多面体与球的接切

1、2021/3/1717.2.2与球有关的切接问题与球有关的切接问题2021/3/1722021/3/1732021/3/174半圆以它的直径为旋转轴半圆以它的直径为旋转轴,旋转旋转所成的曲面叫做所成的曲面叫做球面球面.球面所围球面所围成的几何体叫做成的几何体叫做_,半半圆的圆心叫做球的圆的圆心叫做球的_,半半圆的半径叫做球的圆的半径叫做球的_ 。球球球心球心半径半径2021/3/175 性质性质2: 球心和截面圆心的连线球心和截面圆心的连线_于截面于截面22dRr性质性质1:用一个平面去截用一个平面去截球球,截面是截面是_ ; 用一个平面去截用一个平面去截球面球面, 截线是截线是 _。大圆大圆

2、-截面过截面过_,半径等于球半径半径等于球半径;小圆小圆-截面不过截面不过_性质性质3: 球心到截面的距离球心到截面的距离d与球与球 的半径的半径R及截面的半径及截面的半径r 有下面的关系有下面的关系:圆面圆面圆圆球心球心球心球心垂直垂直2021/3/176二、二、 球与多面体的接、切球与多面体的接、切定义定义1:若一个多面体的若一个多面体的各顶点各顶点都在一个球的球面上都在一个球的球面上, 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的内接多面体内接多面体, 这个球是这个这个球是这个 。定义定义2:若一个多面体的若一个多面体的各面各面都与一个球的球面相切都与一个球的球面相切, 则称这个多面

3、体是这个球的则称这个多面体是这个球的外切多面体外切多面体, 这个球是这个这个球是这个 。一、一、球体的体积与表面积球体的体积与表面积343VR 球球24SR 球球面面多面体的多面体的外接球外接球 多面体的多面体的内切球内切球2021/3/1772021/3/178问题探究一 球心在正方体的中心,随着球的半径逐渐增大,球与正方体有哪些特殊位置关系?2021/3/179正方体正方体的内切、外接、棱切球的内切、外接、棱切球.ra2021/3/1710正方体的正方体的内切内切球球的半径是棱的半径是棱长的一半长的一半正方体的内切球正方体的内切球球的直径等于正方体棱长。aR 22021/3/1711正方体

4、的棱切球正方体的棱切球2021/3/1712球与正方体的棱相切球与正方体的棱相切球的直径等于正方体一个面上的对角线长aR22切点切点:各棱的中点各棱的中点。球心球心:正方体的中心正方体的中心。直径直径: “对棱对棱”中点连线中点连线2021/3/1713正方体的外接球正方体的外接球球直径等于球直径等于正方体的（体）对角线aR322021/3/1714正方体的内切球直径正方体的内切球直径正方体的外接球直径正方体的外接球直径与正方体所有棱相切的球直径与正方体所有棱相切的球直径若正方体的棱长为若正方体的棱长为a,则则aa3a22021/3/1715问题探究二 球与长方体又有哪些位置关系?2021/3

5、/1716长方体的外接球长方体的外接球长方体的（体）对角线等于球直径Rcbalcba2222，则、分别为设长方体的长、宽、高2021/3/1717核对变式1答案2021/3/1718 问题探究三 随着球半径的逐渐减小,球与正四面体有哪些特殊位置关系?2021/3/17191、球与正四面体的外接问题、球与正四面体的外接问题设棱长为设棱长为a的正四面体的外接球的半径的正四面体的外接球的半径R. aR4622212ROOBO2021/3/17202.球与正四面体的棱切问题球与正四面体的棱切问题 设棱长为设棱长为a的正四面体的棱切球的半径的正四面体的棱切球的半径R. 122=4Ra正方体的棱长2021

6、/3/17213.球与正四面体的内切问题球与正四面体的内切问题rShSV全面积底面积3131ar126 Sh Sr 底面积全面积14SrSh底面积全面积14rh？63haOPABCDKH2021/3/172216412rha内36=44arh外63haOPABCDKH122=4ra棱正方体的棱长2021/3/1723:若正四面体变成正三棱锥,方法是否有变化?22212ROOBO2021/3/1724:若正四面体变成正四棱锥,方法是否有变化?22212ROOBO2021/3/1725:正四面体ABCD的棱长为a,求其内切球半径r与外接球半径R.1 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等、内切球球

7、心到多面体各面的距离均相等, ,外接球外接球球心到多面体各顶点的距离均相等球心到多面体各顶点的距离均相等2 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合、正多面体的内切球和外接球的球心重合3 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上, ,但不但不一定重合一定重合4 4、基本方法、基本方法: :构造三角形利用相似比和勾股定理构造三角形利用相似比和勾股定理5 5、体积分割是求内切球半径的通用做法、体积分割是求内切球半径的通用做法252021/3/1726C 解：设四面体为解：设四面体为ABCD， 为其外接球为其外接球心。心。1O 球半径为球半径为R,O为为A在平面在

8、平面BCD上的上的射影射影,M为为CD的中点。的中点。连结连结B1O222223() ,43 .323RRRR球解得所以SOABS1OMR261t00RAR利用勾股定理解得2021/3/1727D1C1B1A1DCBA234()3,2S球= 解法解法2 构造棱长为构造棱长为1的正方的正方体，如图。则体，如图。则A1、C1、B、D是是棱长为棱长为 的正四面体的顶点。的正四面体的顶点。正方体的外接球也是正四面体正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径的外接球，此时球的直径为为 ，23选选A272021/3/17282021/3/17292021/3/1730CBA D A D 2021/3

9、/1731举一反三:若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长分别为1、2、3,则其外接球的表面积是 .14S2563V2021/3/1732CBAABCPP222222411=)()222abcSabacbcabc侧（2021/3/1733CBDAACDB2021/3/17342021/3/1735球球里里面面的的内内接接圆圆柱柱问问题题2021/3/1736等边三等边三角形角形2021/3/1737直角三直角三角形角形2021/3/1738等腰三等腰三角形角形120度度2021/3/1739AA1CB3462021/3/17402014届邯郸市摸底考届邯郸市摸底考2021/3/1741（2012辽宁辽宁理理16） 已知正三棱锥已知正三棱锥 P-ABC,点点P,A,B，C都都在半径为在半径为 的的球球面上，若面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，两两互相垂直，则球心到截面则球心到截面ABC的距离为的距离为_. 3,.22261233333363323323333解法 ：PAaABa AHaPHaOHaRRaRaRad2021/3/17422322 312 323333解法 ：RRPHROHRPH2021/3/17431.已知长方形的边长是3,4,沿对角线折叠后