计算机应用基础-2-计算方法基础

1、第二章第二章 Matlab计算方法基础计算方法基础 矩阵基本分析矩阵基本分析 矩阵的运算矩阵的运算 矩阵的性质矩阵的性质 矩阵的分解矩阵的分解 符号运算符号运算一一 矩阵的创建矩阵的创建 (1) 直接赋值：在命令窗口以命令行的方式直直接赋值：在命令窗口以命令行的方式直接输入。以接输入。以 为开始和结束的标志，行与行之为开始和结束的标志，行与行之间用（；），元素之间用（，）或空格。间用（；），元素之间用（，）或空格。 (2) 冒号表达式冒号表达式 e1:e2:e3 (3) zeros 函数函数 创建全零矩阵，调用格式为：创建全零矩阵，调用格式为： 矩阵的基本分析矩阵的基本分析(4) eye函数函

2、数 创建单位矩阵，调用格式：创建单位矩阵，调用格式：A=zeros(m,n), 生成生成mXn全零矩阵。全零矩阵。B=eye(m,n), 生成生成mXn单位矩阵。单位矩阵。(5) rand函数函数 创建均匀随机矩阵，调用格式：创建均匀随机矩阵，调用格式：C=rand(m,n), 生成生成mXn随机矩阵。随机矩阵。 矩阵的基本分析矩阵的基本分析二二 矩阵及其元素的赋值矩阵及其元素的赋值变量变量=表达式（数）表达式（数）a=1 2 3; 4 5 6;7 8 9x=-1.3 sqrt(3) (1+2+3)/5*4x(5)=abs(x(1)a(4,3)=6.5a = 1.0000 2.0000 3.0

3、000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 0 0 6.5000 元素之间用逗号、空格分开。不同行以分元素之间用逗号、空格分开。不同行以分号隔开。语句结尾用回车或逗号，会显示号隔开。语句结尾用回车或逗号，会显示结果，如果不想显示结果，用分号。结果，如果不想显示结果，用分号。 元素用（）中的数字（下标）来注明，一元素用（）中的数字（下标）来注明，一维用一个下标，二维用两个下标，逗号分维用一个下标，二维用两个下标，逗号分开。开。 a(5,:)=5,4,3b=a(2,4,1,3)a(2,4,5, : )=a/7 如果赋值元素的下标超过原来矩阵的大如果赋

4、值元素的下标超过原来矩阵的大小，矩阵的行列会自动扩展。小，矩阵的行列会自动扩展。 全行赋值，用冒号。全行赋值，用冒号。 提取交点元素；提取交点元素； 抽取某行元素用空矩阵。抽取某行元素用空矩阵。 矩阵的基本分析矩阵的基本分析f1=ones(3,2)f2=zeros(2,3)f3=magic(3)f4=eye(2)f5=linspace(0,1,5)fb1=f1,f3;f4,f2fb2=fb1;f5 全全1矩阵矩阵 全全0矩阵矩阵 魔方矩阵：元素由魔方矩阵：元素由1到到nn的自然数组成，每行、每的自然数组成，每行、每列及两对角线上的元素之和均等于列及两对角线上的元素之和均等于(n3+n)/2。

5、单位矩阵是单位矩阵是nn阶的方阵。对角线上元素为阶的方阵。对角线上元素为1。 线性分割函数线性分割函数 大矩阵可由小矩阵组成，其行列数必须正确，恰大矩阵可由小矩阵组成，其行列数必须正确，恰好填满全部元素。好填满全部元素。 三三 基本赋值矩阵基本赋值矩阵 矩阵的基本分析矩阵的基本分析f1 = 1 1 1 1 1 1 全全1矩阵矩阵f3 = 8 1 6 魔方矩阵魔方矩阵 3 5 7 4 9 2线性分割函数线性分割函数f5 = 0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000大矩阵可由小矩阵组成大矩阵可由小矩阵组成fb2 =1.0000 1.0000 8.0000 1.0000 6.000

