时，时，12.npvv 2aa 证：证：1） 100,0av 任取任取有有1,aavkp 11(),()().aaavk aa

10、 kv是是 的子空间的子空间.np1v证明：证明：1） 是是 的子空间的子空间.12vv、np200,0av 0,0,aa又对又对2,vkp 有有从而有从而有 ()000aaa ()00a kkak22,vkv 故故 是是 的子空间的子空间.np2v下证下证 是是 的子空间的子空间.np2v又又12.npvv 2）先证）先证 任取任取,(),npaa 有有2()0aaaaaa 2.av 12.npvv12.vv 于于是是有有 11.npvv 其中其中1,av 再证再证 12.npvv 又是又是 的子空间，的子空间，12vv np 120vv 2,0.va 由由有有1,.nvpa 由由必必有有,

11、 , 使使任取任取1212.vvvv , , 即即且且2()0.aaa aa从而从而12.npvv 所以所以1 设设v1 、v2分别是齐次线性方程组分别是齐次线性方程组 与与的的证证：解齐次线性方程组：解齐次线性方程组，得其一个基础解系，得其一个基础解系121(1,0,0, 1)(0,1,0, 1)(0,0,1, 1)n 120nxxx 12nxxx解空间：解空间：证明证明: :12npvv 再解齐次线性方程组再解齐次线性方程组.,1121().nvl 由由12nxxx即即121000nnnnxxxxxx 得得的一个基础解系的一个基础解系(1,1,1) 2( ).vl 考虑向量组考虑向量组 ,121,n 由于由于 1 0010 10100 0111 11 1 ,121121()()()nnnnnplll 线性无关，即它为线性无关，即它为pn的一组基的一组基.,121,n 12npvv12vv12dimdim(1)1dimnvvnnp 又又2、和是直和、和是直和12svvv 110 ,1,2,iijjvvis 证证:12svvv若若是是直直和和, , 110 ,1,2,iijjvvis 11iijijjj ivvvv 又又 0 ,ijj ivv 则则12svvv 假假若若不不是是直直