第3章剪切及扭转

1、第三章第三章 剪切和扭转剪切和扭转3.1 剪切和挤压的概念和实例剪切和挤压的概念和实例 工程结构是由各种基本构件通过连接组成的整工程结构是由各种基本构件通过连接组成的整体结构物，使其实现共同工作。体结构物，使其实现共同工作。 两个或多个构件相连两个或多个构件相连 ，常用螺栓、销钉、铆钉，常用螺栓、销钉、铆钉、键块等作为、键块等作为连接件连接件。螺栓连接螺栓连接销钉连接销钉连接铆钉联结铆钉联结键联结键联结 连接件的受力与变形一般均较复杂，工程中通常采用简化分析方法或称为实用计算法。其要点是：一方面对连接件的受力与应力分布进行某些简化，从而计算出各部分的“名义应力”；同时，对同类连接件进行破坏试验

2、，并采用同样的计算方法，由破坏荷载确定材料的极限应力。 实践表明，只要简化合理，并有充分的实验依据，这种简化分析方法仍然是可靠的。受力特点受力特点变形特点变形特点 构件沿两组平行构件沿两组平行力系的交界面发生相力系的交界面发生相对错动。对错动。PPnn（合力）（合力）（合力）（合力）PP 1、与螺栓杆段、与螺栓杆段 对应半圆孔受到螺栓挤压，有可对应半圆孔受到螺栓挤压，有可能导致变形过大而失效（变成近似椭圆孔）能导致变形过大而失效（变成近似椭圆孔） 2、由于螺栓孔的存在，板的横截面面积在、由于螺栓孔的存在，板的横截面面积在n-n 处处受到削弱，所以板也有可能因正应力强度不足而受到削弱，所以板也有

3、可能因正应力强度不足而发生拉伸破坏发生拉伸破坏3.2 剪切与挤压的实用计算剪切与挤压的实用计算剪切面：发生相对错动的截面称为剪切面：发生相对错动的截面称为剪切面或受剪面剪切面或受剪面。单剪单剪具有一个剪切面的剪切现象具有一个剪切面的剪切现象双剪双剪具有两个剪切面的剪切现象具有两个剪切面的剪切现象3.2 剪切与挤压的实用计算剪切与挤压的实用计算剪力剪力Fs ：构件在剪切时剪切面上的内力。：构件在剪切时剪切面上的内力。式中式中 平均切应力，平均切应力， 假定：假定：切应力在剪切面上均匀分布切应力在剪切面上均匀分布ssAF又称为名义切应力又称为名义切应力SAF（1 1）挤压力）挤压力 挤压面挤压面相

4、互压紧相互压紧部分的接触面部分的接触面3.2 剪切与挤压的实用计算剪切与挤压的实用计算 在接触面上的压力在接触面上的压力,称称为为挤压力挤压力 ，并记为并记为Fbs （2 2）挤压应力）挤压应力 bsbsbsAF 3.2 剪切与挤压的实用计算剪切与挤压的实用计算挤压面面积的计算：挤压面面积的计算：1 1、柱面接触柱面接触（如铆钉）：（如铆钉）：挤压面面积为实际的承压面积在其直挤压面面积为实际的承压面积在其直 径平面上的投影。径平面上的投影。bsAdd d 铆钉或销钉直径铆钉或销钉直径 接触柱面的长度接触柱面的长度2 2、平面接触平面接触（如键连接）：（如键连接）：挤压面面积等于实际的承压面积。

5、挤压面面积等于实际的承压面积。2hMMdF2bshlAFFbhlh :平键高度平键高度l :平键长度平键长度（3）挤压强度条件挤压强度条件bsbsbsbs AF式中式中 bsbs材料的许用挤压应力材料的许用挤压应力3.2 剪切与挤压的实用计算剪切与挤压的实用计算注意：注意：在应用挤压强度条件进行强度计算时，要注意连接件在应用挤压强度条件进行强度计算时，要注意连接件与被连接件的材料是否相同，如不同，与被连接件的材料是否相同，如不同，应对挤压强度较低的应对挤压强度较低的材料进行计算，相应的采用较低的许用挤压应力材料进行计算，相应的采用较低的许用挤压应力。剪切与挤压的强度条件剪切与挤压的强度条件注意

