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1、解三角形专题2三角形解的个数问题 a为锐角a为钝角或直角图形关系absinaa=bsinabsinaababab解的个数无解一解两解一解无解1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角,判断三角形是否有解,并指出有几解?(1) (2) (3) (4) 答案:(1) 而,故无解(2) ,故有无解(3) ,故有一组解(4) ,故有两组解2在abc中,a=45,ab=,则“bc=”是“abc只有一解且c=60”的a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既为充分也不必要条件另解法法1:大角对大边在已知中的边长,和角,且已知,的大小关系,常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数,一般的做法
2、如下,首先利用大边对大角,判断出角与角的大小关系,然后求出的值,根据三角函数的有界性求解【例1】在中,已知,求、及解:由正弦定理,得,或当时,;当时,点评:在三角形中,这是个隐含条件,在使用时我们要注意挖掘法2:二次方程的正根个数一般地,在中的边长,和角,常常可对角应用余弦定理,并将其整理为关于的一元二次方程,若该方程无解或只有负数解,则该三角形无解;若方程有一个正数abcd解,则该三角形有一解;若方程有两个不等的正数解,则该三角形有两解【例2】如图,在四边形中,已知,求的长解:在中,设,由余弦定理得,整理得,解得由正弦定理,得点评:已知三角形两边和其中一边的对角,我们可以采用正弦定理或余弦定理求解,从上述例子可以看出,利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷法3:画圆法已知中,为已知角(),先画出,确定顶点,再在的一边上确定顶点,使边长为已知长度,最后以顶点为圆心,以边长为半径画圆,看该圆与的另一边是否有交点,如果没有交点,则说明该三角形的解的个数为0;若有一个交点,则说明该三角形的解的个数为1;若有两个交点,则说明该三角形的解的个数为2abcad【例3】在中,则解的情况()(a)无解(b)有一解(c)有两解(d)不能确定解:在的一边上确定顶点,使,
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