6、0 1.0000 1.0000 3.0000 5.0000 7.0000 1.0000 1.0000 4.0000 9.0000 2.0000 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000f2 = 0 0 0 全全0矩阵矩阵 0 0 0f4 = 1 0 单位矩阵单位矩阵 0 1fb1 = 1 1 8 1 6 1 1 3 5 7 1 1 4 9 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0fb1=f1,f3;f4,f2fb2=fb1;f5 矩阵的基本分析矩阵的基本分析一一 矩阵的初等运算矩阵的初等运算（1）矩阵的加减乘法）矩

7、阵的加减乘法i. 加、减法：相加减的两矩阵阶数必须相同，加、减法：相加减的两矩阵阶数必须相同，对应元素相加减。对应元素相加减。n,m=size(fb2)x=-1 0 1; y=x-1y = -2 -1 0 语句语句size检查矩阵阶数，两矩阵检查矩阵阶数，两矩阵相加，阶数必须相同。相加，阶数必须相同。 两相加减的矩阵中有一个是标两相加减的矩阵中有一个是标量时，量时，MATLAB将标量扩展成将标量扩展成同等元素矩阵，与另一矩阵相同等元素矩阵，与另一矩阵相加减。加减。 2 矩阵的运算矩阵的运算pi*x 标量与矩阵相乘，不检查阶数，标量乘以矩阵的每一个元素。标量与矩阵相乘，不检查阶数，标量乘以矩阵的

8、每一个元素。x=-1 0 1; X与与y内阶数不同，将内阶数不同，将y转置转置 y。读作。读作x左乘左乘y。y =-2 -1 0;x*y ans = 2 ans = 2 0 -2y*x X右乘右乘y。 1 0 -1 0 0 0(2) 矩阵乘法矩阵乘法矩阵矩阵A np阶与矩阵阶与矩阵B pm阶的乘积阶的乘积 C是是nm阶矩阵。阶矩阵。P是是A阵的阵的列数列数，B阵的阵的行数行数，称为两个相乘矩阵的，称为两个相乘矩阵的内阶数内阶数。两矩阵相乘的必要条件是两矩阵相乘的必要条件是内阶数相等内阶数相等。C(i,j)=kA(i,k)B(k,j)值为值为A阵第阵第i行和行和B阵第阵第j列对应元素列对应元素乘

9、积的和。乘积的和。2 矩阵的运算矩阵的运算eye(3)*a 左、右乘结果不同，只有单位矩阵例外。左、右乘结果不同，只有单位矩阵例外。a*eye(3) 单位矩阵乘以矩阵单位矩阵乘以矩阵A，左、右乘结果仍等于该矩阵。，左、右乘结果仍等于该矩阵。a = 1 2 3 ans = 1 2 3 ans = 1 2 3 4 5 6 4 5 6 4 5 6 7 8 9 7 8 9 7 8 92 矩阵的运算矩阵的运算二二 矩阵的除法及线性方程组的解矩阵的除法及线性方程组的解a =1 2 3 4 5 6 7 8 9AV=I V=A-1V=inv(a) inv(a)*aV = 1.0e+016 * -0.4504

10、0.9007 -0.4504 0.9007 -1.8014 0.9007 -0.4504 0.9007 -0.4504 nn阶方阵阶方阵A和同阶的方阵和同阶的方阵V相乘，得出相乘，得出n阶单位矩阵阶单位矩阵I。 I为为eye(n)。 V是是A的逆阵。的逆阵。V存在条件：存在条件：A的行列式不等于的行列式不等于0，det(A)0 V=A-1 MATLAB内部函数内部函数inv，得出，得出A的逆阵的逆阵V。D*X=B inv(D)*D*X=inv(D)*B inv(D)*D=I I*X=XX=inv(D)*B=DBX*D=B X=B*inv(D)=B/D D与与B行数相等行数相等 两端同时左乘以两