6、：利用强度条件进行剪切和挤压强度计算时，注意：利用强度条件进行剪切和挤压强度计算时，首先应弄清楚，哪个是受剪面哪个是挤压面？几首先应弄清楚，哪个是受剪面哪个是挤压面？几个剪切面、几个挤压面？个剪切面、几个挤压面？bsbsbsbsAFsAFs 3.2 剪切与挤压的实用计算剪切与挤压的实用计算 下面结构中，破坏面在何处？下面结构中，破坏面在何处？例题例题3.1 一铆钉接头用四个铆钉连接两块钢板。钢板一铆钉接头用四个铆钉连接两块钢板。钢板与铆钉材料相同。铆钉直径与铆钉材料相同。铆钉直径 d =16mm，钢板的尺寸为，钢板的尺寸为b=100mm， =10mm，F = 90kN，铆钉的许用应力是，铆钉的

7、许用应力是 =120MPa， bs =120MPa，钢板的许用拉应力钢板的许用拉应力 =160MPa。 试校核铆钉接头的强度。试校核铆钉接头的强度。FFbFF 铆钉组计算假设铆钉组计算假设FFFF1）不考虑铆钉弯曲变形的影响）不考虑铆钉弯曲变形的影响2）外力的作用线通过铆钉组截面的形心）外力的作用线通过铆钉组截面的形心3）每个铆钉的直径相同）每个铆钉的直径相同每个铆钉的受力相等每个铆钉的受力相等解解:(1) 校核铆钉的剪切强度校核铆钉的剪切强度每个铆钉受剪面上的剪力为每个铆钉受剪面上的剪力为 kN5 .224S FF SS2112MPa4FFdA =120MPaFFb（2 2）校核铆钉的挤压强

8、度）校核铆钉的挤压强度每个铆钉受挤压力为每个铆钉受挤压力为F/4（3）校核钢板的拉伸强度）校核钢板的拉伸强度FbsbsAFd4FMPa 141bs+整个接头是安全的整个接头是安全的F1122 MPa107)(11N1 - 1dbFAF MPa3 .99)2(4322N2-2dbFAF Me1 1、螺丝刀杆工作时受扭、螺丝刀杆工作时受扭主动力偶主动力偶约束力偶约束力偶一、扭转的工程实例一、扭转的工程实例3.3 3.3 扭转的概念和实例扭转的概念和实例2 2、汽车方向盘的转向轴工作时受扭、汽车方向盘的转向轴工作时受扭受力特点：受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力杆两端作用着大小相等

9、、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。偶作用面垂直于杆的轴线。变形特点：变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。杆任意两截面绕轴线发生相对转动。一、外力偶矩计算一、外力偶矩计算3.4 3.4 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图e2e1e3 /kWeN mr min9 549PMnmm0, 0mTmx T1 1、扭矩的确定、扭矩的确定（截面法）（截面法）xmmmT Tx取右段为研究对象：取右段为研究对象：0, 0TmmxmT 取左段为研究对象：取左段为研究对象：二、扭转杆件的内力二、扭转杆件的内力圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩扭矩( Torsion t

10、orque)，用符号用符号T 表示。表示。2 2、扭矩的符号规定：、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断按右手螺旋法则判断。 右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向其矢量方向与截面的外法线方向相同与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为，则扭矩规定为正值，反之为负值。负值。T+T3 3、内力图（扭矩图）、内力图（扭矩图） 扭矩图：扭矩图：为了直观地表示沿轴线各横截面上扭矩的为了直观地表示沿轴线各横截面上扭矩的变化规律，取平行于轴线的横坐标表示横截面的位变化规律，取平行于轴线的横坐标表示横截面的位置，用纵坐标表

11、示扭矩的代数值，画出各截面扭矩置，用纵坐标表示扭矩的代数值，画出各截面扭矩的变化图。的变化图。 例例3.3 求如图所示传动轴求如图所示传动轴1-1截面和截面和2-2截面的扭矩截面的扭矩，并画扭矩图。，并画扭矩图。 解：解：用截面法求扭矩用截面法求扭矩1）取）取1-1截面左侧截面左侧mkN8 . 1 11MT2）取）取2-2截面右侧截面右侧 mkN2 . 1 C22MT3）作出扭矩图如图。）作出扭矩图如图。 1.2kN m1.8kN m=1.8kN m=3kN m=1.2kN m1122 规定外力偶矩的正负为规定外力偶矩的正负为: : 以右手的四指表示以右手的四指表示外力偶外力偶矩的矩的转向，则

