画法几何换面法

1、一、换面法的基本概念一、换面法的基本概念变换投影面即变换投影面即“换面法换面法”。根据。根据“真实性真实性” ，当空间，当空间的直线或平面与投影面平行时，其投影能够反映直线的的直线或平面与投影面平行时，其投影能够反映直线的实长和平面的真实的形状。根据实长和平面的真实的形状。根据“积聚性积聚性” ，当空间的，当空间的直线或平面与投影面垂直时，其投影积聚成点或直线。直线或平面与投影面垂直时，其投影积聚成点或直线。变换投影面的基本原理是：设置变换投影面的基本原理是：设置新的投影面来代替原新的投影面来代替原来的某一投影面，并使新投影面与空间几何元素处于平来的某一投影面，并使新投影面与空间几何元素处于平

2、行或垂直的特殊位置。行或垂直的特殊位置。且使新投影面与原未被替换的投且使新投影面与原未被替换的投影面垂直。影面垂直。5 - 4 换面法换面法1、为求、为求ab实长可设一实长可设一v1投影面，投影面，v1面与面与ab平行平行并垂直于并垂直于h投影面。将投影面。将ab线向线向v1面作正投影，则面作正投影，则ab线在线在v1面上的投影便可反面上的投影便可反映实长。映实长。2、直线的新投影还可、直线的新投影还可反映反映角的实际大小。角的实际大小。5 - 4 换面法换面法换面法应用一：换面法应用一： 在在v、h两投影面体系中，两投影面体系中，ab为一般位置直线，其两面为一般位置直线，其两面投影均不能反映

3、实长。投影均不能反映实长。图中图中abcabc平面为一平面为一铅垂面，其水平投影积铅垂面，其水平投影积聚为一直线，正面投影聚为一直线，正面投影为缩小的类似形。为缩小的类似形。为求得为求得abcabc平面的平面的真实形状，可设一新投真实形状，可设一新投影面影面v v1 1，v v1 1面与面与abcabc平平面平行并垂直于面平行并垂直于h h投影投影面。面。换面法应用二：换面法应用二：1、旧投影面：指图中的、旧投影面：指图中的v、h面；面；2、旧投影：指几何元素在、旧投影：指几何元素在v、h面上的投影；面上的投影；3、被替换的投影面：图中、被替换的投影面：图中的新面的新面v1与与h面垂直，替换了

4、面垂直，替换了旧投影面旧投影面v，因此，因此v面为被替换面为被替换的投影面的投影面,v面上的投影称为被面上的投影称为被替换的投影；替换的投影；二、换面法的术语：二、换面法的术语： 4、不变的投影面及不变投影：指图中的、不变的投影面及不变投影：指图中的h面以及几何要面以及几何要 素在素在h面上的投影。面上的投影。 换面法的投影面转换过程如图所示。换面法的投影面转换过程如图所示。点击演示动画点击演示动画 二、换面法的术语：二、换面法的术语： 5、新投影面：指图中的、新投影面：指图中的v1面，如果需要也可设面，如果需要也可设h1面面 6、新投影轴：新投影面与不变投影面的交线，如图中的、新投影轴：新投

5、影面与不变投影面的交线，如图中的o1x1 7、新投影：指几何要素在新投影面上的投影、新投影：指几何要素在新投影面上的投影,如如a1b1换面法的投影规律：换面法的投影规律：在对几何要素进行投影变换在对几何要素进行投影变换时，仍旧遵循着时，仍旧遵循着正投影的基本正投影的基本规律以及投影面的展开方法规律以及投影面的展开方法。v、h面上的投影；面上的投影；三、点的投影变换三、点的投影变换1、点的一次变换、点的一次变换v、h两投影面体系中有一两投影面体系中有一a点，现在适当位置设一点，现在适当位置设一v1面，面， v1和和h面构成新的两投影面体系。面构成新的两投影面体系。a点在点在v1面上的正投影记做面

6、上的正投影记做a1。a1与与a的连线和的连线和o1x1轴的轴的交点记做交点记做ax1。 将将v1与与h面展开。面展开。 点击演示动画点击演示动画1、点的一次变换、点的一次变换问题问题1：点的新投影：点的新投影a1与不变投影与不变投影a的连线的连线？ 垂直于新轴垂直于新轴o1x1。（点的变换规律（点的变换规律1）问题问题2：点的新投影：点的新投影a1到新轴到新轴o1x1（ax1)的距离的距离？ 等于被替换的投影等于被替换的投影a到旧轴（到旧轴（ax）的距离。）的距离。（点的变（点的变换规律换规律2）根据上述分析，便可得出点的变换投影：（变根据上述分析，便可得出点的变换投影：（变换换h1面与变换面