11、端同时左乘以inv(D) 逆阵逆阵 单位阵单位阵 DB为为D左除左除BX=DB，左除时阶数检查条件：两矩阵的行数必须相等。，左除时阶数检查条件：两矩阵的行数必须相等。 未知矩阵在左未知矩阵在左. D的逆阵右乘以的逆阵右乘以B，记作，记作 /D 右除。右除。 右除时阶数检查条件：两矩阵的列数必须相等。右除时阶数检查条件：两矩阵的列数必须相等。2 矩阵的运算矩阵的运算a=1 2 3; 3 -5 4; 7 8 9x=x1,x2,x3b=2;0;2ax=b x=ab a左除b方程组 X1+2X2+3X3=2 3X1- 5X2+4X3=0 7X1+8X2+9X3=2可以表示为ax=b2 矩阵的运算矩阵的

12、运算a=1 2 3;4 5 6b=2 4 0; 1 3 5d=1 4 7; 8 5 2; 3 6 0运算：a*b daa*b? Error using = *Inner matrix dimensions must agree.da? Error using = Matrix dimensions must agree.a*b ans = 6 16 20 9 23 25 12 30 30a*b ans = 10 22 28 49da ans = -0.0370 0 0.5185 1.0000 -0.1481 0a/d ans = 0.4074 0.0741 0.0000 0.7407 0.40

13、74 0.00002 矩阵的运算矩阵的运算解线性方程组解线性方程组Ax=B 6x1+3x2+4x3=3 -2 x1+5 x2+7 x3=-48 x1-4 x2-3 x3=-7 A=6 3 4; -2 5 7; 8 -4 -3B=3;-4; -7X=AB A = 6 3 4 -2 5 7 8 -4 -3B = 3 -4 -7X = 0.6000 7.0000 -5.40002 矩阵的运算矩阵的运算三三 矩阵结构形式的提取与变换矩阵结构形式的提取与变换A=8 1 6 0; 3 5 7 1; 4 9 2 2B1=fliplr(A)B2=flipud(A)B3=reshape(A,2,6) 提取矩阵中

14、某些特殊结构的元素，提取矩阵中某些特殊结构的元素， 组成新的矩阵，改变矩阵结构。组成新的矩阵，改变矩阵结构。 fliplr矩阵左右翻转矩阵左右翻转 flipud矩阵上下翻转矩阵上下翻转 reshape阶数重组（元素总数不变）阶数重组（元素总数不变）B4=rot90(A)B5=diag(A)B6=tril(A)B7=triu(A)B8=A(: ) rot90矩阵整体反时针旋转矩阵整体反时针旋转90度度 diag提取或建立对角阵提取或建立对角阵 tril取矩阵的左下三角部分取矩阵的左下三角部分 triu取矩阵的右上三角部分取矩阵的右上三角部分 将元素按列取出排成一列将元素按列取出排成一列 2 矩阵

15、的运算矩阵的运算 3.1 3.1 矩阵基本概念与性质矩阵基本概念与性质一一 行列式行列式 )Adet(daaa1)Adet(ADaAnnk2k21k1kij的的行行列列式式定定义义为为：矩矩阵阵3. 3. 矩阵的性质矩阵的性质【例例2-12-1】A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1 det(A) 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 4 14 15 1求行列式求行列式3. 3. 矩阵的性质矩阵的性质二二 矩阵的秩矩阵的秩3. 3. 矩阵的性质矩阵的性质rank(A)=rc=rr 其中其中rc为行稚，为行稚，rr为列秩为

16、列秩r=rank(A) % 采用默认的精度求秩采用默认的精度求秩r=rank(A, ) % 给定精度给定精度 求秩求秩【例例2-22-2】A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1 r=rank(A)R=rank(A)=3 16 2 3 13 5 11 10 8 求求A= 9 7 6 12 的秩的秩 4 14 15 13. 3. 矩阵的性质矩阵的性质3.2 3.2 逆矩阵与广义逆矩阵逆矩阵与广义逆矩阵一一 矩阵的逆矩阵矩阵的逆矩阵 AC=CA=I其中其中A为为nXn非奇异方阵，则非奇异方阵，则 C=A-1C=inv(A)3. 3. 矩阵的性质矩阵的性