12、转向，则大拇指的方向离开横截面为正；指向横截大拇指的方向离开横截面为正；指向横截面为负面为负。aaaABCDMAMBMCMD1122331BCDATMMMM 左e MT右或e MT求扭矩的直接法求扭矩的直接法 例例3.4 一传动轴的计算简图如图所示，作用于其上的外力一传动轴的计算简图如图所示，作用于其上的外力偶矩之大小分别是：偶矩之大小分别是：MA=2 kN.m , MB=3.5kN.m , MC =1 kN.m , MD = 0.5 kN.m , 转向如图。试作该传动轴之扭矩图。转向如图。试作该传动轴之扭矩图。 解：解：只要求出只要求出AB、BC、CD段任意截面上的扭矩，即段任意截面上的扭矩

13、，即可作出扭矩图。可作出扭矩图。aaaABCDMAMBMCMDxT(kN.m)1.50.5+2T1= -MA = -2 kN.m aaaABCDMAMBMCMD112233T2= MB - MA = 3.5 - 2 = 1.5 kN.m T3 = 0.5 kN.m扭矩图的快速画法扭矩图的快速画法 在外力偶矩作用处的截在外力偶矩作用处的截面上，扭矩发生突变，面上，扭矩发生突变，突变量等于外力偶矩的突变量等于外力偶矩的数值。利用这一数值。利用这一突变特突变特性性，可较快地画出扭矩，可较快地画出扭矩图。图。 当轴上有当轴上有多个多个外力偶矩外力偶矩作用时，愈显示出这种作用时，愈显示出这种方法的快捷简

14、便。方法的快捷简便。xT(kN.m)1.50.5+2aaaABCD23.510.51 1、实验：、实验：一、一、薄壁圆筒横截面上的应力薄壁圆筒横截面上的应力3.5 3.5 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转2 2、变形规律：、变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转 动了一个角度。动了一个角度。纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。横截面上应力的推断：横截面上应力的推断：（1 1）横截面上只有切应力，而没有正应力。）横截面上只有切应力，而没有正应力。（2 2）切应力沿环的切线方

15、向。）切应力沿环的切线方向。3 3、切应力的计算公式：、切应力的计算公式：2.2020200trtdrrdATAtrT202(2(2）可认为切应力沿壁厚均匀分布。）可认为切应力沿壁厚均匀分布。（1）根据对称性可知，切应力沿圆周均匀分布根据对称性可知，切应力沿圆周均匀分布；单元体单元体0zMyzxxzydddddd得得1 1、切应力互等定理切应力互等定理 二、关于切应力的若干重要性质二、关于切应力的若干重要性质切应力互等定理切应力互等定理 单元体在其两对互相单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为而无正应力的状态称为纯纯剪切应力状态。剪切应力状态。dab

16、c 在相互垂直的两个面上，切在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相应力总是成对出现，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。个面的交线。 lr 2 2、剪切虎克定律、剪切虎克定律l 22 rT G )1(2 EG p s b 公式推导的思路公式推导的思路3.6 3.6 圆轴扭转时的应力及强度条件圆轴扭转时的应力及强度条件研究方法：研究方法：变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力关系静力关系 观察变形观察变形 提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式（应变的分布规律）（应变的分布规律）一、圆

17、轴扭转时横截面上的应力一、圆轴扭转时横截面上的应力1 1、几何关系、几何关系：由实验找出变形规律由实验找出变形规律应变的变化规律应变的变化规律1 1）实验：）实验：3.6 3.6 圆轴扭转时的应力及强度条件圆轴扭转时的应力及强度条件2 2）观察变形规律：）观察变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。了一个不同的角度。纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。平面假设平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状

18、、大小以及间距不变，半径仍为直线，即横截面刚性地绕轴大小以及间距不变，半径仍为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。线作相对转动。443 3）应变分布规律：）应变分布规律： 圆周线的间距未改变圆周线的间距未改变 圆周线的形状、大小不变，绕轴线作了相对转动圆周线的形状、大小不变，绕轴线作了相对转动无纵向线应变无纵向线应变横截面上有切应力且垂直于半径横截面上有切应力且垂直于半径横截面无正应力横截面无正应力 各纵向线均倾斜同一微小角度各纵向线均倾斜同一微小角度 结论：结论：扭转时圆轴横截面上无正应力，只有垂直于半径方向扭转时圆轴横截面上无正应力，只有垂直于半径方向的切应力，且距离圆心相同距离的各点切