7、与变换v1面的规律是一样的）面的规律是一样的）n 点的新投影与不变投影的连线垂直于新轴；点的新投影与不变投影的连线垂直于新轴；n 点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到 旧轴的距离。旧轴的距离。需要注意的是：谁是点的不变投影、被替换的投影。需要注意的是：谁是点的不变投影、被替换的投影。1、点的一次变换、点的一次变换作图分析：作图分析：从图中标注可知变换的是从图中标注可知变换的是v v1 1投影投影面，面，a a为被替换的投影，为被替换的投影，a a为不变投为不变投影。按照点的变换规律即可作出影。按照点的变换规律即可作出a a点点的新投影。的新投影。作图

8、步骤：作图步骤：例：如下图，已例：如下图，已知知a点的两面投点的两面投影影a、a，试作出，试作出给定位置的给定位置的a点点新投影。新投影。1、点的一次变换、点的一次变换作图分析：作图分析：变换变换h h1 1面与变换面与变换v v1 1面的作图分析和作图步骤相同。面的作图分析和作图步骤相同。本题的投影变换作图为本题的投影变换作图为点点a的两个一次变换。的两个一次变换。例：已知例：已知a点的两面投影点的两面投影a、a，试作出给定位置的，试作出给定位置的a点新点新投影。又：作出投影。又：作出a点在点在h1面上的投影。面上的投影。在用投影变换的方法求解一些实际问题时，需要变换两在用投影变换的方法求解

9、一些实际问题时，需要变换两次投影面，这样的变换方法称为二次变换。次投影面，这样的变换方法称为二次变换。二次变换实际上就是连续作出的两个一次变换。其变换二次变换实际上就是连续作出的两个一次变换。其变换的原则和变换的规律与一次变换方法完全相同。的原则和变换的规律与一次变换方法完全相同。不过在作二次变换时要正确判断出不变投影、被替换的不过在作二次变换时要正确判断出不变投影、被替换的投影、新轴和旧轴，准确定出点的新投影的位置。投影、新轴和旧轴，准确定出点的新投影的位置。图中先变换的是图中先变换的是v1面，接着作第面，接着作第二次变换。此时的二次变换。此时的h1面与面与v1面垂直，面垂直，被替换是被替换

10、是h面，而面，而v1面为不变投影面为不变投影面。面。o2x2为新的投影轴，为新的投影轴，o1x1则成则成了旧投影轴。了旧投影轴。点击演示动画点击演示动画2、点的二次变换、点的二次变换例：如右图，作出例：如右图，作出a点的二点的二次变换投影图。次变换投影图。 作图分析：两次变换的规律是作图分析：两次变换的规律是一样的，要注意的是在作第二次一样的，要注意的是在作第二次变换时，定准点的新投影的位置。变换时，定准点的新投影的位置。作图过程如图所示。作图过程如图所示。四、直线的投影变换四、直线的投影变换直线的变换主要解决以下两个方面问题：直线的变换主要解决以下两个方面问题： 求直线的实际长度或倾角求直线

11、的实际长度或倾角 求直线的积聚性投影求直线的积聚性投影 变换直线可归结于变换变换直线可归结于变换直线上的两端点的作图。只直线上的两端点的作图。只是要根据解决的实际问题确是要根据解决的实际问题确定变换的新投影面的位置。定变换的新投影面的位置。 1、将一般位置直线变换为投影面平行线、将一般位置直线变换为投影面平行线通过通过一次变换一次变换可将可将一般位置直线一般位置直线变换为变换为投影面平行线投影面平行线，求得直线的实际长度以及直线对投影面的夹角。求得直线的实际长度以及直线对投影面的夹角。为求得为求得abab线的实长，所设置的新投影面线的实长，所设置的新投影面v v1 1应与应与abab平行。平行

12、。从直观图上可看出，体现新面位置的从直观图上可看出，体现新面位置的新轴新轴就应就应平行于平行于abab线的线的水平投影水平投影 abab。1、将一般位置直线变换为投影面平行线、将一般位置直线变换为投影面平行线例：求出例：求出ab直线的实长以及对直线的实长以及对h面倾角面倾角。作图分析：在水平投影图的适当位置作一作图分析：在水平投影图的适当位置作一平行于平行于ab的新轴的新轴 o1x1，然后按照点的变换规律作出，然后按照点的变换规律作出ab线的新投影。线的新投影。作图步骤如图示：作图步骤如图示：2、将投影面的平行线变换为投影面垂直线、将投影面的平行线变换为投影面垂直线通过一次变换使得直线在新投影