17、质矩阵的伪逆矩阵的伪逆 B=pinv(A)【例2-3】A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1 format long; B=inv(A) 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 求逆求逆 4 14 15 1下列奇异矩阵下列奇异矩阵3. 3. 矩阵的性质矩阵的性质3.3 3.3 矩阵的特征值问题矩阵的特征值问题一、一、 一般矩阵的特征值与特征向量一般矩阵的特征值与特征向量Ax= x d= eig(A) %只求特征值只求特征值V, D= eig(A) % 求特征值和特征向量求特征值和特征向量3. 3. 矩阵的性质矩阵的性质【例

18、例2-4】A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1 eig(A)求下列矩阵的特征值和特征向量求下列矩阵的特征值和特征向量 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 4 14 15 1同时求出特征值和特征向量同时求出特征值和特征向量 V, D= eig(A) 3. 3. 矩阵的性质矩阵的性质二二 矩阵的广义特征向量问题矩阵的广义特征向量问题Ax = Bx d = eig(A, B) 求解广义特征值求解广义特征值 V, D = eig(A, B) 求解广义特征值和特征向量求解广义特征值和特征向量3. 3. 矩阵的性质矩阵的性质【例

19、例2-52-5】 A=5 7 6 5; 7 10 8 7; 6 8 10 9; 5 7 9 10; B=2 6 -1 -3; 5 -1 2 3; -3 -4 1 10; 5 -2 -3 8; V,D=eig(A,B) 5 7 6 5 7 10 8 7 A= 6 8 10 9 5 7 9 10 2 6 -1 -2 5 -1 2 3 B= -3 -4 1 10 5 -2 -3 8求特征值和特征向量求特征值和特征向量3. 3. 矩阵的性质矩阵的性质V = 0.2928 -0.2697 + 0.7303i -0.2697 - 0.7303i 1.0000 1.0000 -0.1637 - 0.3013

20、i -0.1637 + 0.3013i -0.6088 0.6948 0.9627 - 0.0175i 0.9627 + 0.0175i -0.2322 0.8860 -0.6795 - 0.2999i -0.6795 + 0.2999i 0.1323 D = 5.2777 0 0 0 0 0.0303 + 0.1790i 0 0 0 0 0.0303 - 0.1790i 0 0 0 0 -0.0036 3. 3. 矩阵的性质矩阵的性质三三 矩阵分析矩阵分析det(A)： 矩阵的行列式矩阵的行列式 poly(A)： 矩阵特征多项式矩阵特征多项式rank(A)：矩阵的秩：矩阵的秩inv(A)：

21、矩阵的逆矩阵的逆cond(A)：矩阵的条件数：矩阵的条件数trace(A)：矩阵的迹：矩阵的迹pinv(A)： 矩阵的伪逆矩阵的伪逆3. 3. 矩阵的性质矩阵的性质 正交矩阵正交矩阵4 4 矩阵的基本变换矩阵的基本变换X=B-1ABQ*Q=I, 且且QQ*=IQ=orth(A) A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; Q=orth(A)norm(Q*Q-eye(3)ans = 1.0140e-015【例例2-62-6】 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的正交矩阵的正交矩阵 4 14 15 14 4 矩阵的基本变换

22、矩阵的基本变换4 4 矩阵的基本变换矩阵的基本变换一一 矩阵的矩阵的QR分解分解A=Q*RA 为非奇异矩阵，为非奇异矩阵，Q 为正交矩阵，为正交矩阵，R为上三角矩阵，调为上三角矩阵，调用格式：用格式： Q,R=qr(A)【例例2-62-6】 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; Q,R=qr(A) 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的的QR分解分解 4 14 15 14 4 矩阵的基本变换矩阵的基本变换二二 矩阵的三角分解矩阵的三角分解A=LU1ll1l1L2n1n21nnn222n11211uuuuuuU其中其

23、中4 4 矩阵的基本变换矩阵的基本变换【例例2-72-7】 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; V,D=lu(A)V = 1.0000 0 0 0 0.3125 0.7685 1.0000 0 0.5625 0.4352 1.0000 1.0000 0.2500 1.0000 0 0D = 16.0000 2.0000 3.0000 13.0000 0 13.5000 14.2500 -2.2500 0 0 -1.8889 5.6667 0 0 0 0 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的的LU分解分解 4 1