19、应力的切应力，且距离圆心相同距离的各点切应力大小相等大小相等。圆周上各点变形情况相同圆周上各点变形情况相同切应力沿环向保持不变。切应力沿环向保持不变。45 取长为取长为dx的微段研究（假定左端面固定），在扭矩作用下，的微段研究（假定左端面固定），在扭矩作用下，右端面刚性转动角右端面刚性转动角d 。 是是A处的直角改变量，半径为处的直角改变量，半径为R处（即轴表面处）的切应变：处（即轴表面处）的切应变：dxdRxBBdtandxRddxBB即：即：对于圆轴表面处：对于圆轴表面处：BdppqqROxdBAdGG对于半径为对于半径为处：处：EBppqqOxdBAxdOGGExGGdtandxddxG

20、Gdxd结论结论:横截面上各点的切应变横截面上各点的切应变 与该点到截面中心的距离与该点到截面中心的距离 成正成正比。切应变的比。切应变的最大值最大值 max发生在发生在 =R的最外的最外层层。47对于线弹性问题，横截面上任意对于线弹性问题，横截面上任意一点处的切应力一点处的切应力 与该点处的剪应与该点处的剪应变变 成正比（成正比（剪切胡克定律剪切胡克定律）：）： dxdGGo横截面上的切应力分布横截面上的切应力分布 截面上任一点的切应力与截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离该点到轴心的距离 成成正比正比；切；切应力应力与半径垂直与半径垂直，指向由该截，指向由该截面所受的面所受的扭矩方向扭矩

21、方向确定。确定。dxd？2 2、物理关系、物理关系：由应变的变化规律由应变的变化规律应力的分布规律应力的分布规律3 3、静力关系：、静力关系：由内力与应力的关系由内力与应力的关系应力的计算公式应力的计算公式ATAdAIApd2令xGI Tpdd 代入切应力公式代入切应力公式 得：得：xGdd 圆轴扭转时横截面上任圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。一点的剪应力计算式。pGITx dd AxGAddd2扭转变形计算式扭转变形计算式pIT ( 切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩 )pIT T横截面上的扭矩横截面上的扭矩 该点到圆心的距离该点到圆心的距离Ip横截面对

22、圆心的横截面对圆心的极惯性矩极惯性矩, 只与截面几何相关。只与截面几何相关。（1 1）仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截）仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截 面直杆。面直杆。说明说明: :（2）尽管由实心圆轴）尽管由实心圆轴 推出，但同样适用于空心圆轴推出，但同样适用于空心圆轴, 只是只是Ip值不同。值不同。( (横截面上切应力的计算公式横截面上切应力的计算公式) )tPPWTITITmaxmaxmax抗扭截面模量抗扭截面模量，I Ip p截面的极惯性矩截面的极惯性矩，单位：，单位：三、圆轴中三、圆轴中max的确定的确定44, mmm.,33mmm单位单位：maxp

23、tIW PW四、截面的极惯性矩四、截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数和抗扭截面系数WtAAId2p162/3ptddIW)d2(202d324dd2dA2/04)4(2d实心圆截面：实心圆截面：Odd223pd2DdI4344pt116162/DDdDDIW空心圆截面：空心圆截面：4432dD 44132DDdT max max注意：对于空心圆截面注意：对于空心圆截面33t16dDW44p32dDIDdOd1 1、强度条件、强度条件：2 2、强度条件应用、强度条件应用：1 1）校核强度）校核强度: : .)1 (16,16433空心实心DDWttWTmaxmax tWmaxT2 2）设计截面

24、尺寸）设计截面尺寸: :3 3）确定外荷载）确定外荷载: :maxTtW五、扭转强度计算五、扭转强度计算max maxtmaxWTtmaxmaxWT等截面圆轴等截面圆轴: :变截面圆轴变截面圆轴: :ABCMeAMeBMeC22 14 +_MPa84.6416/ )12. 0(102216/33311t11max1 dTWTMPa3 .7116/ )1 . 0(101416/333222t2max2 dTWT2max1max ll(a)(b)2t2max1t1maxWTWT dd2D22t1tWTWT 16)1(16432312t1t DdWW()3341211616 dD 194. 18 .