13、面通过一次变换使得直线在新投影面上的投影积聚为一点。因此所设置的上的投影积聚为一点。因此所设置的新投影面应与直线成垂直。新投影面应与直线成垂直。例：将例：将ab直线变换为一投影面垂直线。直线变换为一投影面垂直线。注意：应在反映直线实长的投影图中进行变换。注意：应在反映直线实长的投影图中进行变换。作图分析：作图分析： 所设的新投影面应所设的新投影面应垂直于垂直于abab线的正面线的正面投影。体现新面位投影。体现新面位置的新轴置的新轴o o1 1x x1 1应垂应垂直于直于a ab b。3、将一般位置直线变换为投影面垂直线、将一般位置直线变换为投影面垂直线 要将一般位置直线变换为投影面垂直线则需要

14、作两次要将一般位置直线变换为投影面垂直线则需要作两次换面。从下图可看出，第一次换面将直线变换为投影面换面。从下图可看出，第一次换面将直线变换为投影面平行线。再将投影面平行线变换成投影面垂直线，使变平行线。再将投影面平行线变换成投影面垂直线，使变换后直线的新投影积聚为一点。换后直线的新投影积聚为一点。 例：试将例：试将ab直线变换为一投影面垂直线。直线变换为一投影面垂直线。作图分析：作图分析： 第一次设置一与第一次设置一与 ab平行平行的的v1面，将面，将ab直线变换为投直线变换为投影面平行线。再设置垂直于影面平行线。再设置垂直于ab线的线的h1面，则面，则ab的新投影的新投影积聚为一点。积聚为

15、一点。3、将一般位置直线变换为投影面垂直线、将一般位置直线变换为投影面垂直线作图过程如图示：作图过程如图示：1）作新轴）作新轴o1平行于平行于ab(ab也也 可可)，作出第一次变换的新投影，作出第一次变换的新投影 a1b1；2）作新轴）作新轴o2垂直于垂直于a1b1，按，按 投影规律作出第二次变换的新投影规律作出第二次变换的新 投影投影a2b2。五、平面的投影变换五、平面的投影变换通过平面的变换主要解决两方面的问题：通过平面的变换主要解决两方面的问题：u 将平面变换为投影面平行面，求得平面的实际形状将平面变换为投影面平行面，求得平面的实际形状u 将平面变换为投影面垂直面，求得平面与投影面的夹角

16、将平面变换为投影面垂直面，求得平面与投影面的夹角点击演示动画点击演示动画 变换平面的方法同变换点、直变换平面的方法同变换点、直线相同，只是由于要找的点比较线相同，只是由于要找的点比较多，在作图时更要细心。多，在作图时更要细心。五、平面的投影变换五、平面的投影变换1、将投影面垂直面变换为投影面平行面、将投影面垂直面变换为投影面平行面作图分析：作图分析： 新投影面应平行于空间新投影面应平行于空间平面，所以新投影轴就应平面，所以新投影轴就应平行于空间平面的积聚性平行于空间平面的积聚性投影。即投影。即o1x1abc。 投影面的空间转换关系投影面的空间转换关系如图所示。如图所示。例：用换面法求出例：用换

17、面法求出abc平面的实际形状。平面的实际形状。 作图分析：作图分析：由于由于abc平面为一平面为一铅垂面铅垂面 ，则，则o1x1轴应平行于平面的轴应平行于平面的积聚性投影。积聚性投影。作作图图过过程程如如图图所所示：示：2 2、将一般位置平面变换为投影面垂直面、将一般位置平面变换为投影面垂直面将一般位置平面变换为投影面垂直面的作图步骤如下：将一般位置平面变换为投影面垂直面的作图步骤如下：l 在空间平面内作一投影面平行线（下图中作了一条水在空间平面内作一投影面平行线（下图中作了一条水 平线）平线）l 设置与投影面平行线成垂直的新设置与投影面平行线成垂直的新 投影面（如下图中设置的投影面（如下图中

18、设置的v1面）面）作图分析：作图分析： 在作图时首先要考虑的是如何确定新投影面的位置。在作图时首先要考虑的是如何确定新投影面的位置。要注意：要注意：新投影面垂直于空间平面内的一新投影面垂直于空间平面内的一条线，也就垂直于空间平面。条线，也就垂直于空间平面。作图步骤如图示：作图步骤如图示：例：将例：将abcabc平面变换为投影面垂直面。平面变换为投影面垂直面。3 3、将一般位置平面变换为投影面平行面、将一般位置平面变换为投影面平行面上述的分析步骤实际上就是将前面所介绍的两种变上述的分析步骤实际上就是将前面所介绍的两种变换平面的方法综合加以应用。换平面的方法综合加以应用。 作图分析：作图分析： 将一般位置平面变换成投影面平行面要作将一般位置平面变换成投影面平行面要作两次变换。即先变换成投影面垂