24、4 15 14 4 矩阵的基本变换矩阵的基本变换三三 矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解ATA=0, AAT=0其中其中A为任意的为任意的nxm矩阵矩阵 理论上有理论上有 rank(ATA)=rank(AAT)=rank(A)奇异值定义奇异值定义 AATiAi其中其中 i为非负特征值为非负特征值4 4 矩阵的基本变换矩阵的基本变换奇异值的计算：奇异值的计算： s=svd(A)【例例2-82-8】A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1 U, S, V=svd(A) 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的奇异分解的奇异分解

25、4 14 15 14 4 矩阵的基本变换矩阵的基本变换矩阵分解矩阵分解qr(A)： 矩阵的矩阵的QR分解分解 lu(A)： 矩阵的矩阵的LU分解分解eig(A)： 求特征值和特征向量求特征值和特征向量 svd(A)： 矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解chol(A)：矩阵的：矩阵的Cholesky分解分解（A=T*T，T为正定上三角矩阵）为正定上三角矩阵）4 4 矩阵的基本变换矩阵的基本变换5 5 符号运算符号运算Matlab 提供了一种符号数据类型，相应的运算对象成为提供了一种符号数据类型，相应的运算对象成为符号对象，符号对象， Matlab符号运算功能集中在符号工具箱符号运算功能集中在符号工

26、具箱(symbolic toolbox)。符号表达式可以代表数字、函数和变量的符号表达式可以代表数字、函数和变量的Matlab字符串字符串或字符串数组，它不要求变量要有预先确定值。或字符串数组，它不要求变量要有预先确定值。符号对象：符号对象： sym 或或syms函数用于建立单个和多个符号变量。函数用于建立单个和多个符号变量。f=sym(expr) % 表达式表达式expr转换为符号对象转换为符号对象syms(arg1,arg2,) % 将将arg1,arg2定义为符号变量定义为符号变量 syms arg1 arg2 % 上面的简化（变量间只能用空格隔开）上面的简化（变量间只能用空格隔开）符号

27、表达式符号表达式 包括符号符号函数和符号方程，其中符号函数没有等号，包括符号符号函数和符号方程，其中符号函数没有等号，符号方程必须带有等号。符号方程必须带有等号。 注意注意symsym可以建立符号方程，而可以建立符号方程，而symssyms不能不能。例：例： y=sym(2y=sym(2* *sin(x)sin(x)* *cos(y)cos(y) syms x1 x2 x3 x4 syms x1 x2 x3 x4 z=sin(x1) z=sin(x1)* *cos(x2)+cos(x1)cos(x2)+cos(x1)* *sin(x2)sin(x2) simple(z) simple(z) A

28、=x1 x2;x3 x4 A=x1 x2;x3 x4 DA=det(A) DA=det(A)f=f=sym(sin(x)+cos(y)-1=0sym(sin(x)+cos(y)-1=0) )f=f=syms(sin(x)+cos(y)-1=0) % syms(sin(x)+cos(y)-1=0) % Not a valid variable name5 5 符号运算符号运算基本命令基本命令 findsym(expr) % findsym(expr) % 确定表达式确定表达式exprexpr中所有符号为自变量中所有符号为自变量 findsym(expr,n) % findsym(expr,n)

29、% 确定表达式确定表达式exprexpr中靠中靠x x最近的最近的n n个自变量个自变量例：例： syms a x y z tsyms a x y z t findsym(sin(pi findsym(sin(pi* *t)t) findsym(x+i findsym(x+i* *y-jy-j* *z,1)z,1) findsym(x+i findsym(x+i* *y-jy-j* *z,2)z,2) findsym(x+i findsym(x+i* *y-jy-j* *z,3)z,3)5 符号运算符号运算基本命令基本命令 digits(d) % digits(d) % 设置有效数字个数为设置