25、 0113412 dD512. 0)8 . 01(194. 1)1(4)(4222122221222212 dDddDAA 通过扭转实验发现：(1) 低碳钢试件系横截面剪断；(2) 铸铁试件则沿着与轴线成45的螺旋线断裂； 研究类似铸铁试件扭转破坏的原因,需考虑斜截面上的应力。, 0n, 0t2sin2cos设：设：ef ef 边的面积为边的面积为 dA dA 则则 xntefbeb 边的面积为边的面积为dAcos ef 边的面积为边的面积为dAsin 0sin)sin(cos)cos(dAdAdAsin)cos(dAdAcos)sin(dA0 若材料抗拉（压）能力差，构件沿若材料抗拉（压）能

26、力差，构件沿4545斜截面发生破坏（脆性材料）。斜截面发生破坏（脆性材料）。结论：结论： 若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏( (塑性材料）；塑性材料）；2cos ; 2sin 分析：分析： 45:,)1minmax,450;max,450;min:)2max,0;max横截面上！横截面上！t ctc一般塑性材料和脆性材料的抗拉、抗压、抗剪能力的比较一般塑性材料和脆性材料的抗拉、抗压、抗剪能力的比较 材料抗拉能力差，构件沿材料抗拉能力差，构件沿4545斜截面因拉应力而破坏。斜截面因拉应力而破坏。 材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力发生破坏；材料

27、抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力发生破坏；2、铸铁试件：沿与轴线约成、铸铁试件：沿与轴线约成45 的螺旋线断开。的螺旋线断开。1、低碳钢试件：沿横截面断开。、低碳钢试件：沿横截面断开。 也因此，在纯剪切应力状态下直接引起断裂的最大拉应力 总是等于横截面上相应的应力，所以在铸铁圆杆的抗扭强度的计算中也就以横截面上的作为依据。max 铸铁的所谓扭转破坏，其实质上是沿铸铁的所谓扭转破坏，其实质上是沿-45-45方向拉方向拉伸引起的断裂。伸引起的断裂。T T TQrCC该区域是如何平衡的？该区域是如何平衡的？2cos ; 2sin xGITllddp 3.3.7 7 圆轴扭转时的变形及刚度条件圆轴扭

28、转时的变形及刚度条件pddGITx pTlGI 3.3.7 7 圆轴扭转时的变形及刚度条件圆轴扭转时的变形及刚度条件二、刚度条件：二、刚度条件：PGIT180PGITD+Me2Me3Me1180)2(pepe GIaMGIaMMPa7 .69tmaxmax WT mkN292e M33218023.)(pepe GIaMGIaMBCABAC D+Me2Me3MeDd MeMe .20 934 dDDD34ptmm1006. 22/ DIWMPa1 .96tmaxmax WT().4454p17 83 10 mm32DI ./ maxmaxp1801 81mTGImkN98. 1e MTDd M

29、eMeMPa1 .9616/3maxmax dT 22mm17494 dA实实222mm5774)7176( 空空A329. 0174957712 AAAablCBM 扭转超静定问题的解法，同样是综合考虑静力、几何、物理三方面。其主要难点仍是由变形协调条件建立补充方程。3.3.7 7 圆轴扭转时的变形及刚度条件圆轴扭转时的变形及刚度条件三、扭转超静定问题三、扭转超静定问题解解:先考虑 M 作用，则1pBAM aGI只考虑MB的作用，则2()BBBAMabM lGIGIAMBMBAablCBM物理关系：几何关系：21BABABBMaMl得得AMbMl0BM lMaGIGI即AMBMB平衡条件：0

30、MMMBA 图示AC杆为等截面圆轴，在B截面处受外矩M=7kNm作用。该圆轴A端固定，C端在上、下两点处分别与直径均为d2的两圆杆相连。已知圆轴和圆杆的材料相同，且材料的两个弹性常数E与G之间有如下关系：G=0.4E。试求圆轴AC中的最大切应力。例例3.102 m2 md1=0.1 mM =7 kN.m1 m1 md2d2=20 mmABC 如同拉伸和压缩时一样，杆件在受扭时杆内也积蓄有应变能。杆在弹性范围内工作， 与 T 成线性关系。oTTT3.3.8 8 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能2TW2TU又 pT lG I则2p2T lUGI或2p2lGIU 例例3.11求图示同一杆件在三种受力情况下的应变能。此杆在线弹性范围内工作，且变形微小。l = 1 md=80 mmMe1=4 kNm(a)0.6 m0.4 mMe2=10 kNm(b)0.6 m0.4 mMe2=10 kNmMe1= 4 kNm(c)解：解：p6p6p2a/1082/10162/1)4000(GIGIGIUp6p6p2b/10302/106 . 01002/6 . 0)10000(GIGIGIU（1）l = 1 md=80 mmMe1=4 kNm(a)0.6 m0.4