30、有效数字个数为d d的近似解精度的近似解精度 R=vpa(A) % R=vpa(A) % 对表达式对表达式A A求值求值 R=vpa(A,d) % dR=vpa(A,d) % d为输出数值的有效位数为输出数值的有效位数例：例： digits(25) % digits(25) % 设置设置vpavpa输出的有效位数输出的有效位数 q=vpa(sin(sym(pi)/6)q=vpa(sin(sym(pi)/6) p=vpa(pi) p=vpa(pi) w=vpa(1+sqrt(5)/2,5) w=vpa(1+sqrt(5)/2,5)5 符号运算符号运算基本命令基本命令 R=subs(S) R=su

31、bs(S) R=subs(S,old,new) R=subs(S,old,new)例：例： a=980; C1=3; a=980; C1=3; y=dsolve(Dy=-a y=dsolve(Dy=-a* *y) y) subs(y) subs(y) subs(a+b,a,4) subs(a+b,a,4) subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2) subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2) subs(x subs(x* *y,x,y,0 1;-1 0,1 -1;-2 1)y,x,y,0 1;-1 0,1 -1;-2 1)5 符号运算

32、符号运算求极限命令求极限命令 limit(F,x,a) % xlimit(F,x,a) % x趋向趋向a a时时F F的极限的极限 limit(F,a) % limit(F,a) % 利用利用findsymfindsym确定变量确定变量 limit(F) % limit(F) % 默认默认 a=0a=0 limit(F,x,a, limit(F,x,a,rightright) % ) % 右极限右极限 limit(F,x,a,limit(F,x,a,leftleft) % ) % 左极限左极限例：例： syms x a t h;syms x a t h; limit(sin(x)/x) lim

33、it(sin(x)/x) limit(1/x,x,0,right) limit(1/x,x,0,right) limit(1/x,x,0,left) limit(1/x,x,0,left) limit(sin(x+h)-sin(x)/h,h,0) limit(sin(x+h)-sin(x)/h,h,0) v = (1 + a/x)x, exp(-x); v = (1 + a/x)x, exp(-x); limit(v,x,inf,left) limit(v,x,inf,left)5 5 符号运算符号运算求导命令求导命令 diff(S,diff(S,v v,n) % S,n) % S对变量对变量

34、v v求求n n阶导数阶导数 diff(S,diff(S,v v) % S) % S对对v v求一阶导数求一阶导数 diff(S,n) % diff(S,n) % 自变量由自变量由findsymfindsym确定确定 diff(S) % diff(S) % 自变量由自变量由findsymfindsym确定确定例：例： syms x tsyms x t diff(sin(x2) diff(sin(x2) diff(t6,6) diff(t6,6)5 5符号运算符号运算积分命令积分命令 R = int(S,v,a,b) % SR = int(S,v,a,b) % S对变量对变量v v在区间在区间a

35、,ba,b内求定积分内求定积分 R = int(S,a,b) % R = int(S,a,b) % 自变量由自变量由findsymfindsym确定确定 R = int(S,v) % SR = int(S,v) % S对变量对变量v v求不定积分求不定积分 R = int(S) % R = int(S) % 自变量由自变量由findsymfindsym确定确定例：例： int(-2int(-2* *x/(1+x2)2)x/(1+x2)2) int(x/(1+z2),z) int(x/(1+z2),z) int(x int(x* *log(1+x),0,1) log(1+x),0,1) int(

36、2 int(2* *x, sin(t), 1)x, sin(t), 1) int(exp(t),exp(alpha int(exp(t),exp(alpha* *t)t)5 5 符号运算符号运算基本命令基本命令 g = solve(eq)g = solve(eq) g = solve(eq,var) g = solve(eq,var) g = solve(eq1,eq2,.,eqn) g = solve(eq1,eq2,.,eqn) g = solve(eq1,eq2,.,eqn,var1,var2,.,varn) g = solve(eq1,eq2,.,eqn,var1,var2,.,varn)例：例： solve(asolve(a* *x2 + bx2 + b* *x + c) x + c) solve(a solve(a* *x2 + bx2 + b* *x + c,b) x + c,b) S = solve(x + y = 1,x - 11 S = solve(x + y =